2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.6 第1课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)

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这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.6 第1课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．为了得到函数y＝cs 2x的图象，只需把函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象( D )
A．向左平移eq \f(π,4)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,8)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,8)个单位长度
解析：因为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))，所以y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,8)个单位长度可得到函数y＝cs 2x的图象．
2．为了得到函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))，x∈R的图象，只需将函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R的图象上所有点的( A )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，横坐标不变
3．为得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝3sin 2x的图象( D )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
解析：因为y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，故将函数y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，即得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．故选D．
4．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,10)))的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( A )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10)))
B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,20)))
C．y＝sin x
D．y＝sin 4x
解析：将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,10)))的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10)))＋\f(π,10)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,10)))的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2x－\f(π,10)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10))).
5．为得到函数y＝cs 2x的图象，只需将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象( A )
A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
B．向左平移eq \f(π,12)个单位长度
C．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,12)个单位长度
解析：由题意可得，函数y＝cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))，∴y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度可得y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象．故选A．
二、多项选择题
6．将函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象变换为函数y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象，则所做的变换可以是( AD )
A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C．向右平移eq \f(2π,3)个单位长度
D．向右平移eq \f(5π,6)个单位长度
解析：由诱导公式，函数y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))可变换为y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)＋\f(π,2)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))⇔y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，又因为y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))⇔y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，所以可以向左平移eq \f(π,6)个单位长度，也可以向右平移eq \f(5π,6)个单位长度．故选AD．
7．为了得到函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))的图象，只需将函数y＝2cs 2x的图象( BD )
A．向左平移eq \f(π,5)个单位长度
B．向左平移eq \f(π,10)个单位长度
C．向右平移eq \f(4π,5)个单位长度
D．向右平移eq \f(9π,10)个单位长度
解析：因为y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))＝2cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,10)))，所以将函数y＝2cs 2x的图象向左平移eq \f(π,10)个单位长度，得到y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))的图象，则A错误，B正确；因为y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)－2π))＝2cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9π,10)))，所以将函数y＝2cs 2x的图象向右平移eq \f(9π,10)个单位长度，得到y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))的图象，则C错误，D正确．故选BD．
三、填空题
8．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象可由y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(5π,24)个单位长度得到．
9．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))图象上各点的纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－\f(π,3)))的图象．
解析：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象
eq \(――――――――→,\s\up7(图象上各点的纵坐标不变),\s\d5(横坐标伸长为原来的5倍))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－\f(π,3)))的图象．
10．将函数y＝sin 4x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为eq \f(π,3).
解析：将函数y＝sin 4x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，所得函数解析式为y＝sin 4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3)))，所以φ的值为eq \f(π,3).
四、解答题
11．已知函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，该函数的图象由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到．
解：第一步：把函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象；
第二步：把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；
第三步：将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象上各点的纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(横坐标不变)，得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象．
12．把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移eq \f(π,6)个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的eq \f(2,3)，所得图象的解析式是y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，求f(x)的解析式．
解：将y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象的纵坐标伸长为原来的eq \f(3,2)，得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象；
再将其图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象；
再将其图象上的各点向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝3cs x的图象，
故f(x)＝3cs x.
13．(多选题)将函数f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))－1的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到函数g(x)的图象与f(x)的图象重合，则ω的值可以为( ABD )
A．－6B．6
C．8D．12
解析：由题意可知，g(x)＝
eq \r(3)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))－1＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(ωπ,3)＋\f(π,3)))－1，因为函数g(x)的图象与f(x)图象重合，所以eq \f(ωπ,3)＋eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，解得ω＝6k，k∈Z.当k＝－1时，ω＝6k＝6×(－1)＝－6，故A正确；当k＝1时，ω＝6k＝6×1＝6，故B正确；当k＝2时，ω＝6k＝6×2＝12，故D正确．故选ABD．
14．为了得到函数y＝sin 2x的图象，需将函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象沿x轴向右平移m个单位长度，则正实数m的最小值是eq \f(π,8).
解析：y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))＋\f(π,4)))＝sin 2x，故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象沿x轴向右平移eq \f(π,8)个单位长度即可得到函数y＝sin 2x的图象．
15．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得到函数f(x)的图象．
(1)写出函数f(x)的解析式；
(2)求实数a和正整数n，使得F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 022个零点．
解：(1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图象，再向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得到函数f(x)＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，故函数f(x)的解析式为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
(2)因为F(x)＝f(x)－a在[0，nπ]上恰有2 022个零点，
故函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上有2 022个交点，
当x∈[0，π]时，2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,3)))，
①当a>1或a<－1时，函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上无交点；
②当a＝1或a＝－1时，函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，此时要使得函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上有2 022个交点，则n＝2 022；
③当－1④当a＝eq \f(\r(3),2)时，函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，π]上有3个交点，此时要使得函数f(x)的图象与直线y＝a在[0，nπ]上有2 022个交点，则n值不存在，
综上，当a＝1或a＝－1时，n＝2 022；当－1