2023-2024学年福建省华安县第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省华安县第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】解：因为，，
所以=.
故选：C.
2．已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定，即可得出答案.
【详解】解：因为：，，
则为，.
故选：C.
3．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】根据同一函数的概念求解判断.
【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B中，函数和的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数与的定义域都是，且对应法则相同，所以是同一函数.
故选：D.
4．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由集合，中的元素特征判断可得.
【详解】，
当时，表示的整数倍与的和，表示的整数倍与的和，
故，
故选：A
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】若，则，，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
6．已知集合，，则（ ）.
A．1B．C．或1D．3
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系可得或，解出，由集合的互异性检验即可得出答案.
【详解】因为，，所以或，解得或1，
当时，，不符合集合元素的互异性，舍去，当时，，符合题意.
故.
故选：B
7．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法直接求解即可.
【详解】令，，则，，
所以，
所以的解析式为：
故选：B.
8．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【分析】根据分式函数中分母不为0得，恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可.
【详解】由函数的定义域为R，得，恒成立.
当时，恒成立；
当时，，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.
故选：C.
二、多选题
9．下列关系中正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可.
【详解】因为Z表示集合中的整数集，N表示集合中的自然数集，
Q表示有理数集，R表示实数集．
所以AB正确．
故选：AB
10．设集合，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的定义，明确图象中的函数关系以及定义域和值域，逐一判别，可得答案.
【详解】对于A选项，其定义域是，不是，故A错误；
对于B选项，其定义域是，值域，故B正确；
对于C选项，其与函数定义相矛盾，故C错误；
对于D选项，其定义域是，显然值域包含于集合，故D正确；
故选：BD.
11．已知a，b，c是实数，下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
【答案】BD
【分析】举特殊值，以及根据不等式的性质和作差法，即可判断选项.
【详解】A.当，则，故A错误；
B.若，则，则，故B正确；
C.当，，则，故C错误；
D.，
因为，所以，
所以，即，故D正确.
故选：BD
12．若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值B．有最大值2
C．有最小值4D．有最小值
【答案】AC
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于A，，
当且仅当时取等号，
所以有最大值，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
所以有最大值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，
所以有最小值4，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以有最小值，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．已知函数，则的定义域为 .
【答案】
【分析】根据函数解析式的特点列出限制条件，化简可得答案.
【详解】由题意，解得且，
所以定义域为.
故答案为：
14．已知集合，，若，则实数的取值集合为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程化简集合A，即可根据子集关系求解.
【详解】因为集合，，
所以：当时，，满足，因此为所求；
当时，，由得或，解得或．
综上所述，实数的取值集合为．
故答案为：．
15．函数，对使成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据一次函数与二次函数的性质，求得函数在固定区间上的值域，结合题意，建立不等式组，可得答案.
【详解】由函数，则其单调性为单调递增，所以其在上的值域为；
由函数，根据二次函数的性质，其在上的值域为；
根据题意，，可得不等式组，解得，
所以可得.
故答案为：.
16．已知函数，对，有，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得到函数是上的单调递减函数，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为对，，有，
可得函数是上的单调递减函数，
由，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．设全集为R，，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的定义即可求解；
（2）先求出 ，再根据交集的定义即可得出答案.
【详解】（1）∵，，
∴．
（2）∵，∴．
18．设函数.
(1)求，；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据函数的解析式，求得，，进而得到的值.
（2）根据函数的解析式，分，和三种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）；
又，所以.
（2）①当时，，满足题意；
②当时，，满足题意；
③当时，，不满足题意.
综上①②③：的值为或.
19．设集合，，．
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）首先应用补集运算求，再由交集运算求即可；
（2）由题设BA，讨论、列不等式求参数范围即可.
【详解】（1）由题意，当时，故或，
而，故.
（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得BA，
当时，，符合题意；
当时，需满足（、等号不能同时成立），解得，
综上，m的取值范围为或．
20．已知函数，，满足条件，.
(1)求的解析式；
(2)用单调性的定义证明在上的单调性，并求在上的最值.
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析，，
【分析】（1）根据，代入得到方程组，解得即可；
（2）利用定义法证明，再根据单调性求出函数的最值.
【详解】（1）因为且，，
所以，解得，所以.
（2）在上单调递减，证明如下：
由，
设任意的且，
则
，
因为且，所以，，，
所以，则在上单调递减，
所以，.
五、应用题
21．“绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？
(2)该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？
【答案】(1)500
(2)不能获利，该市政府需要补贴元
【分析】（1）由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可；
（2）由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题意，，
所以每吨二氧化碳的平均处理成本为元，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该企业每月处理量为500吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低.
（2）设该企业每月的利润为，
则，
因为，
所以当时，函数取得最大值，即，
所以该企业每月不能获利，该市政府至少需要补贴元才能使该企业在该措施下不亏损.
六、解答题
22．设函数,
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值．
（3）若 求不等式的解集.
【答案】（1）2；（2）；（3）分类讨论，详见解析.
【分析】（1）根据不等式与相应的方程之间的关系得出关于的方程组，求解可得出的值；
（2）由得，再代入中运用均值不等式可求得最小值；
（3）由已知将不等式化为，即，对分①，②，③，④四种情况分别讨论得出不等式的解集.
【详解】（1）由不等式的解集为可得：方程的两根为，3且,
由根与系数的关系可得：，
所以
（2）由已知得,则
，
当时，，所以（当且仅当时等号成立）；
当时，，所以（当且仅当时等号成立）；
所以的最小值为；
（3）由得，
又因为 所以不等式化为，即，
当时，，原不等式或
若，原不等式此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当时，不等式的解集为；
（2）当时，，不等式；
（3）当时，，不等式 .
综上所述，不等式的解集为：
①当时，或；
②当时，；
③当时，；
④当时，.
故得解.
【点睛】本题综合考查二次函数与一元二次不等式、一元二次方程之间的转化的关系，以及利用均值不等式求解最值和讨论参数的范围求解一元二次不等式，属于中档题.