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湖南省株洲市第二中学2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（B卷）（含解析）
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这是一份湖南省株洲市第二中学2024−2025学年高一上学期开学考试 数学试题（B卷）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（ ）
A．或B．
C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示.则组成此几何体需要正方体的个数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．下列方程中两根之和为6的是（ ）
A．B．
C．D．
5．设集合，若，则（ ）
A．或或2B．或C．或2D．或2
6．函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．关于的不等式组恰好有5个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）.若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线.
A．或B．或C．或D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（ ）
A．众数是2.1B．中位数是1.6
C．平均数是2.08D．方差大于1
11．已知二次函数的图象与轴有两个交点，则下面说法正确的是（ ）
A．该二次函数的图象一定过定点
B．若该函数图象开口向下，则的取值范围为
C．当，且时，的最大值为
D．当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则式子的值为 .
13．如图，一段抛物线记为，它与轴交于点、；将绕点旋转得到，交轴于点；将绕点旋转得到，交轴于点，如此进行下去，直至得到.若在第13段抛物线上，则 .
14．给定实数集合，，定义运算.设，，则中的所有元素之和为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知关于的一元二次方程有两个实数根.
(1)求的取值范围；
(2)若满足，求的值.
16．甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和.从三个口袋中各随机取出1个小球.
(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，是元音字母；是辅音字母）
17．对、定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：.
(1)已知.
①求的值；
②若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母的取值范围；
(2)若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，结论“”都成立，试探索a､b所应满足的关系式.
18．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
19．已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.
(1)求的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上.
（i）若，且，求的值；
（ii）若，求的最大值.
参考答案
1．【答案】B
【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为的集合.
【详解】由题意，满足的集合，可得：.
故选B.
2．【答案】B
【分析】根据幂指运算的性质，可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选B.
3．【答案】B
【分析】本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.
【详解】根据俯视图可知该组合体共2行、4列，
结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：
则组成此几何体需要正方体的个数是8.
故选B.
4．【答案】D
【分析】先判断每个方程的是否大于等于0，确定方程是否有解，进而利用根与系数的关系求解，即可得结论.
【详解】对于A：，，所以方程无实数根，故A不符合题意，
对于B：，，
所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故B不符合题意；
对于C：，，
所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故C不符合题意；
对于D：，，
所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故D符合题意.
故选D.
【思路导引】利用根的判别式判断每个方程根的情况，再利用根与系数的关系计算两根之和，从而得到答案.
5．【答案】C
【解析】分和讨论，即得解.
【详解】当时，，符合题意；
当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；
故或.
故选C.
6．【答案】C
【分析】根据，结合两个函数的图象及其性质分类讨论.
【详解】分两种情况讨论：
①当时，反比例函数，在一、三象限，
而二次函数开口向上，与y轴交点为，都不符；
②当时，反比例函数，在二、四象限，
而二次函数开口向下，与y轴交点为，C符合.
故选C.
【思路导引】分为两种情况，根据不同情况下函数的图象及性质即可得到答案.
7．【答案】A
【分析】分别解一元一次不等式，进而确定不等式组的解，再利用整数解的个数求出范围.
【详解】解不等式，得；解不等式，得，
而不等式组有解，则，其解为，
由不等式组恰好有5个整数解，得，解得，
所以的取值范围是.
故选A.
8．【答案】B
【分析】由抛物线的对称性可知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，所以此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此解答即可.
【详解】因为直线经过点，则，解得，
直线，
由抛物线的对称性知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，
所以该等腰直角三角形的高等于斜边的一半，
因为，结合题意可知该等腰直角三角形的斜边长小于2，
斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1），
因为当时，，
当时，，
当时，，
所以美丽抛物线的顶点只有，
①若为顶点，由，则，
②若为顶点，由，则，
综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线.
故选B.
9．【答案】CD
【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.
【详解】当均为负数时，；
当两负一正时，；
当两正一负时，；
当均为正数时，；
∴，A、B错误，C、D正确.
故选CD.
【思路导引】分均为负数、两负一正、两正一负、均为正数，四种情况讨论，得到，从而得到答案.
10．【答案】AC
【分析】根据平均数，众数，中位数以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析计算即可得解.
【详解】对A：因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数是2.1，故A正确；
对B：把这些数从小到大排列为：，中位数是2.1，故B错误；
对C：平均数是：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选AC.
11．【答案】ABD
【分析】代入，解得，即可求解A，根据判别式即可求解B，利用二次函数的单调性即可求解C，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解D.
【详解】由可得，
当时，，故二次函数的图象一定过定点，A正确，
若该函数图象开口向下，且与轴有两个不同交点，则，
解得：，B正确，
当，函数开口向上，对称轴为，故函数在时，单调递增，
当时，，故的最大值为，C错误，
当，则开口向上，又时，
则，且，且，
且，解得，m的取值范围为：，D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【分析】由题意可化简，从而可求解.
【详解】由题意得.
故答案为：.
【思路导引】化简，代入即可得到答案.
13．【答案】2
【分析】根据图象的变换规律，可得出图象与轴的交点坐标，从而得出的表达式，代入求解即可.
【详解】由题知图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴上方，
图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴下方，
图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴上方，
以此类推，图象与轴的交点坐标分别为，，且图象在x轴上方，
所以的表达式为，
当时，，即.
故答案为：.
14．【答案】29970
【分析】由题可得，即可计算出答案.
【详解】由，
则可知所有元素之和为.
故答案为：29970.
15．【答案】(1)；
(2)4.
【分析】（1）根据判别式列不等式来求得的取值范围；
（2）利用根与系数关系以及对的符号进行分类讨论，由此求得的值.
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，的取值范围为.
（2）关于的一元二次方程有两个实数根，
①，②，
，
当时，有③，
联立①③解得：，
；
当时，有④，
联立①④解得：（不合题意，舍去），
符合条件的的值为4.
16．【答案】(1)（1个元音），（2个元音），（3个元音）；
(2).
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据古典概型求得所有的结果；
（2）首先求得取出的3个小球上全是辅音字母的情况，然后利用概率公式求解即可.
【详解】（1）记三个小球上恰好有一个、两个和三个的元音字母为事件，
如图所示，所有可能出现的情况有种，
事件发生的情况有种，事件发生的情况有种，事件C发生的情况有种，
所以.
（2）由树状图知共有12种等可能的结果，
取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况，
所以取出的3个小球上全是辅音字母的概率为.
17．【答案】(1)①；②；
(2).
【分析】（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；
②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组，求出解集即可；
（2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案.
【详解】（1）①，
∴，
解得：；
②∵，
∴，
即，
解得：，
关于x的不等式组，有且只有一个整数解，
，
解得：，
即字母t的取值范围是；
（2），
，
，
，
，
为任意数，
不一定等于0，
，
即所应满足的关系式是.
18．【答案】(1)；
(2)或；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；
（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范围即可证明出结论.
【详解】（1）由题可知，
当时，，
当时，，
当或时，，
所以.
（2）当时，，
当时，，
当或时，，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或或，
解得或（舍去），
所以或.
（3）证明：，
，
，
，
，
设任意，取，则，所以，
则，
所以；
所以.
19．【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）求出抛物线和的顶点横坐标，根据题意列方程，即可求解；
先求出，
（i）列出方程，即可求出h的值；
（ii）求出关于的方程，结合二次函数的性质，即可求得最大值.
【详解】（1）由抛物线的顶点的横坐标为，
又由抛物线的顶点的横坐标为，
因为抛物线的顶点的横坐标比的顶点的横坐标大，
可得，解得.
（2）由点在抛物线上，可得，
又由点在抛物线上，可得，
则，所以，
（i）因为，所以，可得，
因为，可得，则.
（ii）将代入，可得，
即，当，即时，取最大值.
一、单选题（本大题共8小题）
1．在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（ ）
A．或B．
C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示.则组成此几何体需要正方体的个数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．下列方程中两根之和为6的是（ ）
A．B．
C．D．
5．设集合，若，则（ ）
A．或或2B．或C．或2D．或2
6．函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．关于的不等式组恰好有5个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）.若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线.
A．或B．或C．或D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（ ）
A．众数是2.1B．中位数是1.6
C．平均数是2.08D．方差大于1
11．已知二次函数的图象与轴有两个交点，则下面说法正确的是（ ）
A．该二次函数的图象一定过定点
B．若该函数图象开口向下，则的取值范围为
C．当，且时，的最大值为
D．当，且该函数图象与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则式子的值为 .
13．如图，一段抛物线记为，它与轴交于点、；将绕点旋转得到，交轴于点；将绕点旋转得到，交轴于点，如此进行下去，直至得到.若在第13段抛物线上，则 .
14．给定实数集合，，定义运算.设，，则中的所有元素之和为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知关于的一元二次方程有两个实数根.
(1)求的取值范围；
(2)若满足，求的值.
16．甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和.从三个口袋中各随机取出1个小球.
(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，是元音字母；是辅音字母）
17．对、定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：.
(1)已知.
①求的值；
②若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母的取值范围；
(2)若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，结论“”都成立，试探索a､b所应满足的关系式.
18．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
19．已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.
(1)求的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上.
（i）若，且，求的值；
（ii）若，求的最大值.
参考答案
1．【答案】B
【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为的集合.
【详解】由题意，满足的集合，可得：.
故选B.
2．【答案】B
【分析】根据幂指运算的性质，可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选B.
3．【答案】B
【分析】本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.
【详解】根据俯视图可知该组合体共2行、4列，
结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：
则组成此几何体需要正方体的个数是8.
故选B.
4．【答案】D
【分析】先判断每个方程的是否大于等于0，确定方程是否有解，进而利用根与系数的关系求解，即可得结论.
【详解】对于A：，，所以方程无实数根，故A不符合题意，
对于B：，，
所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故B不符合题意；
对于C：，，
所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故C不符合题意；
对于D：，，
所以方程有两个不等实数根且两根之和为，故D符合题意.
故选D.
【思路导引】利用根的判别式判断每个方程根的情况，再利用根与系数的关系计算两根之和，从而得到答案.
5．【答案】C
【解析】分和讨论，即得解.
【详解】当时，，符合题意；
当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；
故或.
故选C.
6．【答案】C
【分析】根据，结合两个函数的图象及其性质分类讨论.
【详解】分两种情况讨论：
①当时，反比例函数，在一、三象限，
而二次函数开口向上，与y轴交点为，都不符；
②当时，反比例函数，在二、四象限，
而二次函数开口向下，与y轴交点为，C符合.
故选C.
【思路导引】分为两种情况，根据不同情况下函数的图象及性质即可得到答案.
7．【答案】A
【分析】分别解一元一次不等式，进而确定不等式组的解，再利用整数解的个数求出范围.
【详解】解不等式，得；解不等式，得，
而不等式组有解，则，其解为，
由不等式组恰好有5个整数解，得，解得，
所以的取值范围是.
故选A.
8．【答案】B
【分析】由抛物线的对称性可知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，所以此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此解答即可.
【详解】因为直线经过点，则，解得，
直线，
由抛物线的对称性知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，
所以该等腰直角三角形的高等于斜边的一半，
因为，结合题意可知该等腰直角三角形的斜边长小于2，
斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1），
因为当时，，
当时，，
当时，，
所以美丽抛物线的顶点只有，
①若为顶点，由，则，
②若为顶点，由，则，
综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线.
故选B.
9．【答案】CD
【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.
【详解】当均为负数时，；
当两负一正时，；
当两正一负时，；
当均为正数时，；
∴，A、B错误，C、D正确.
故选CD.
【思路导引】分均为负数、两负一正、两正一负、均为正数，四种情况讨论，得到，从而得到答案.
10．【答案】AC
【分析】根据平均数，众数，中位数以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析计算即可得解.
【详解】对A：因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数是2.1，故A正确；
对B：把这些数从小到大排列为：，中位数是2.1，故B错误；
对C：平均数是：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选AC.
11．【答案】ABD
【分析】代入，解得，即可求解A，根据判别式即可求解B，利用二次函数的单调性即可求解C，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解D.
【详解】由可得，
当时，，故二次函数的图象一定过定点，A正确，
若该函数图象开口向下，且与轴有两个不同交点，则，
解得：，B正确，
当，函数开口向上，对称轴为，故函数在时，单调递增，
当时，，故的最大值为，C错误，
当，则开口向上，又时，
则，且，且，
且，解得，m的取值范围为：，D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【分析】由题意可化简，从而可求解.
【详解】由题意得.
故答案为：.
【思路导引】化简，代入即可得到答案.
13．【答案】2
【分析】根据图象的变换规律，可得出图象与轴的交点坐标，从而得出的表达式，代入求解即可.
【详解】由题知图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴上方，
图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴下方，
图象与轴的交点坐标分别为，，图象在x轴上方，
以此类推，图象与轴的交点坐标分别为，，且图象在x轴上方，
所以的表达式为，
当时，，即.
故答案为：.
14．【答案】29970
【分析】由题可得，即可计算出答案.
【详解】由，
则可知所有元素之和为.
故答案为：29970.
15．【答案】(1)；
(2)4.
【分析】（1）根据判别式列不等式来求得的取值范围；
（2）利用根与系数关系以及对的符号进行分类讨论，由此求得的值.
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，的取值范围为.
（2）关于的一元二次方程有两个实数根，
①，②，
，
当时，有③，
联立①③解得：，
；
当时，有④，
联立①④解得：（不合题意，舍去），
符合条件的的值为4.
16．【答案】(1)（1个元音），（2个元音），（3个元音）；
(2).
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据古典概型求得所有的结果；
（2）首先求得取出的3个小球上全是辅音字母的情况，然后利用概率公式求解即可.
【详解】（1）记三个小球上恰好有一个、两个和三个的元音字母为事件，
如图所示，所有可能出现的情况有种，
事件发生的情况有种，事件发生的情况有种，事件C发生的情况有种，
所以.
（2）由树状图知共有12种等可能的结果，
取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况，
所以取出的3个小球上全是辅音字母的概率为.
17．【答案】(1)①；②；
(2).
【分析】（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；
②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组，求出解集即可；
（2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案.
【详解】（1）①，
∴，
解得：；
②∵，
∴，
即，
解得：，
关于x的不等式组，有且只有一个整数解，
，
解得：，
即字母t的取值范围是；
（2），
，
，
，
，
为任意数，
不一定等于0，
，
即所应满足的关系式是.
18．【答案】(1)；
(2)或；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；
（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范围即可证明出结论.
【详解】（1）由题可知，
当时，，
当时，，
当或时，，
所以.
（2）当时，，
当时，，
当或时，，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或或，
解得或（舍去），
所以或.
（3）证明：，
，
，
，
，
设任意，取，则，所以，
则，
所以；
所以.
19．【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）求出抛物线和的顶点横坐标，根据题意列方程，即可求解；
先求出，
（i）列出方程，即可求出h的值；
（ii）求出关于的方程，结合二次函数的性质，即可求得最大值.
【详解】（1）由抛物线的顶点的横坐标为，
又由抛物线的顶点的横坐标为，
因为抛物线的顶点的横坐标比的顶点的横坐标大，
可得，解得.
（2）由点在抛物线上，可得，
又由点在抛物线上，可得，
则，所以，
（i）因为，所以，可得，
因为，可得，则.
（ii）将代入，可得，
即，当，即时，取最大值.
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