宁夏石嘴山市平罗中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

平罗中学2023—2024学年度第一学期第一次月考试卷

 高二数学

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．直线x＋y＝0的倾斜角为(　　)

A．45°          B．60°            C．90°             D．135°

2.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　)

A.         B.            C.             D.

3.已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则的值为(　　)

A.              B.                 C.3                 D.2

4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则等于(　　)

A.－a－b         B.a＋b              C.a－b             D.2(a－b)

5．过点(0，－2)且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为(　　)

A．2x－y＋2＝0   B．x＋2y＋2＝0

C．2x－y－2＝0   D．2x＋y－2＝0

6．在空间直角坐标系中，a＝(1，2，1)为直线l的一个方向向量，n＝(2，t，4)为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝(　　)

A．3                 B．1                C． －3                  D．－1

7．直线y＝ax＋的图象可能是(　　)

8.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点(不含端点)，若线段AB上存在点F(不含端点)，使得异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长度的取值范围是(　　)

A.         B.        C.       D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则(　　)

A．(a－b)∥b      B．(a－b)⊥b       C．a与b的夹角为      D．＝

10．若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　)

A．3           B．－17           C．－3       D．17

11．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是(　　)

A．(2,0)       B．(6,4)          C．(4,6)       D．(0,2)

12.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中正确的是(　　)

A.AC⊥BE                     

B.EF∥平面ABCD

C.三棱锥A－BEF的体积为定值

D.异面直线AE，BF所成的角为定值

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13.如图,以长方体的顶点为坐标原点,过的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为,则的坐标为________．

14.不论m取何实数，直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒过定点________.

15.已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________.

16.在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,角A的平分线所在直线的方程为y=0,顶点B的坐标为(1,2),则△ABC的面积为________.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)

17．(10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

(1)a，b，c；

(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．

18．(12分)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.

(1)求直线l的一般式方程；

(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的一般式方程．

19.(12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．

(1)求证：BM∥平面ADEF；

(2)求证：BC⊥平面BDE.

20.(12分)在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c sin A.

(1)求角C的大小；

(2)若c＝，且ab＝6，求△ABC的周长．

21．(12分)已知点P(2，－1)．

(1)求过点P且与原点O的距离为2的直线的方程；

(2)求过点P且与原点O的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；

22.(12分)如图所示，在三棱锥中，，，，为的中点.

（1）求证：;

（2）点满足，求二面角的正弦值.

平罗中学2023—2024学年度第一学期第一次月考试卷

 高二数学参考答案

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1.D   2.B   3.D  4.A  5.C  6.C  7.B  8.A

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.BC    10.AB   11.AC   12.ABC

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13.       14.　(0，1)      15.      16.12

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)

17.解　(1)因为a∥b，所以＝＝，

解得x＝2，y＝－4，

则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．

又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，

解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．……………………5分

(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，

设a＋c与b＋c的夹角为θ，

因为cos θ＝＝－.

所以a＋c与b＋c夹角的余弦值为－.……………………10分

18.解　(1)由直线方程的点斜式，

得y－5＝－(x＋2)，

整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.……………………6分

(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－14)，

由点到直线的距离公式得

＝3，

即＝3，解得C＝1或C＝－29，

故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.……………………12分

19.证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF，

∴ED⊥平面ABCD.

以D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．

(1)∵M为EC的中点，

∴M(0,2,1)，

则＝(－2,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(0,0,2)，

∴＝＋，故，，共面．

又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.……………………6分

(2)＝(－2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，

∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.

又·＝0，∴BC⊥DE.

又DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE，

∴BC⊥平面BDE.……………………12分

20．解析：(1)由a＝2c sin A及正弦定理得＝＝，

因为sin A>0，故sin C＝.

又∵△ABC 为锐角三角形，所以C＝.……………………6分

(2)由余弦定理a2＋b2－2ab cos ＝7，

∵ab＝6，得a2＋b2＝13，

解得或，

∴△ABC 的周长为a＋b＋c＝5＋.……………………12分

21.解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意．

②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为

y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.

根据题意，得＝2，解得k＝.

则直线方程为3x－4y－10＝0.

故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.……………………6分

(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．

则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，

即2x－y－5＝0.

最大距离为.……………………12分

22.【解析】（1）如图所示，连接，因为，，

所以，所以.

因为为中点，所以. 又，所以，.

又，所以平面，所以.……………………5分

（2）设，

由，可知都为等边三角形，

所以.又，所以，

所以，则为直角三角形，且，

所以，，.

又，，所以平面.

分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则，，，，

设，则，所以.

.设平面的法向量为，

则，可得.

又.设平面的法向量为，

则，可得.

所以.

所以二面角的正弦值为.……………………12分