2023-2024学年辽宁省东北育才学校科学高中部高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省东北育才学校科学高中部高一上学期第一次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】利用量词命题的否定求解即可.
【详解】量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”，
所以“，” 的否定为“，”.
故选：C.
2．已知集合，集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】化简集合，利用集合补集和交集的概念求出进而得到元素个数即可.
【详解】由解得或，
所以或，，
又因为，
所以，元素个数为2，
故选：B
3．已知，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件的定义就能行判断即可.
【详解】当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足且，
当且时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”，
故“x＋y≤1”是“且”的必要不充分条件．
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，属基础题.
4．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求得，再根据题中条件即可求得范围.
【详解】设
，
则，
所以，
又，，
则，
所以，
故选：
5．设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC，根据集合的交、并运算，子集的概念可判断D.
【详解】对于A， ，当时，结论不成立，则A错误；
对于B, ，当时，结论不成立，则B错误；
对于C，，当时，结论不成立，则C错误；
对于D，因为，，所以，又，所以，则，则D正确.
故选：D
6．数学里有一种证明方法叫做Prfswithutwrds，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过图形，并因为，，所以，，从而可以通过勾股定理求得，又因为，从而可以得到答案.
【详解】等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，，
，
而，所以，故选项B正确.
故选：B
7．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.
【详解】因为，，所以或，
由，得，
关于x的方程，
当时，即时，易知，符合题意；
当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意；
当时，即时，方程 无实根，
若a=0，则B={0}，，符合题意，
若或，则，不符合题意.
所以，故.
故选：B.
【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.
8．已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.
【详解】依题意，．
又，
而
，
当且仅当，即，时，
前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为
故选：
二、多选题
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
【答案】BC
【分析】结合特例法和不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对A，时不满足，故A项错误；
对B，，，即，故B项正确；
对C，若，，则，故C项正确；
对D，若且，则，当时，不满足，故D项错误.
故选：BC
10．设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】画出维恩图，再根据维恩图分析判断得解.
【详解】、B、I满足，先画出维恩图，如下图：
根据维恩图可判断出A、C、D都是正确的；
而，故B错误；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平.
11．设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0
B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个不相等的正根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BCD
【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m满足的不等式，解出m的范围，判断正误.
【详解】对于A选项，时无实根，A错误；
对于B选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得，一个必要条件是，B正确；
对于C选项，方程有两个不等正根，则，，，，解得；
对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则，，解得，D正确；
故选：BCD.
12．下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为．
B．已知，且，则的最小值为
C．已知，且，则的最小值为
D．若，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式直接讨论可判断A；由题知，再根据基本不等式“1”的用法求解可判断B；由题知，，再根据基本不等式“1”的用法求解可判断C；根据，结合不等式求解可判断D.
【详解】解：对于A选项，由得，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为，A选项正确；
对于B选项，已知，且，故，且，故，当且仅当时等号成立，B选项正确；
对于C选项，，且，故，故，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即的最小值为，故C选项错误；
对于D选项，因为，则，
所以，，故D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
13．设；．若是的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】若是的必要而不充分条件，可得是的必要而不充分条件，分别解不等式利用集合间的真包含关系即可求解.
【详解】由题意得，命题，解得，记
命题，即，
解得：，记，
又因为是的必要而不充分条件，
即是的必要而不充分条件，所以真包含于，
所以（等号不同时成立），解得，所以实数的取值范围为.
故答案为：
14．已知，关于的不等式的解集为，设，当变化时，集合中的元素个数最小时的集合为 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法求出解集确定出，利用基本不等式可得到的最小范围，再根据可得到集合中最少的元素个数时集合的元素.
【详解】由可得，所以，则原不等式的解集为，
设，
由基本不等式可得，
当且仅当即时取等号，
所以当时，，
所以，又，
所以，
则集合中的元素最少有4个时集合，
故答案为：
15．已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则 .
【答案】
【分析】由韦达定理可知，同号，分，都为负数和都为正数两种类型讨论，利用韦达定理和已知条件，解方程并检验即可.
【详解】∵一元二次方程有两个实数根，，∴，即.
由一元二次方程根与系数关系，可得，，则，同号.
①当，都为负数时，可得解得
∴，即，此时，方程无解；
②当，都为正数时，可得解得
∴，即，解得或.
因为，都为正数，则，即，所以.
综上可得.
故答案为：
16．已知中有且仅有一个元素，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据已知求出，化简，再换元利用基本不等式求解.
【详解】由于有且仅有一个元素，
所以. 所以.
所以,
设，
所以.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．已知，，其中.
(1)当时，求和；
(2)若___________，求实数的取值范围.
请从①；②，；（3）“”是“”的必要条件；
这三个条件中选择其中一个填入（2）中横线处，并完成第（2）的解答.
【答案】(1)，；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求得集合，结合集合的交运算和并运算，即可求得结果；
（2）选择①，根据集合的包含关系，列出关于的不等式，即可求得参数范围；选择②，根据一次不等式恒成立，结合一次函数单调性，即可求得结果；若选择③，同①所求.
【详解】（1）当时，，又
所以，
（2）若选①：，则，
当时，集合，要满足题意，需，解得；
当时，集合为空集，不满足题意；
当时，集合，要满足题意，需，显然无解；
综上所述，若选择①，则.
若选②：任意的，都有，当时，该不等式恒成立；
当时，，所以；
综上所述，；
若选③：则，同①所求，.
18．已知函数．
(1)若时，对任意的都成立，求实数的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次不等式恒成立，可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
（2）由可得出，分、、三种情况讨论，利用一次不等式、二次不等式的解法解原不等式，即可出原不等式的解集.
【详解】（1）解：因为对任意的都成立，
当时，则有，合乎题意；
当时，即对任意的都成立，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：由可得，
即，
当时，解得，则原不等式解集为；
当时，即，可得，则原不等式解集为；
当时，即，可得，则原不等式的解集为.
综上所述：当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
19．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)设，求S的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意可得，化简即可得证；
（2）根据韦达定理可得，再结合即可得证；
（3）利用韦达定理可得，化简整理，再结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）证明：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，
所以，
则，
所以；
（2）证明：由题意得，
因为，
所以，
因为，所以，
所以；
（3）解：由题意，
则
，
因为，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以S的最大值为.
五、证明题
20．已知.
（1）求证：；
（2）判断等式 能否成立，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【详解】试题分析：（1）利用基本不等式证明，(a＋b)2＝3ab＋1≤3()2＋1；
（2）先证明，再证明，即得等式不成立.
试题解析：
（1）由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3()2＋1，当且仅当a＝b时，取等号．
解得(a＋b)2≤4，又a，b＞0，
所以，a＋b≤2．
（2）不能成立．
，
因为a＋b≤2，
所以，
因为c＞0，d＞0，cd＞1，
所以c＋d＝≥＞，
故＝c＋d不能成立．
六、解答题
21．某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【答案】(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
22．问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数，满足，求的最小值；
(2)若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由；
(3)若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值.
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)时，取得最小值
【分析】（1）由题知，进而根据基本不等式“1”的用法求解即可；
（2）由题知，进而结合判断即可；
（3）令，，构造，进而结合（2）的结论求解即可.
【详解】（1）解： ，，，则，
所以，，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值是.
（2）解：，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当，即同号时等号成立.
此时，满足；
（3）解：令，，构造，
所以，即，因此，，
所以，
取等号时，即，结合，解得，，
即，.
所以时，取得最小值.