第23讲　简单的三角恒等变换--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.半角公式
(1)公式Sα2:sin α2=±1-csα2.
(2)公式Cα2:cs α2=±1+csα2.
(3)公式Tα2:tan α2=±1-csα1+csα(符号由角的范围确定).
2.常用的部分三角公式
(1)1-cs α= ,1+cs α= .(升幂公式)
(2)1±sin α= .(升幂公式)
(3)sin α=2tan α21+tan2α2,cs α= ,tan α= .(万能公式)
(4)asin α+bcs α=a2+b2 ,其中sin φ=ba2+b2,cs φ=aa2+b2.(辅助角公式)
3.三角恒等变换的基本技巧
(1)变换函数名称:使用诱导公式.
(2)升幂、降幂:使用倍角公式.
(3)常数代换:如1=sin2α+cs2α=tan π4.
(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.
2.(1)2sin2α2 2cs2α2
(2)（sin α2±cs α2）2
(3)1−tan2α21+tan2α2 2tanα21−tan2α2
(4)sin(α+φ)
分类训练
探究点一 三角函数式的化简
例1 (1)21+sin4+2+2cs4=( )
A.2cs 2B.2sin 2
C.4sin 2+2cs 2D.2sin 2+4cs 2
(2)化简:cs（π2-α）cs(2π-β)-sin（32π -α）sin(π+β)= .
例1 [思路点拨] (1)将1拆解为sin22+cs22,将cs 4和sin 4利用二倍角公式拆开,使得根号下的式子变成完全平方的形式,再根据符号整理;(2)由题意利用诱导公式、两角差的正弦公式,化简所给的式子,可得结果.
(1)B (2)sin(α -β) [解析] (1)∵1+sin4=sin22+2sin2cs2+cs22=(sin2+cs2)2=sin 2+cs 2,2+2cs4=2(1+cs4)=2(1+2cs22-1)=4cs22=-2cs 2,
∴21+sin4+2+2cs4=2sin 2+2cs 2-2cs 2=2sin 2,故选B.
(2)cs（π2-α）cs(2π-β)-sin(32π -α)sin(π+β)=sin α cs β -(-cs α)(-sin β)=sin(α -β).
[总结反思] (1)三角函数式的化简要遵循的“三看”原则:
①一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式;
②二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
③三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.
(2)三角函数式化简的常见方法有弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂与升幂.余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用.化简结果要求函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.
变式题 已知α∈(0,π),化简:
(1+sinα+csα)·(cs α2-sin α2)2+2csα= .
变式题 cs α [解析] ∵α∈(0,π),∴α2∈(0,π2),
∴(1+sinα+csα)·(cs α2-sin α2)2+2csα=
(1+2sin α2cs α2+2cs2 α2-1)(cs α2-sin α2)2+2(2cs2α2-1)=
2cs α2(sin α2+cs α2)·(cs α2-sin α2)|2cs α2|=
2cs α2·csα2cs α2=cs α.
探究点二 三角函数式的求值
角度1 给值求值
例2 已知α∈(0,π2),2sin 2α=cs 2α+1,则sin α=( )
A.15B.55
C.33D.255
例2 [思路点拨] 利用二倍角公式把2sin 2α=cs 2α+1化简为2sin α=cs α,进而利用同角三角函数的基本关系式求出sin α.
B [解析] 2sin 2α=cs 2α+1⇒4sin αcs α=2cs2α,因为α∈(0,π2),所以cs α≠0,所以2sin α=cs α,代入sin2α+cs2α=1得sin2α=15,而α∈(0,π2),
所以sin α=55.
[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值),求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.
变式题 (1)已知0