内蒙古呼和浩特市2023届高三二模数学试题

2023年呼和浩特市高三年级第二次质量数据监测

理科数学

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷

一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．2

3．下图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据折线图，下列说法错误的是（    ）

A．城镇人口与年份呈现正相关 B．乡村人口与年份的相关系数接近1

C．城镇人口逐年增长率大致相同 D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势

4．函数在上的图象大致为（    ）

A． B．

C．  D．

5．执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值（    ）

A．3 B．2 C．5 D．4

6．若双曲线：的右焦点与抛物线：的是焦点重合，则实数（    ）

A． B． C．3 D．

7．意大利数学家斐波那契（1170-1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、……，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．

已知斐波那契数列满足：，，，若，则（    ）

A．2025 B．2026 C．2028 D．2024

8．已知向量，，若，且，则实数（    ）

A．3 B． C．5 D．

9．已知角，且点在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

11．用五种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）

A．1920种 B．1800种 C．1200种 D．840种

12．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题-第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡的相应位置．）

13．在的展开式中，的系数为，则________．

14．已知和均为等差数列，，，，则数列的前60项的和为________．

15．一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值．直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数．2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的25%分位数是________．

16．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有________．

①曲线关于轴和轴对称

②曲线所围成的封闭图形的面积小于8

③曲线上的点到原点的距离的最大值为

④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点．

（I）求证平面；

（II）求二面角的余弦值．

18．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知外接圆的半径为1，且．

（I）求角；

（II）若，是的内角平分线，求的长度．

19．（12分）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有个字脱落．

（I）若，用随机变量表示脱落的字中“学"的个数，求随机变量的分布列及期望；

（II）若，假设某同学捡起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．

20．（12分）已知函数，．

（I）若，判断函数的单调性；

（II）当时，求函数的最小值，并证明：．

21．（12分）已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．

（I）若恰是椭圆的焦点，求的值；

（II）若，且恰好被平分，求的面积．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

【选修4-4坐标系与参数方程】

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（I）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（II）设直线：与曲线，的交点从上到下依次为，，，，求的值．

【选修4-5不等式选讲】

23．（10分）已知函数．

（I）求不等式的解集；

（II）设的最小值为，若正实数，满足，证明：．

呼和浩特市2023届高三年级第二次质量普查考试

理科数学参考答案

一、选择题

1-5：BCBCA 6-10：DDBAD 11-12：AA

二、填空题

13． 14．7260 15．6 16．①②③

三、解答题

17．（1）证明：，，，则，，所以，

又因为平面，且平面，则       （2分）

所以平面，又因为平面，所以，       （4分）

由于四边形为正方形，所以，

所以平面      （5分）

（2）由（1）知，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，可知，，，，

，，设为平面的法向量，

所以，，

令，可得       （7分）

为平面的法向量，

所以，，

令，可得       （9分）

所以      （11分）

又因为二面角为锐角，所以       （12分）

18．解：（1）由正弦定理可化为，

即，       （2分）

则由余弦定理可得，

所以．       （3分）

又，，所以，即      （5分）

又，所以．       （6分）

（2）由正弦定理可得：，解得，，      （8分）

，为锐角，．       （9分）

在中，，

是的内角平分线，，      （10分）

，      （11分）

．      （12分）

19．解：（1）随机变量的可能取值为0，1，2

，，，

随机变量的分布列如下表：

        （3分）

随机变量的期望为       （5分）

法二：随机变量服从超几何分布       （2分）

所以．      （5分）

（2）设脱落一个“学”为事件，脱落一个“好”为事件，脱落一个“数”为事件，事件为脱落两个字，，       （7分）

，，

，，，       （10分）

所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为

      （12分）

法二：

掉下的两个字不同的概率为，      （10分）

所以标语恢复原样的概率为       （12分）

20．解：（1）

即       （2分）

因为，所以在上成立．      （3分）

令得，      （4分）

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数       5（分）

（2）当时，，．由（1）得在单调递增，在单调递减，，       （7分）

所以，即．即．

即．      （9分）

要证，

只需证，

只需证在上恒成立      （10分）

令，则，所以单调递减，

所以，所以恒成立，所以，原不等式得证．      （12分）

21．解：（1）在椭圆中，，所以，      （2分）

由，得．      （4分）

（2）设直线：，代入抛物线方程得．      （5分）

设的中点，则，

由得，解得，      （7分）

由点在椭圆内，得，解得，      （9分）

因为，所以值是1，       （10分）

面积．       （12分）

22．解：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，得．

曲线的极坐标方程为，有，

由得曲线的直角坐标方程为．        （5分）

（2）将代入曲线的方程得，

即．解得两根为，，

由的几何意义得，．

同理将代入曲线的方程得，，

解得两根为，

．

故．      （10分）

23．解：（1）由题意知

令，得或，

结合图象可知的解集为       （5分）

（2）由题意可知，，

令，，则，

，

当且仅当，即，时等号成立．      （10分）