2024届福建省漳州市华安县第一中学高三上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2024届福建省漳州市华安县第一中学高三上学期第二次月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，所以，解得，
所以，又，
所以.
故选：C
2．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的模长可得，进而由夹角公式即可求解.
【详解】由得，
将代入可得，
所以，所以，
由于，所以，
故选：B
3．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
A．10B．C．5D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再求模即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求出，再利用余弦函数的二倍角公式求解即可.
【详解】
，
则，
故选：D.
5．如图，､是双曲线：的左､右焦点，过的直线与双曲线交于､两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，利用双曲线的定义得，
再利用勾股定理建立方程组，消去,得到，进而得到的值，由得到双曲线的渐近线方程.
【详解】设，
,
①，
②,
由①可得
代入②式化简得：,
∴,∴,
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.
6．把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到个面有颜色的小正方体的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】一共有个小正方体，
其中个面有颜色的小正方体有个，（每条棱上有个）
所以恰好抽到个面有颜色的小正方体的概率为.
故选：C
7．黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann）发现提出黎曼函数定义在上，其解析式为：当为真约数且时，当或上的无理数时，若函数是定义在R上的偶函数，且，，当时，，则：（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知可推得偶函数的周期为4，利用偶函数性质、周期性求目标函数值.
【详解】由题意，则，
所以偶函数的周期为4，
，
，
所以.
故选：B
8．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数,，讨论得出函数单调性递增后，通过作差或作商判断，大小后，即可判断,的大小，利用下凸函数与割线的关系即可判断,的大小.
【详解】因为，连接和,得割线方程,
因为在上是下凸函数，
所以在上，割线在正切曲线上方，即,
所以当时，,
令，，
，
当时，因为,即，
所以在单调增，即,
因为，
所以，即，
故，即.
故选：A.
二、多选题
9．关于函数，，下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在上单调递增
C．函数的表达式可改写为
D．函数图像可先将图像向左平移，再把各点横坐标变为原来的得到
【答案】AC
【分析】对选项A，根据即可判断A正确；对选项B，根据在区间先增后减即可判断B错误；对选项C，根据即可判断C正确；对选项D，利用三角函数平移变换的性质即可判断D错误.
【详解】对选项A，，，故A正确.
对选项B，因为，所以，
所以在区间先增后减，故B错误.
对选项C，，
故C正确.
对选项D，图像向左平移得到，
再把各点横坐标变为原来的得到，故D错误.
故选：AC
10．圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．
A．若，则点的轨迹为圆
B．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分
C．存在唯一的一组点，使得
D．的取值范围是
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点的轨迹方程判断选项A和选项B，假设，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C，计算的最大值判断选项D.
【详解】对B，如图，不妨以为原点，以的垂直平分线，
分别为轴建立空间直角坐标系，则，
，设，则，
由题意，，化简得，，
由于点在上底面内，所以的轨迹是抛物线的一部分，故B正确；
对A， ，化简得，即点的轨迹为椭圆，故A错误；

对C，设点在下平面的投影为，若，
则，则，
当在线段上时，可取最小值，
由均值不等式，，
当且仅当时等号成立，
所以，即，
而点只有在与点重合时，才能取到，
此时点与点重合，点与点重合，故C正确；
对D，当点与点，点与点重合，
的值为，故D错误.
故选：BC
【点睛】判断本题选项B时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角的计算公式列式计算.
11．设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】AC
【分析】根据题意，求得，结合函数极值点的定义，分类讨论，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得或，
要使得为函数的极小值点，
当时，则满足，解得，所以A正确；
当时，则满足，解得，所以C正确.
故选：AC.
12．已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】由为等差数列，先求出，由可判断选项A；对于选项B，分为奇数和偶数分别求的前项和，从而可判断; 选项C，先得出，从而得出，，再分为奇数和偶数分别求的前项和；对于选项D，由，求出，从而可求出的前项的和.
【详解】由为等差数列，，公差为，则
当时，，则选项A不正确.
当为偶数时，
当为奇数时，
故，所以选项B正确.
当为偶数时，
当为奇数时，
所以， 故选项C正确.
所以
，所以选项D正确
故选：BCD
三、填空题
13．若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，验证函数为偶函数且值域为即可.
【详解】取，函数的定义域关于坐标原点对称，
且，即函数为偶函数，
当时，，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）
14．的展开式中，项的系数为 ．
【答案】252
【分析】写出二项式通项公式，求出项的对应，进而确定求系数.
【详解】由二项式展开式通项为，
令，则，则，故项的系数为.
故答案为：
15．记双曲线：的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】写出一个双曲线方程，使是其一条渐近线，进而求离心率.
【详解】直线与C无公共点，双曲线的一条渐近线是即可，
如，此时离心率.
故答案为：（答案不唯一）
16．已知椭圆，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.
【详解】
设，，则，，
设、、，分别为直线、、的斜率，
则，，，
因直线是以为直径的圆的切线
所以，，
所以，
又在直线上，所以，
因、在上，
所以，，
两式相减得，
整理得，
故，即，
，
故.
故答案为：
四、解答题
17．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
18．在中，角所对的边分别为，若且.
(1)求的值；
(2)若平分，且交于点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简，可得，利用余弦定理化简，并把代入即可求得的值；
（2）设,利用，结合三角形面积公式可求得继而可求得的值，并进一步计算即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，则，
又，由余弦定理得：
化简为，
把代入上式，并化简可得：；
（2）设,
因为平分，且交于点，

则，
即，
又，，
化简为，
又，所以
则
所以的面积
19．如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．

(1)若是中点，求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，勾股定理逆定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量公式计算即可．
【详解】（1）因为四边形为正方形，
所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
连接，则，
在中，，
所以，
因为，，平面，且，
从而平面，
又平面，
所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
又平面，
所以，
又因为，所以，
又是中点，，所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
又因为平面，
所以．

（2）由（1）知，平面，且，
以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则、、、，
则，，，
由得，，所以，
所以，，
设面的法向量为，由得，，取，则，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
20．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关；
（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（Ⅰ）有的把握（Ⅱ）
【详解】试题分析：（1）由题中给出的数据可完成列联表，代入公式求得的值，由表中给出的临界值可得有的把握认为平均车速超过 与性别有关．（2）从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为，由条件可知，分别求得其概率，可得分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）
……2分
，
所以有的把握认为平均车速超过与性别有关.
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为.
的可能取值为，且，
，
，
分布列为：
.
或.
点睛：掌握离散型随机变量分布列的注意点：(1)搞清离散型随机变量每个取值对应的随机事件，准确确定离散型随机变量所有可能的值，不可多也不能少；(2)求离散型随机变量的每一个值的概率，通常借助于排列、组合的知识，计算要准确无误；(3)在求离散型随机变量概率分布列时，需充分运用分布列的性质，一是可以减少运算量；二是可验证所求的分布列是否正确．
21．已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若，对任意正实数x恒成立，求正实数b的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性与导数关系，转化为求函数最值，即可证明不等式；
（2）根据函数结构将不等式变形，利用同构思想，，
构造为，构造函数，
再令结合单调性，即可求解正实数b的取值范围．
【详解】（1）解：若，则，，
所以.
令，所以，
当时，，；
当时，，，；
所以，对恒成立，
所以，在上单调递增.
又因为 ，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
又因为，所以.
（2）解：若，则，
由，
得，
令，
再令，则，
若，令，则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以，，得和，
则，满足题意；
若，则，不合题意，
若，因为在上单调递增，
且，
所以存在，使得，
即，即，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以
，
综上，数的取值范围是.
【点睛】本题是函数与导数综合应用，本题的关键点是利用指数对数同构，解决指对混合不等式恒成立问题求参数取值范围，通过构造函数模型，将不等式转化为性质，以实现简化代数关系，求解问题的目的；特别需要整理的是对于指对同构问题的式子，是同构成同底数的指数式还是对数式，例如或，还得结合函数单调性综合考虑，属于难题.
22．已知抛物线：（）上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交于，两点，过点，分别作的切线与，与相交于点，过点作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点，、、、分别与轴交于点、、、.记、、、的面积分别为、、、.若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合抛物线定义即可.
（2）设经过，两点的直线方程为：（），与抛物线方程联立得，.将每条直线表达出来，、、、表达出来，再由得出即可.
【详解】（1）设，由题意可得，即，
解得或（舍去），所以抛物线的方程为.
（2）如图，

设经过，两点的直线方程为：（），
与抛物线方程联立可得，
即，
∴，.
∵，则，
∴，
∴过点作的切线方程为，
令，得，即.
同理，过点作的切线方程为，
令，得，即.
∴.
联立两直线方程，解得，即，
则到直线的距离.
又∵过点作直线垂直于，
直线的方程为，
令，得，即.
同理，直线的方程为，
令，得，即.
∴.
联立两直线方程，解得，
整理后可得，即，
则到直线的距离.
由上可得，，
，，
∴，得，
∴直线的方程为即.
平均车数超过
人数
平均车速不超过
人数
合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
0.150
0．100
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
平均车数超过
人数
平均车速不超过
人数
合计
男性驾驶员人数
20
10
30
女性驾驶员人数
5
15
20
合计
25
25
50
0
1
2
3