内蒙古赤峰市2023学年高三二模数学理科试题(含答案)

这是一份内蒙古赤峰市2023学年高三二模数学理科试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设全集,,,则集合B为( )
A.B.C.D.
2、棣莫弗公式,(是虚数单位,)是由法国数学家棣莫弗()发现的.根据棣莫弗公式,在复平面内的复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、在“万众创业”的大背景下,“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点,已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品,2022年前三个季度,该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番,其前三季度的收入情况如图所示,则( )
A.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍;
B.该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍;
C.该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍;
D.该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.
4、函数在上的图像大致为( )
A.B.
C.D.
5、九连环是中国杰出的益智游戏,九连环由9个相互连接的环组成,这9个环套在一个中空的长形柄中,九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来(或套上),规则如下:如果要解下(或套上)第n环,则第号环必须解下(或套上),往前的都要解下(或套上)才能实现.记解下n连环所需的最少移动步数为,已知,,,若要解下7环最少需要移动圆环步数为( )
A.42B.85C.170D.341
6、下列选项中,命题p是命题q的充要条件的是( )
A.在中,,.
B.已知x,y是两个实数,,.
C.对于两个实数x,y,,或.
D.两条直线方程分别是,,,或.
7、记函数的最小正周期为T.若,为的零点,则的最小值为( )
A.2B.3C.4D.6
8、在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知,,的面积为,则的周长是( )
A.4B.6C.8D.18
9、如图所示,在长方体中,点E是棱上的一个动点,若平面与棱交于点F,给出下列命题:
①四棱锥的体积恒为定值;
②四边形是平行四边形;
③当截面四边形的周长取得最小值时,满足条件的点E至少有两个;
④直线与直线DC交于点P,直线与直线DA交于点Q,则P,B,Q三点共线.
其中真命题是( )
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
10、已知,,,其中e为自然对数的底数,则( )
A.B.C.D.
11、初中时代我们就说反比例函数的图像是双曲线,建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程,比如,把的图像顺时针旋转可以得到双曲线.已知函数,在适当的平面直角坐标系中,其标准方程可能是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
12、四叶草曲线是数学中的一种曲线,某方程为,因形似花瓣,又被称为四叶玫瑰线(如图),在几何学,数学,物理学等领域中有广泛的应用.例如,它可以用于制作精美的图案,绘制函数图象,描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象,给出如下4条性质,其中错误的是( )
A.四叶草曲线方程是偶函数,也是奇函数;
B.曲线上两点之间的最大距离为;
C.曲线经过5个整点(横,纵坐标都是整数的点);
D.四个叶片围成的区域面积小于.
三、填空题
13、已知向量,,且与的夹角为,则________.
14、已知,则________.
15、某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥外接球的体积是________.
16、已知抛物线,焦点为F,过点作抛物线C的两条切线,切点分别是A,B,已知线段AB的中点,则的值是________.
四、解答题
17、①函数对任意有,数列满足,令;
②数列中,已知,对任意的p,都有,令.在①,②中选取一个作为条件,求解如下问题
（1）数列是等差数列吗?请给予证明;
（2）设,,试比较与的大小.
18、2022年中国新能源汽车销售继续蝉联全球第一,以生产充电电池起家的比亚迪在2002年才进入汽车行业,2022年2月已成为全球唯一一家同时掌握电池,电机,电控芯片,整车制造等全产业链核心技术的新能源汽车厂商,成为新能源汽车(纯电动和插电式混动)的销量冠军,在中国新能源汽车的总销量中占比约为.2022年4月3日,比亚迪宣布停止纯燃油汽车的整车生产,成了全球首家“断油”的企业,为了解中国新能源车的销售情况,随机调查10000辆新能源汽车的销售价格,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
（1）求的值,并求出中国新能源车的销售价格的平均数,众数,中位数;
（2）若从新能源车中随机的抽出3辆,设这3辆新能源车中比亚迪汽车的数量为X,求X的分布列与数学期望,并解释此期望值的含义.
19、已知为等边三角形,其边长为4,点D为边AC的中点,点E在边AB上,并且,将沿DE折起到.
（1）证明:平面平面BCDE;
（2）当平面与平面BCDE成直二面角时,在线段BC上是否存在一点P,使得平面和平面所成二面角的正切值为,若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.
20、已知函数,.
（1）在当时,分别求和过点的切线方程;
（2）若,求a的取值范围.
21、已知椭圆的离心率为,其左,右顶点分别为A,B,左右焦点为,,点P为椭圆上异于A,B的动点,且的面积最大值为.
（1）求椭圆E的方程及的值;(,分别指直线PA,PB的斜率)
（2）设动直线l交椭圆E于M,N两点,记直线AM的斜率为,直线BN的斜率为,且.
①求证:直线MN过定点;
②设,的面积分别为,,求的取值范围.
22、在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程,曲线的直角坐标方程;
（2）设点,曲线,的交点为A,B,求的值.
23、已知函数,若的解集为.
（1）求实数a,b的值;
（2）已知m,n均为正数,且满足,求证:.
参考答案
1、答案：C
解析:因为全集,
由知,,;
由知,,,
则集合,
故选:C.
2、答案：B
解析:
,
对应的点位于第二象限.
故选:B
3、答案：C
解析:A选项,设该直播间第一季度总收入为单位1,则设该直播间第二季度总收入为单位2,该直播间第三季度总收入为单位4,所以第三季度总收入是第一季度总收入的4倍,故A错误;
B选项,因为第三季度总收入是第一季度总收入的4倍,设该直播间第一季度总收入为单位1,故该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的倍,B错误;
C选项,设该直播间第一季度总收入为单位1,故直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的倍,C正确;
D选项,设该直播间第一季度总收入为单位1,则该直播间第三季度食品收入为,前两个季度的食品收入之和为,
因为,故该直播间第三季度食品收入高于前两个季度的食品收入之和,D错误.
故选:C
4、答案：D
解析:,,
又,
则为偶函数,其图像关于y轴对称,排除选项AB;
又,
当时,恒成立,则在单调递增;
令,,
则在恒成立,
则在单调递减,
又,,
则存在唯一,使得,
当时,,即,则单调递增;
当时,,即,则单调递减.
故在单调递增;在单调递减,排除选项C.
故选:D.
5、答案：B
解析:n连环所需的最少移动步数为,,,,
则,,,
,.
故选:B
6、答案：A
解析:A.在中,
当时,由三角形中大边对大角,小边对小角得,
又由正弦定理可得;
当时,由正弦定理可得,
又由三角形中大边对大角,小边对小角得,
所以命题p是命题q的充要条件,故A正确;
B.由得,故命题p是命题q的必要条件,故B错误;
C.对于两个实数x,y,若,则或,反之不成立,故命题p是命题q的充分条件,故C错误;
D.两条直线方程分别是,,
当时,,解得,
所以命题p是命题q的充分条件,故错误;
故选:A
7、答案：C
解析:因为的最小正周期为,且,
所以,
因为,所以,
所以,
因为为的零点,
所以,
所以,,解得,
因为,所以的最小值为4,
故选:C
8、答案：B
解析:,由正弦定理得,,
又,
所以,
因为,所以,故,
因为,所以,
由三角形面积公式可得,故,
由余弦定理得,
解得或(舍去),
故三角形周长为.
故选:B
9、答案：C
解析:①四棱锥的体积等于三棱锥的体积
与三棱锥的体积之和,
又长方体中,平面,
则点E,F到平面的距离为定值,
则四棱锥的体积恒为定值.判断正确;
②由平面与棱交于点F,
可得平面平面,平面平面,
又平面平面,则;
又平面平面,平面平面,
又平面平面,则,
又,四边形是平行四边形.判断正确;
③由②可得,截面四边形是平行四边形.
当的值最小时,四边形的周长取得最小值.
将侧面与侧面展开在同一平面,
当且仅当E为直线与交点时的值最小,
则当截面四边形的周长取得最小值时,满足条件的点E仅有1个.判断错误;
④直线与直线DC交于点P,直线与直线DA交于点Q,
则P,B,Q三点均为平面与平面ABCD的公共点,
由平面与平面ABCD有且仅有一条交线可得P,B,Q三点共线.判断正确.
故选:C
10、答案：B
解析:,,,
则,令,,
则在上递减,则,
所以在上递增,则,即,
则,令,
则在上递减,则,
所以在上递减,则,即,
故选:B
11、答案：A
解析:因为函数的定义域为,定义域关于原点对称,又,故函数图像关于原点对称,
当,且时,,
当时,,此时的图像与无限靠近,
故的两条渐近线为y轴和,作出其图像如下图所示:
为使其双曲线的方程为标准方程,故应建立的坐标轴,必须平分两条渐近线的夹角,
又,其斜率为,此时其在原坐标系中其倾斜角为,与y轴的夹角为,
故在新坐标系中,轴与x轴的夹角应为,
故轴所在直线在原坐标系中的方程为,轴与垂直,
在如图所示的新坐标系中,设双曲线的方程为,
联立,解得,,所以,
又在新坐标系下,双曲线的渐近线与的夹角为,故,即,
故在新坐标系下双曲线方程为,
故选:A.
12、答案：AB
解析:对于A,用,替换方程中x,y,方程不变,四叶草曲线方程不是函数的解析式,
所以不是偶函数,也不是奇函数,只是四叶草曲线关于x,y轴,原点对称,故A错误;
对于B,设曲线上的点到原点的距离为,因为,所以,,所以,
可得,即,根据对称性可得两点之间的最大距离为,故B错误;
对于C,由B可知,所以,,可得曲线上的整点有,,,,,曲线经过5个整点,故C正确;
对于D,由B可知,曲线上的点到原点的距离最大值为,
以O为圆心,为半径的圆的面积为,所以四个叶片围成的区域面积小于,故D正确.
故选:AB.
13、答案：
解析:向量,,则,
又与的夹角为,则,
解之得或(舍)
故答案为:
14、答案：60
解析:
则
故答案为:60
15、答案：
解析:三棱锥直观图如下,其所在长方体长宽均为1,高为2,
此三棱锥外接球的直径为此长方体的体对角线,
则此三棱锥外接球的半径为,该球体积为
故答案为:
16、答案：17或44
解析:由题意知,,设,,
则,,,
所以,,
因为线段AB的中点,
所以,即,
所以,即,
因为,所以,则,
所以切线MA的方程为,即
因为,
所以可化为
同理切线的方程为,可化为.
联立方程,解得,
即,
因为,所以,,
即,,
又因为,
所以,
把和代入上式,可得,
化简得,解得或,
由抛物线定义可得,,
所以,
因为,,
所以,
所以,
当时,,
当时,,
综上,的值为17或44.
故答案为:17或44.
17、答案：（1）是等差数列,证明见解析
（2）
解析:（1）选择条件①
由已知得,,
同时,
两式相加,得,
因为函数对任意有,
所以.
所以.
故,且,
所以数列是以为首项,公差的等差数列.
选择条件②
因为对任意的p,都有,
令,则,
故数列为以为首项,公差为公差的等差数列.
.
（2）选择条件①
由（1）知,,
当时,.
所以
,
故.
选择条件②
由（1）知,所以,
当时,.
所以
,
故.
18、答案：（1）详见解析;
（2）答案见解析.
解析:（1）由频率分布直方图得,
.
.
销售价格的平均数
由频率分布直方图得,众数为20(万元).
中位数(万元)
（2）比亚迪汽车在中国新能源汽车的总销量中占比约为,
,即X服从二项分布.
则,,
,.
所以,X的分布列为:
.
其含义是:若从新能源车中随机地抽出3辆,平均有一辆是比亚迪汽车.
19、答案：（1）证明见解析;
（2）存在,P为线段BC的中点.
解析:（1）因为,于是在折后,,,,
,平面,因此平面,又平面BCDE,
所以平面平面BCDE.
（2）由（1）知,为二面角的平面角,而平面与平面BCDE成直二面角
即有,,则EB,ED,两两互相垂直,
以E为坐标原点,分别以EB,ED,所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,
因为点P在线段BC上,则令,,,
因此,,
由（1）知,平面,即平面的法向量,
设平面的法向量,则,令,则,
设平面和平面所成二面角为,则,,,
,于是,解得,
所以存在符合条件的点P,满足条件,点P为线段BC的中点.
20、答案：（1）,
（2）{1}
解析:（1）设过点的切线与的切点为.
由,则切线方程为,
把代入得,,故切线方程为.
当时,,因在的图象上,故为切点,
故,则切线方程为.
（2）由,得.
则,令
则,
①当时,,
所以在R上为增函数.
,
,使,故当时,,单调递减,
当时,,不符合题意.
②当时,,,
恒成立,在R上恒增,且
故,当时,,单调递减,
当时,,单调递增.
,恒成立,.
③当时,,
在上单调递增,
且,故在上单调递增,
又,,
则,使,故,
当时,,单调递增,
当时,,不符合题意.
④当时,由,不符合题意
综上,a的取值范围{1}.
21、答案：（1）,
（2）①证明见解析;
②
解析:（1）由已知得,,
,故椭圆E的方程为.
则,,令,
则.
（2）①由（1）知,,又,
.
令,,则(*),
设直线MN的方程为,
与椭圆方程联立得,.
则,,.
又(*)可化为
,
整理得,解得或(舍).
故直线MN的方程为,过定点.
②由①知,直线MN过定点,则,
由①知,,
,
令,,
则,
因为在单调递增,,则,
的取值范围是.
22、答案：（1）详见解析;
（2）5
解析:（1）曲线的参数方程为(t为参数),
则曲线的普通方程为;
曲线的极坐标方程为,即,
则曲线的直角坐标方程为,整理得;
（2）曲线的普通方程为,点在曲线上,
则曲线的一个参数方程为(t为参数),
代入,整理得,
A,B对应的参数分别为,,则,
则.
23、答案：（1）,
（2）证明见解析
解析:（1）因为的解集为,所以有,即,
得,故,则,
,;或,,
或,,
综上,的解集为,则,
经验证:,适合题意,故,.
（2）证明:由（1）知,则,(,),
故,故,
当且仅当,时,等号成立.
所以,当且仅当,时,等号成立.
X
0
1
2
3
P