2023-2024学年福建省将乐县第一中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省将乐县第一中学高一上学期第一次月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．方程和方程的所有实数解组成的集合为，则中的元素个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先求得两个方程的根，根据集合中元素的互异性，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，方程的两根为，方程的两根为，
根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素．
故选C．
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及元素的基本特征，其中解答中熟记集合中元素的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
2．已知，设，，则M与N的大小关系是（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】通过作差即可比较两者的大小.
【详解】解：由题意知，，所以，
故选:C.
3．若集合，，，则的关系是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的表示含义即可得到答案.
【详解】已知，，，
显然可表示整数，而只能表示偶数；所以．
故选：A．
4．如果，则正确的是（ ）
A．若a>b，则B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+dD．若a>b，c>d，则ac>bd
【答案】C
【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.
【详解】对于A:取则，故A错，
对于B:若，则，故B错误，
对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，
对于D:若，则，，故D错误.
故选：C
5．集合，，且，实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或或
【答案】D
【分析】根据题意转化为，结合，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由集合，且，
又由，可得，
当时，此时集合，满足；
当时，可得，要使得，则满足或，解得或，
综上可得，实数的值为或或.
故选：D.
6．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.
【详解】解：因为，且，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得或，
所以的取值范围是．
故选：C
7．已知为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为为正实数且，
所以，
所以，
因为，当且仅当时等号成立；
所以，当且仅当时等号成立；
故选：D
8．已知命题，0，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．3B．
C．D．
【答案】C
【分析】分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，根据必要不充分条件的定义求解即可．
【详解】根据题意可得，即,
令，可得时，，
当且仅当时，等号成立；即只需即可；
再由必要不充分条件的定义可得符合题意.
故选：C
二、多选题
9．已知全集，集合，，则（ ）
A．的子集有个B．C．D．中的元素个数为
【答案】ACD
【分析】根据已知条件求出集合，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解.
【详解】因为，所以，
因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确；
由，，得，所以，故B不正确；
由，，所以，所以， 故C正确；
由，得中的元素个数为，故D正确.
故选：ACD.
10．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
【答案】BD
【分析】根据差集定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A：由且，故，故A错误；
对于B：由且，则，故，故B正确；
对于C：由韦恩图知：如下图阴影部分，
所以，故C错误；
对于D：或，则或，故D正确.
故选：BD.
11．下列四个命题中，是真命题的有（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．，都有
C．若a，b是实数，则“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的充分条件
【答案】AD
【分析】根据存在量词命题的否定判断A；举例说明即可判断BC；根据交集的定义和运算、充分条件的定义判断D.
【详解】A：“”的否定为“”，故A正确；
B：当时，有，所以“，都有”错误，故B错误；
C：当时，满足，但不满足；
当时，满足，但不满足，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D：若，则且，
所以“”是“”的充分条件，故D正确.
故选：AD.
12．已知，，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．有最大值为B．有最小值为9
C．有最小值为D．有最小值为3
【答案】ABD
【分析】直接利用基本不等式，可求得的最大值，判断A; 将变为
，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将 代入，利用二次函数知识可判断C,将代入，利用基本不等式可判断D.
【详解】由，，且，可知，即，
当且仅当 时取等号，故A正确；
，
当且仅当 即 时取等号，故B正确；
由，，且，可知，故，
当时，取得最小值为 ，故C错误；
，当且仅当，即时取等号，
故D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．若集合，，则 ．
【答案】
【分析】分别求出集合中不等式的解集，再根据集合的交集运算，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，得，所以，
又因为，所以，得或，所以，
所以.
故答案为：
14．“，”是假命题，则实数的取值范围为 ．（用区间表示）
【答案】
【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围．
【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立；
当时，由二次函数的图像及性质可知，解得，
综上，实数的取值范围为，
故答案为：．
15．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可.
【详解】因为命题“”为假命题，
所以命题“”为真命题，
因为集合，当时，集合，符合；
当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以，
综上所述：实数的取值范围为，
故答案为：.
16．已知正实数x，y，满足．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 （用区间表示）
【答案】
【分析】将变形为，求得的最小值为6，由求得m的取值范围.
【详解】由得：，则，
∴

，
当且仅当，即，时，等号成立﹒
∴，解得：或．
故答案为：
四、解答题
17．设集合，A=，．
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案．
（2）根据题意可得，讨论集合B是否为空集，列出相应不等式，即可求得答案．
【详解】（1）由题意知当时，，故或，
而，故；．
（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得是的真子集，
故当时，，符合题意；．
当时，需满足，且中等号不能同时取得，解得，
综合以上，m的取值范围为或．
18．（1）已知且，求的最小值．
（2）已知，，且．证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）使用“1”的代换求的最小值．
（2）由及得证.
【详解】（1）因为，且，
则
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以．当且仅当时，等号成立
则，即，当且仅当时，等号成立．
19．已知集合，.
(1)若，求实数k的取值范围；
(2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合，根据集合之间的关系，可列不等式，可得答案；
（2）根据必要不充分条件，可得集合之间的关系，利用分类讨论，可列不等式，可得答案.
【详解】（1）由，移项可得，通分并合并同类项可得，等价于，解得，则；
由，则，即，解得.
（2）p是q的必要不充分条件等价于.
①当时，，解得，满足.
②当时，原问题等价于（不同时取等号）
解得.
综上，实数k的取值范围是.
20．已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为,求实数的值；
（2）设,若不等式对任意实数都成立,求实数的取值范围；
【答案】（1） （2）
【详解】试题分析：（1）把问题转化为一元二次方程的问题，利用方程的根建立二次一次方程组，求得a和b的值．
（2）把不等式整理成确定等号左边的最小值，进而确定等号右边的范围求得b的范围．
试题解析：（1）因为不等式的解集为，
所以由题意得为函数的两个根,
所以,
解得．
（2）当时,恒成立,
即恒成立．
因为 ,
所以,
解之得,
所以实数的取值范围为 ：
【解析】1．二次函数的性质；2．函数恒成立问题
21．已知二次函数.
(1)若，不等式对一切实数x恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，存在使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合根的判别式即可得解；
（2）分离参数，再根据基本不等式即可得解.
【详解】（1）若，则，，
因为不等式对一切实数x恒成立，
则，解得；
综上所述，实数的取值范围是；
（2）若，不等式即为：，
当时，可变形为：，即，
又，当且仅当，即时，等号成立，
，即，
实数的取值范围是：.
22．某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【答案】(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．