适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练12圆锥曲线的方程与性质（附解析）

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练12圆锥曲线的方程与性质（附解析），共7页。试卷主要包含了必备知识夯实练，关键能力提升练，核心素养创新练等内容，欢迎下载使用。
1.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,实轴长为4,则C的渐近线方程为( )
A.y=±2xB.y=±x
C.y=±xD.y=±x
2.(2023河北石家庄一模)被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST),是目前世界上口径最大、灵敏度最高的单口径射电望远镜(图1).观测时它可以通过4 450块三角形面板及2 225个触控器完成向抛物面的转化,此时轴截面可以看作拋物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型,观测时呈口径为4米,高为1米的抛物面,则其轴截面所在的抛物线(图2)的顶点到焦点的距离为( )
图1
图2
A.1B.2C.4D.8
3.(2023四川成都三诊)已知双曲线C经过点(4,2),且与双曲线-y2=1具有相同的渐近线,则双曲线C的标准方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
4.(2023新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=( )
A.B.C.D.
5.(2021全国甲,理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
6.(多选题)(2023山东枣庄二模)已知曲线C1:5x2+y2=5,C2:x2-4y2=4,则( )
A.C1的长轴长为
B.C2的渐近线方程为x±2y=0
C.C1与C2的离心率互为倒数
D.C1与C2的焦点相同
7.(2023河南济洛平许第四次质检)已知P为抛物线Γ:y2=2px(p>0)上任意一点,F为抛物线的焦点,M(4,2),|PF|+|PM|的最小值为5.若直线l:y=x与抛物线Γ交于除原点O外另一点N,则△OMN外接圆的面积为( )
A.4πB.8πC.9πD.10π
8.(2023全国乙,理13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
9.(2023河北张家口一模)已知点F(2,0)为椭圆C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为1,-,则椭圆C的离心率为 .
二、关键能力提升练
10.(2023湖南师大附中模拟)两千多年前,古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线,他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥,得到的曲线称为“超曲线”,即双曲线的一支.已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形,平面α∥PQ,当平面α过母线的中点位置时截圆锥侧面所得曲线记为C,则曲线C所在双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.2
11.(多选题)(2023广东茂名二模)已知O为坐标原点,椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的上顶点和右顶点分别为A,B,点P,Q都在C上,且,则下列说法正确的是( )
A.△PQF2周长的最小值为14
B.四边形PF1QF2可能是矩形
C.直线PB,QB的斜率之积为定值-
D.△PQF2的面积最大值为3
12.(多选题)(2023广东汕头二模)已知曲线C:x2+y2cs α=1,α∈[0,π],则下列结论正确的是( )
A.曲线C可能是圆,也可能是两条直线
B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C.当曲线C表示椭圆时,则α越大,椭圆越圆
D.当曲线C表示双曲线时,它的离心率有最小值,且最小值为
13.(多选题)(2023湖南邵阳三模)已知双曲线C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线具有如下光学性质:从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点F1,如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为x-y=0,则下列结论正确的有( )
A.双曲线C的方程为=1
B.若m⊥n,则|PF1||PF2|=12
C.若射线n所在直线的斜率为k,则k∈(-)
D.当n过点M(8,5)时,光由F2→P→M所经过的路程为10
14.(2023江苏南京模拟)已知椭圆=1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是 .
三、核心素养创新练
15.(多选题)(2023广东佛山二模)如图,拋物线Γ1的顶点为A,焦点为F,准线为l1,焦准距为4;抛物线Γ2的顶点为B,焦点也为F,准线为l2,焦准距为6.Γ1和Γ2交于P,Q两点,分别过P,Q作直线与两准线垂直,垂足分别为M,N,S,T,过点F的直线与封闭曲线APBQ交于C,D两点,则( )
A.|AB|=5
B.四边形MNST的面积为100
C.=0
D.|CD|的取值范围为[5,]
16.(2023湖北5月模拟预测)在圆锥内放入两个大小不等的外离的球O1与球O2,半径分别为r和R,且R=4r,使得它们与圆锥侧面和截面相切,两个球分别与截面相切于点F,E,在截口上任取一点A,又过点A作圆锥的母线,分别与两个球相切于点B,C,则可知线段AE,AF的长度之和为常数.若圆锥轴截面为等边三角形,则截口曲线的离心率是 .
考点突破练12 圆锥曲线的方程与性质
1.C 解析 由已知得,双曲线的焦点在y轴上,
双曲线的焦距2c=4,解得c=2,双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,则b==4,故双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.
2.A 解析 如图,以抛物线的顶点为原点、对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,则设抛物线的方程为x2=2py,p>0,
由题可得抛物线上一点A(2,1),代入抛物线方程可得22=2p×1,所以p=2,
即抛物线方程为x2=4y,则抛物线的焦点坐标为(0,1),故顶点到焦点的距离为1.
3.A 解析 由题意设双曲线C的标准方程为-y2=λ,代入点(4,2),得-4=λ,得λ=4,所以双曲线C的标准方程为=1.
4.A 解析 由题意,在C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=,∴e1=.
在C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=,
∴e2=.
∵e2=e1,∴,解得a=.故选A.
5.A 解析 不妨设|PF2|=1,|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=,所以c=,2a=|PF1|-|PF2|=2,a=1,所以离心率e=.
6.BC 解析 曲线C1:5x2+y2=5整理得+x2=1,则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆,其中=5,=1,所以=4,离心率e1=,
故曲线C1的长轴长2a1=2,故A错误;
曲线C2:x2-4y2=4整理得-y2=1,则曲线C2是焦点在x轴上的双曲线,其中=4,=1,所以=5,离心率e2=,
C2的渐近线方程为y=±x,即x±2y=0,故B正确;
e1·e2==1,所以C1与C2的离心率互为倒数,故C正确;
C1的焦点在y轴上,C2的焦点在x轴上,焦点位置不同,故D错误.
故选BC.
7.D 解析 依题意,抛物线Γ:y2=2px的焦点F,0,准线l':x=-,
过点P作PA⊥l'于点A,过点M作MA'⊥l'于点A',交抛物线Γ于点P',连接P'F,如图,则|PF|+|PM|=|PA|+|PM|≥|MA|≥|MA'|=|P'A'|+|P'M|=|P'F|+|P'M|,当且仅当点P与P'重合时,等号成立,所以|PF|+|PM|的最小值为4-(-)=5,解得p=2.
由得点N(4,4),因此|MN|=2,|ON|=4,|OM|=2.
在△OMN中,由余弦定理得cs∠MON=,则sin∠MON=.
设△OMN外接圆半径为R,由正弦定理得2R==2,则R=,
所以△OMN外接圆的面积为πR2=10π.
8. 解析 因为点A(1,)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=,所以抛物线C的准线方程为x=-=-,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+.
9. 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆的方程可得=1,=1,
两式相减可得=0.①
又因为x1+x2=2,y1+y2=-1,,
所以代入①可得=0,化简得a2=4b2.
又因为b2=a2-c2,所以a2=4a2-4c2,
故离心率e=.
10.A 解析 如图,设平面α∥PQ,平面α与圆锥侧面的交线为曲线C,过点P且垂直于EF的母线与曲线C交于点M,则PM=MA.
过点A且垂直于PQ的截面交曲线C于点E,F.
设点P在平面α内的射影为点O,以O为原点,PQ在平面α内的射影所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,易知M为双曲线的顶点.设OM=a,则可求得点E坐标为(2a,a),代入方程=1,知,故双曲线的离心率为e=.
11.ACD 解析 由,可知P,Q关于原点对称.
对于A,根据椭圆的对称性,|PQ|+|PF2|+|QF2|=|PQ|+|PF2|+|PF1|=|PQ|+8,当PQ为椭圆的短轴时,|PQ|有最小值6,所以△PQF2周长的最小值为14,故A正确;
对于B,因为tan∠F1AO=,所以∠F1AO