内蒙古赤峰市2023届高三下学期二模数学试题（文）(含答案)

这是一份内蒙古赤峰市2023届高三下学期二模数学试题（文）(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设全集,,,则集合B为( )
A.B.C.D.
2、已知复数z的虚部为,在复平面内复数z对应向量的模长为2,则( )
A.B.C.D.
3、在“万众创业”的大背景下,“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点,已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品,2022年前三个季度,该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番,其前三季度的收入情况如图所示,则( )
A.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍;
B.该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍;
C.该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍;
D.该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.
4、函数在上的图象大致为( )
A.B.
C.D.
5、九连环是中国杰出的益智游戏,九连环由9个相互连接的环组成,这9个环套在一个中空的长形柄中,九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来(或套上),规则如下:如果要解下(或套上)第n环,则第号环必须解下(或套上),往前的都要解下(或套上)才能实现.记解下n连环所需的最少移动步数为,已知,,,若要解下7环最少需要移动圆环步数为( )
A.42B.85C.170D.341
6、下列选项中,命题p是命题q的充要条件的是( )
A.在中,,.
B.已知x,y是两个实数,,.
C.对于两个实数x,y,,或.
D.两条直线方程分别是,,,或.
7、记函数的最小正周期为T.若,为的零点,则的最小值为( )
A.2B.3C.4D.6
8、双曲线的左右焦点分别为,,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点P,若轴,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
9、在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知,,的面积为,则的周长是( )
A.4B.6C.8D.18
10、如图所示,在长方体中,点E是棱上的一个动点,若平面与棱交于点F,给出下列命题:
①四棱锥的体积恒为定值;
②四边形是平行四边形;
③当截面四边形的周长取得最小值时,满足条件的点E至少有两个;
④直线与直线DC交于点P,直线与直线DA交于点Q,则P,B,Q三点共线.
其中真命题是( )
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
11、已知,,,其中e为自然对数的底数,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
12、四叶草曲线是数学中的一种曲线,某方程为,因形似花瓣,又被称为四叶玫瑰线(如图),在几何学,数学,物理学等领域中有广泛的应用.例如,它可以用于制作精美的图案,绘制函数图象,描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象,给出如下4条性质,其中错误的是( )
A.四叶草曲线方程是偶函数,也是奇函数;
B.曲线上两点之间的最大距离为;
C.曲线经过5个整点(横,纵坐标都是整数的点);
D.四个叶片围成的区域面积小于.
三、填空题
13、已知向量,,且与的夹角为,则________.
14、已知,是两个具有线性相关的两个变量,其取值如下表:
其回归直线过点,则m,n满足的条件是________.
15、某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥外接球的体积是________.
16、已知抛物线与圆,过圆心M的直线l与抛物线C和圆M分别交于A,B,C,D,其中A,C在第一象限,B,D在第四象限,则最小值是________.
四、解答题
17、①数列中,已知,对任意的p,都有,令.②函数对任意有,数列满足,令.
在①,②中选取一个作为条件,求解如下问题.
（1）数列是等差数列吗?请给予证明.
（2）求数列的前项和.
18、内蒙古自治区新高考改革自2022年起执行,在取消文理分科后实行“”模式,即语数外三科为国家统考,所有考生必选,然后从物理,历史2科中任选1科,再从化学,生物,政治和地理中任选2科参加高考.选科前大家普遍认为,传统的“大文大理”(即“数理化”,“政史地”组合)还依然是主流,而且男生将依然是“大理”的主体.某校为了解学生对“大理”的选择是否与性别有关,从该校高一年级1000名学生(550名男生,450名女生),按男女生分层随机抽样抽取100人进行选科意向调查.经统计,选择“大理”的人数比非“大理”人数多出20人.
（1）完成上面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为选择“大理”与性别有关;
（2）为了进一步了解学生进行选科的理由,随机选取了男生4名,女生2名进行访谈,再从中抽取2名代表作详细交流,求至少抽到1名女生的概率.
附表及公式:,.
19、已知为等边三角形,其边长为4,点D为边AC的中点,点E在边AB上,并且,将沿DE折起到.
（1）证明:平面平面BCDE;
（2）在棱BC上取一点P,使,求.
20、已知函数,
（1）若点M是图象上一点,点N是图象上一点,在当时,求M,N两点之间的最近距离;
（2）若函数在上单调递减,求实数a的取值范围.
21、已知椭圆的离心率为,其左,右顶点分别为A,B,左,右焦点为,,点P为椭圆上异于A,B的动点,且的面积最大值为.
（1）求椭圆E的方程;
（2）设过定点的直线交椭圆E于M,N两点(与A,B不重合)证明:直线AM与直线BN的交点的横坐标为定值.
22、在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程,曲线的直角坐标方程;
（2）设点,曲线,的交点为A,B,求的值.
23、已知函数,若的解集为.
（1）求实数a,b的值;
（2）已知m,n均为正数,且满足,求证:.
参考答案
1、答案：C
解析:因为全集,
由知,,;
由知,,,
则集合,
故选:C.
2、答案：B
解析:复数z的虚部为,可令
又在复平面内复数z对应向量的模长为2,
则,解之得,则
故选:B
3、答案：C
解析:A选项,设该直播间第一季度总收入为单位1,则设该直播间第二季度总收入为单位2,该直播间第三季度总收入为单位4,所以第三季度总收入是第一季度总收入的4倍,故A错误;
B选项,因为第三季度总收入是第一季度总收入的4倍,设该直播间第一季度总收入为单位1,故该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的倍,B错误;
C选项,设该直播间第一季度总收入为单位1,故直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的倍,C正确;
D选项,设该直播间第一季度总收入为单位1,则该直播间第三季度食品收入为,前两个季度的食品收入之和为,
因为,故该直播间第三季度食品收入高于前两个季度的食品收入之和,D错误.
故选:C
4、答案：D
解析:,,
则
则为偶函数,其图像关于y轴对称,排除AB;
又时,排除C,
故选:D
5、答案：B
解析:n连环所需的最少移动步数为,,,,
则,,,
,.
故选:B
6、答案：A
解析:A.在中,
当时,由三角形中大边对大角,小边对小角得,
又由正弦定理可得;
当时,由正弦定理可得,
又由三角形中大边对大角,小边对小角得,
所以命题p是命题q的充要条件,故A正确;
B.由得,故命题p是命题q的必要条件,故B错误;
C.对于两个实数x,y,若,则或,反之不成立,故命题p是命题q的充分条件,故C错误;
D.两条直线方程分别是,,
当时,,解得,
所以命题p是命题q的充分条件,故错误;
故选:A
7、答案：C
解析:因为的最小正周期为,且,
所以,
因为,所以,
所以,
因为为的零点,
所以,
所以,,解得,
因为,所以的最小值为4,
故选:C
8、答案：D
解析:由题意得,
中,令得,解得,
故,
因为,所以,结合可得,
方程两边同时除以得,,
解得,负值舍去,故离心率为.
故选:D
9、答案：B
解析:,由正弦定理得,,
又,
所以,
因为,所以,故,
因为,所以,
由三角形面积公式可得,故,
由余弦定理得,
解得或(舍去),
故三角形周长为.
故选:B
10、答案：C
解析:①四棱锥的体积等于三棱锥的体积
与三棱锥的体积之和,
又长方体中,平面,
则点E,F到平面的距离为定值,
则四棱锥的体积恒为定值.判断正确;
②由平面与棱交于点F,
可得平面平面,平面平面,
又平面平面,则;
又平面平面,平面平面,
又平面平面,则,
又,四边形是平行四边形.判断正确;
③由②可得,截面四边形是平行四边形.
当的值最小时,四边形的周长取得最小值.
将侧面与侧面展开在同一平面,
当且仅当E为直线与交点时的值最小,
则当截面四边形的周长取得最小值时,满足条件的点E仅有1个.判断错误;
④直线与直线DC交于点P,直线与直线DA交于点Q,
则P,B,Q三点均为平面与平面ABCD的公共点,
由平面与平面ABCD有且仅有一条交线可得P,B,Q三点共线.判断正确.
故选:C
11、答案：B
解析:,,,
则,令,,
则在上递减,则,
所以在上递增,则,即,
则,令,
则在上递减,则,
所以在上递减,则,即,
故选:B
12、答案：AB
解析:对于A,用,替换方程中x,y,方程不变,四叶草曲线方程不是函数的解析式,
所以不是偶函数,也不是奇函数,只是四叶草曲线关于x,y轴,原点对称,故A错误;
对于B,设曲线上的点到原点的距离为,因为,所以,,所以,
可得,即,根据对称性可得两点之间的最大距离为,故B错误;
对于C,由B可知,所以,,可得曲线上的整点有,,,,,曲线经过5个整点,故C正确;
对于D,由B可知,曲线上的点到原点的距离最大值为,
以O为圆心,为半径的圆的面积为,所以四个叶片围成的区域面积小于,故D正确.
故选:AB.
13、答案：
解析:向量,,则,
又与的夹角为,则,
解之得或(舍)
故答案为:
14、答案：
解析:,,
则,
因为回归直线过点,所以,
故,故.
故答案为:
15、答案：
解析:画出直观图如下:即三棱锥,其中,,
此三棱锥外接球即为长方体的外接球,则长方体体对角线即为外接球直径,
设外接球半径为r,
则,所以,.
故答案为:
16、答案：
解析:的圆心为,半径为1,
所以圆心为抛物线的焦点,且圆M过抛物线的顶点.
当轴时,,则,
当AB斜率存在时,设其方程为,,,
将代入得,
则,
所以
,
当且仅当,即时取等号,
由知,的最小值为.
故答案为:
17、答案：（1）数列是等差数列,证明过程见详解;
（2）
解析:（1）若选①,数列是等差数列,证明如下:
因为,对任意的p,都有,
令,,所以,
则,又因为,所以数列是以为首项,为公差的等差数列.
若选②,数列是等差数列,证明如下:
因为函数对任意有,
令,得,即,
,
又,
两式相加,得,
所以,.
又因为,
所以数列是以1为首项,为公差的等差数列.
（2）若选①,由（1）知,,
所以,
所以.
若选②,由（1）知,,
所以,
所以.
18、答案：（1）详见解析;
（2）
解析:（1）该校高一年级1000名学生(50名男生,450名女生),
按男女生分层随机抽样抽取100人,则样本中55名男生,45名女生
选择非“大理”男生15名,则选择“大理”男生40名,
设选择非“大理”女生x名,则选择“大理”女生名,
则,解之得,
则选择非“大理”女生25名,则选择“大理”女生20名,则列联表如下:
则能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为选择“大理”与性别有关;
（2）在选取的4名男生2名女生中,抽取2名代表作详细交流,
记“至少抽到1名女生”为事件A,
则
即至少抽到1名女生的概率为.
19、答案：（1）证明过程见解析
（2）
解析:（1）因为,所以折叠后,,
因为,,平面,
所以平面,
因为平面BCDE,
所以平面⊥平面BCDE;
（2）要想,只需四边形BPDE的面积为四边形BCDE面积的一半,
连接BD,则,,故,,
故,,
故四边形BCDE的面积为,
所以边形BPDE的面积为,,
由三角形面积公式得,解得,
.
20、答案：（1）;
（2）
解析:（1）设点为图像上一点,
,则,令,
则,又,此时,
则在点处的切线方程为
则点到直线的距离
则M,N两点之间的最近距离为
（2）,,
则,,
由函数在上单调递减,
可得在上恒成立,
即在上恒成立,
令,,则,
由,可得;由,可得
则当时,取得最小值
则,则实数a的取值范围为
21、答案：（1）
（2）证明过程见解析
解析:（1）当P点位于上顶点或下顶点时,取得最大值,
则,
又,,解得,,
故椭圆E的方程为;
（2）因为,所以为椭圆的左焦点,
因为M,N两点与A,B不重合,所以过定点的直线斜率不为0,
设过定点的直线为,
与联立得,
设,,则,,
直线AM的方程为,直线BN的方程为,
联立与得
,
所以直线AM与直线BN的交点的横坐标为定值.
22、答案：（1）详见解析;
（2）5
解析:（1）曲线的参数方程为(t为参数),
则曲线的普通方程为;
曲线的极坐标方程为,即,
则曲线的直角坐标方程为,整理得;
（2）曲线的普通方程为,点在曲线上,
则曲线的一个参数方程为(t为参数),
代入,整理得,
A,B对应的参数分别为,,则,
则.
23、答案：（1）,
（2）证明见解析
解析:（1）由题意得,故,即,
解得,
故的解集为,
当时,,解得,故,
当时,,解得,故,
当时,,解得,解集为空集,
综上,的解集为,故;
（2）由（1）知,
已知m,n均为正数,故,即,,
当且仅当,,时,等号成立,
所以,当且仅当,时,等号成立.
x
1
2
3
4
5
y
4
m
9
n
11
选择“大理”
选择非“大理”
合计
男生
15
女生
合计
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
选择“大理”
选择非“大理”
合计
男生
40
15
55
女生
20
25
45
合计
60
40
100