苏科版八年级上册第六章 一次函数6.1 函数精品同步测试题

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【知识点一：正比例函数定义】
（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
【考点一：正比例函数定义】
【方法指引】先根据定义，找对应关系式，判断满足条件
例题1．（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）下列函数中，属于正比例函数的是（ ）
A．y=x2+2B．y=−2x+1C．y=1xD．y=x5
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．
【详情解析】解：A．不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．是正比例函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【提优突破】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数，当b＝0时，函数也叫正比例函数．
变式训练1．（2022上·广西崇左·八年级统考期末）新定义：a,b为一次函数y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）关联数．若关联数[1,m+2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程12x−3m=2的解为（ ）
A．x=4B．x=−2C．x=1D．x=0
【答案】C
【分析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可．
【详情解析】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数，
∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2．
又∵该函数为正比例函数，
∴m+2=0，解得m=-2．
∴方程可变形为：12x−3−2=2，
解得：x=1，
∴方程的解为x=1．
故选：C．
【提优突破】本题主要考查的是正比例函数的定义，解一元一次方程，求得m的值是解题的关键．
针对性练习
1．（2022上·江苏扬州·八年级统考期末）规定：[k，b]是一次函数y=kx+b（k、b为实数，k≠0）的“特征数”．若“特征数”是[4，m−4]的一次函数是正比例函数，则点（2+m，2−m）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义求出m的值，然后求出点的坐标即可判断．
【详情解析】解：由题意得：
∵“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣4＝0，
∴m＝4，
∴2+m＝6，2﹣m＝﹣2，
∴点（6，﹣2）在第四象限，
故选：D．
【提优突破】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2．（2019·八年级统考课时练习）已知y−2与x成正比例，且x=2时，y=4，若点m,2m+7在这个函数的图像上，则m的值是（ ）.
A．−2B．2C．−5D．5
【答案】C
【分析】已知y-2与x成正比例，可设出关系式为y-2=kx，x=2时，y=4时，可得出函数关系式，将点（m，2m+7）代入函数式即可得解．
【详情解析】设函数式为y-2=kx，即y=kx+2，
又x=2时，y=4，
即4=2x+2，得k=1；
即函数式为：y=x+2．
代入点（m，2m+7），
有：2m+7=m+2，
解得：m=-5．
故选:C．
【提优突破】本题考查了已知点的坐标求函数关系式的知识．求出函数解析式是关键.
3．（2022上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）若y=x+2−b是正比例函数，则b的值是（ ）
A．0B．2C．−2D．−4
【答案】B
【分析】直接根据正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，进行解答即可．
【详情解析】解：因为y=x+2−b是正比例函数，
所以2−b=0，
所以b=2．
故选：B．
【提优突破】此题考查的是正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解决此题的关键．
4．（2022上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）若y+2与x+4成正比例，则y是x的（ ）
A．正比例函数B．－次函数
C．没有函数关系D．以上答案均不正确
【答案】B
【分析】根据正比例函数及一次函数的定义解答即可．
【详情解析】解：∵y+2与x+4成正比例，
∴设y+2=kx+4k≠0，
整理得：y=kx+4k−2，
∴y是x的一次函数，故B正确．
故选：B．
【提优突破】本题主要考查了一次函数与正比例函数的联系，解题的关键是求出函数的关系式．
5．（2022上·河南郑州·八年级校考期末）下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ）
A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系
B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3
C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系
D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系
【答案】D
【分析】分别列出每个选项的解析式，根据正比例函数的定义判断即可．
【详情解析】解：A选项，S=πr2，故该选项不符合题意；
B选项，y=15+5x，故该选项不符合题意；
C选项，∵12ah=S，
∴a=2Sℎ，故该选项不符合题意；
D选项，y=60x，故该选项符合题意；
故选：D．
【提优突破】本题考查了正比例函数的定义，掌握形如y=kx（k≠0）的函数是正比例函数是解题的关键．
6．（2022上·江苏盐城·八年级统考期末）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y=3x+1B．y=x−1C．y=2xD．y=x2
【答案】C
【分析】根据正比例函数的定义判断．
【详情解析】∵y=3x+1是一次函数，
∴不符合题意；
∵y=x−1不是正比例函数，
∴不符合题意；
∵y=2x是正比例函数，
∴符合题意；
∵y=x2不是正比例函数，
∴不符合题意；
故选：C．
【提优突破】本题考查了正比例函数即形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数；当b=0时，叫做正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
7．（2022上·江苏泰州·八年级校考期末）已知y−3与2−x成正比例，且x=1时y=6．
(1)试求y与x之间的函数表达式；
(2)若点(m,15)在这个函数图象上，求m的值．
【答案】(1)y=−3x+9；
(2)m=−2
【分析】（1）由题意可设y−3=k(2−x)，把条件代入可求得y与x的函数关系式；
（2）把y=15代入函数解析式可求得答案．
【详情解析】（1）∵y−3与2−x成正比例，
∴可设y−3=k(2−x)，
∵当x=1时，y=6，
∴6−3=k(2−1)，解得k=3，
∴y−3=−3x+6，
∴y与x的函数关系式为y=−3x+9；
（2）当y=15时，代入函数解析式可得15=−3x+9，
解得x=−2．
∴m=−2．
【提优突破】本题主要考查待定系数法的应用，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键
8．（2021上·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）已知y＋2与x成正比例，且x＝－2时，y＝1
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值．
【答案】（1）y=−32x−2；（2）−163
【分析】（1）根据“y+2与x成正比例”，设y+2=kxk≠0，将x=−2，y=1代入求解即可；
（2）将点坐标代入（1）中解析式即可．
【详情解析】解：（1）∵y+2与x成正比例
∴设y+2=kxk≠0
将x=−2，y=1代入得1+2=-2k，即k=−32
∴y+2=−32x，即y=−32x−2
∴y与x之间的函数关系式为y=−32x−2；
（2）∵点（m，6）在该函数图象上
将其代入到y=−32x−2中有6=−32m−2，解得m=−163
∴m的值是−163
【提优突破】本题考查的是一次函数问题，能够根据题意列出一次函数式是解题的关键．
9．（2021上·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x−2成正比例，当x=1时，y=5；当x=−1时，y=11．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求当x=2时y的值．
【答案】（1）y=2x2−3x−2；（2）y=8
【分析】（1）设y1=kx2，y2=a（x-2），得出y=kx2+a（x-2），把x=1，y=5和x=-1，y=11代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）把x=2代入函数解析式，即可得出答案．
【详情解析】解：（1）设y1=kx2，y2=ax−2，
则y=kx2+ax−2，
把x=1，y=5和x=−1，y=11代入得：
k−a=5,k−3a=11,
即k=2，a=−3，
∴y与x之间的函数表达式是y=2x2−3x−2，
（2）把x=2代入得：y=2×22−3×(2−2)=8．
【提优突破】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
10．（2018上·江苏镇江·八年级统考期末）已知：y﹣1与x+2成正比例，且当x=2时，y=3．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）计算当y=4时，x的值．
【答案】（1）y=12x+2；（2）x=4．
【详情解析】分析：（1）根据题意设y﹣1=k（x+2），将x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x关系式；
（2）将y=4代入y与x关系式求出x的值即可．
详情解析：（1）根据题意得：y﹣1=k（x+2），将x=2，y=3代入得：3﹣1=4k，即k=12，则y﹣1=12（x+2），即y=12x+2；
（2）将y=4代入y=12x+2得：x=4．
提优突破：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
【知识点二：一次函数】
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
【考点二：一次函数】
【方法指引】判断是否满足（，是常数，≠0）类型，满足则是，不满足则不是
例题1．（2019上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）下列函数表达式：①y＝－x；②y＝3x＋11；③y＝x2＋x＋1；④y＝1x.其中属于一次函数的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义即可直接判断．
【详情解析】解：属于一次函数的有①y＝－x；②y＝3x＋11共两个.
故选B.
【提优突破】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
变式训练1．（2020上·辽宁辽阳·八年级校考期中）函数①y=πx；②y=2x−1；③ y=2x；④y=x2−1中，y是x的一次函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用一次函数定义进行解答即可．
【详情解析】解：①y=πx是一次函数；
②y=2x-1是一次函数；
③y=2x不是一次函数；
④y=x2-1不是一次函数，
因此一次函数共2个，
故选：B．
【提优突破】此题主要考查了一次函数的定义，关键是掌握形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
变式训练2．（2022上·广东清远·八年级统考期末）下列函数关系式中，属于一次函数的是（ ）
A．y＝1x－1B．y＝x2＋1C．y＝kx＋b（k、b是常数）D．y＝1－2x
【答案】D
【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．
【详情解析】解：A．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意；
B．自变量的次数是二次，不是一次函数，故本选项不符合题意；
C．当k=0时，不是一次函数，故本选项不符合题意；
D．是一次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【提优突破】本题考查了一次函数的定义，注意：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数．
针对性练习
1．（2023下·江苏苏州·八年级苏州中学校考阶段练习）有下列函数：①y=πx，②y=2x−1；③y=1x④y=32x2−2x−6x2；⑤y=3x−1x；⑥y=x2−1，其中是一次函数的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义逐项分析判断即可即可求解．
【详情解析】解：因为一次函数的一般形式为y=kx+b(其中k，b是常数且k≠0 )，
所以①②④是一次函数，
③⑤⑥自变量的次数不为1，不是一次函数，
故选B．
【提优突破】本题考查一次函数的概念，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的概念．一次函数y=kx+b中k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
2．（2021上·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学校考阶段练习）下列函数中，为一次函数的是（ ）
A．y=12xB．y=x2C．y=1D．y=−x+1
【答案】D
【分析】根据一次函数的定义即可求解．
【详情解析】A.y=12x不是一次函数，
B.y=x2不是一次函数，
C.y=1不是一次函数，
D.y=−x+1是一次函数
故选D．
【提优突破】一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．
3.（2020上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）函数：①y= -2x+1； ②x+y=0；③xy=3；④y= x2+1；⑤y=(x+5)-x中，属于y是x的一次函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义判断即可解答．
【详情解析】解：①和②是一次函数，③是反比例函数，④是二次函数，⑤是常函数，
故选：B．
【提优突破】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数满足的条件是解答的关键，注意⑤要整理后再判断．
4．（2019上·安徽蚌埠·八年级校联考阶段练习）新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b(a≠0，,a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第 象限．
【答案】二．
【分析】根据新定义列出一次函数解析式，再根据正比例函数的定义确定m的值，进而确定坐标、确定象限.
【详情解析】解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，
∴y＝3x+m﹣2是正比例函数，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
则1﹣m＝﹣1，1+m＝3，
故点（1﹣m，1+m）在第二象限．
故答案为二．
【提优突破】本题属于新定义和正比例函数的定义，解答的关键运用新定义和正比例函数的概念确定m的值.
5．（2020上·江苏扬州·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则称这个点叫“和谐点” ．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积相等，则称P点是“和谐点”．
（1）分别判断点M（1，2）、N（4，4）是否是“和谐点”，并说明理由；
（2）若“和谐点”P（m，3）在直线y=x+b（b为常数）上，求m和b的值．
【答案】（1）点M1,2不是和谐点，点N4,4是和谐点，理由见详情解析；（2）当m=6时，b=−3或当m=−6时，b=9
【分析】（1）先画出图形，然后根据“和谐点”的定义，利用长方形的面积和周长公式进行推导证明即可；
（2）根据“和谐点”的定义，列出关于m的方程，解方程可得m=6或m=−6，即可得到点P的坐标，然后将其代入一次函数解析式，即可求得答案．
【详情解析】解：（1）结论：点M1,2不是和谐点，点N4,4是和谐点
理由：∵过点M1,2作MC⊥x，过点M1,2作MD⊥y，如图：
∴OC=DM=1，OD=CM=2
∴S长方形OCMD=OC⋅OD=1×2=2，C长方形OCMD=2OC+OD=2×1+2=6
∴S长方形OCMD≠C长方形OCMD
∴点M1,2不是和谐点；
∵过点N4,4作NE⊥x，过点N4,4作NF⊥y，如图：
∴OE=FN=4，OF=EN=4
∴S长方形OENF=OE⋅OF=4×4=16，C长方形OENF=2OE+OF=2×4+4=16
∴S长方形OENF=C长方形OENF
∴点N4,4是和谐点．
（2）∵点Pm,3是和谐点
∴点Pm,3到x轴的距离为3=3，点Pm,3到y轴的距离为m
∴3⋅m=23+m
∴m=6
∴m=6或m=−6
∴点P的坐标为6,3或−6,3
∵“和谐点”Pm,3在直线y=x+b（b为常数）上
∴当x=m=6时，则3=6+b，即b=−3；当x=m=−6时，则3=−6+b，即b=9
∴当m=6时，b=−3或当m=−6时，b=9．
【提优突破】本题考查了坐标平面内点到坐标轴的距离和其坐标的关系、长方形的面积公式、长方形的周长公式、一次函数图象上的点的坐标满足其解析式、解含绝对值的方程等，理解题目中的新定义是解决本题的关键．
6．（2022上·江苏盐城·八年级校考期中）设函数y=m−3x3−m+m+2．
(1)当m为何值时，它是一次函数；
(2)当m为何值时，它是正比例函数．
【答案】(1)当m=2或−2，它是一次函数
(2)当m=−2，它是正比例函数
【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于m的方程进行求解即可；
（2）根据正比例函数的定义列出关于m的方程组，进行求解即可．
【详情解析】（1）解：∵函数y=m−3x3−m+m+2是一次函数，
∴3−m=1m−3≠0，
解得：m=2或−2，
答：当m=2或−2，它是一次函数．
（2）解：∵函数y=m−3x3−m+m+2是正比例函数，
∴3−m=1m+2=0m−3≠0，
解得：m=−2，
答：当m=−2，它是正比例函数．
【提优突破】本题主要考查了正比例函数和一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的定义列出关于m的方程组．
【知识点三：根据一次函数定义求参数】
参数：一次函数中除了自变量和因变量还有其他的未知数，那这个就是参数，参数的考察很多很广，所以要注意理解并学会应用
【考点三：根据一次函数定义求参数】
【方法指引】先根据题目，找到函数关系式，在确定参数，再求参数相关问题
例题1．（2022上·江苏盐城·八年级统考阶段练习）若点m,n在函数y=2x−1的图象上，则2m−n+2的值是（ ）
A．2B．−2C．3D．−1
【答案】C
【分析】将点m,n代入函数y=2x−1，得到2m−n=1，即可求出代数式的值．
【详情解析】解：∵点m,n在函数y=2x−1的图象上，
∴2m−1=n，
∴2m−n=1，
∴2m−n+2=1+2=3，
故选：C．
【提优突破】本题考查了函数图象上点的坐标特征，代数式求值，解题关键是掌握函数的图象上的点符合函数解析式．
变式训练1．（2023下·全国·八年级专题练习）若直线y=kx+k+1经过点m, n+3和m+1, 2n−1，且0A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据题意得出n+3=km+k+12n−1=km+k+k+1，求出k=n−4，根据0【详情解析】解：由题意得n+3=km+k+12n−1=km+k+k+1，
解得：k=n−4，
∵0∴0∴4∴n可以是5，故C正确．
故选：C．
【提优突破】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用n表示出k，得到关于n的不等式是解题的关键．
针对性练习
1．（2022下·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学统考期末）一次函数y＝（m+3）x+m2﹣9的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．m＝﹣3B．m＝3C．m＝±3D．m＝4
【答案】B
【分析】把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9求解，注意m的取值范围．
【详情解析】解：把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9得m2﹣9＝0，
解得m＝3或m＝﹣3，
∵m+3≠0，
∴m＝3．
故选：B．
【提优突破】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，注意一次函数一次项系数不为0．
2．（2020上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校考阶段练习）若点(m，n)在函数y=2x−6的图象上，则2m−n的值是( )
A．2B．－2C．6D．－1
【答案】C
【分析】将点（m，n）代入函数y=2x−6，得到m和n的关系式，整理可得2m-n的值．
【详情解析】解：将点（m，n）代入函数y=2x−6得：
n=2m-6，
整理得：2m-n=6，
故选C．
【提优突破】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则一次函数图象上的点的坐标符合函数解析式．
3．（2019·江苏·如皋市实验初中校考二模）若直线y=kx+k+1经过点(m，n+3)和(m+1，2n－1)，且0A．3【答案】B
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出n＝k+4，再结合k的取值范围，即可求出n的取值范围.
【详情解析】解：∵直线y＝kx＋k+1经过点（m，n＋3）和（m＋1，2n-1），
∴km+k+1=n+3km+1+k+1=2n−1，
∴n＝k+4．
又∵0＜k＜2，
∴4＜n＜6．
故选B.
【提优突破】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足其函数关系式.
4．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的顶点O在原点上，OA在x轴上，OA=4，C为AB边的中点，将等边△AOB向右平移，当点C落在直线MN：y=−x+4上时，点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．2,3B．1+3,3C．3,3D．4−3,3
【答案】D
【分析】过B作BE⊥x轴于E，根据等边三角形的性质得出AB=OB=OA=4，求出OE，根据勾股定理求出BE，求出点C的纵坐标，根据平移的性质得出平移后点C的纵坐标不变，把点C的纵坐标代入y=−x+4，求出x即可．
【详情解析】解：过B作BE⊥x轴于E，
∵△AOB是等边三角形，OA=4，
∴AB=OB=OA=4，
∵BE⊥OA，
∴AE=OE=2，
由勾股定理得：BE=OB2−OE2=42−22=23，
∵C为AB的中点，
∴点C的纵坐标是12BE=12×23=3，
当将等边△AOB向右平移，当点C落在直线MN上时，点C的纵坐标还是3，
把y=3代入y=−x+4得：3=−x+4，
解得：x=4−3，
即点C的坐标是（4−3，3），
故选：D．
【提优突破】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征，坐标与图形变化−平移，等边三角形的性质和勾股定理等知识点，能求出点C的纵坐标是解此题的关键．
5．（2022上·浙江衢州·八年级统考期末）如图，已知点K为直线l：y＝2x+4上一点，先将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1，然后再将点K1向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2，若点K2也恰好落在直线l上，则a，b应满足的关系是（ ）
A．a+2b＝4B．2a﹣b＝4C．2a+b＝4D．a+b＝4
【答案】C
【分析】点K为直线l：y＝2x+4上一点，设K(x,2x+4),再根据平移依次写出K1,K2的坐标，再把K2的坐标代入一次函数的解析式，整理即可得到答案.
【详情解析】解：∵ 点K为直线l：y＝2x+4上一点，设K(x,2x+4),
将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1，
∴K1(x−a,2x+2),
将点K1向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2，
∴K2(x−a+1,2x+2+b),
∵ 点K2也恰好落在直线l上，
∴2(x−a+1)+4=2x+2+b,
整理得：2a+b=4,
故选C
【提优突破】本题考查的是一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，点的平移，掌握“点的平移坐标的变化规律”是解本题的关键.
【知识点四：求一次函数自变量和函数值】
根据一次函数解析式：求自变量和函数值，即代入求值即可
【考点四：求一次函数自变量和函数值】
【方法指引】先根据解析式，把其中一个量代入解析式中，求出另一个量
例题1．（2020·江苏南通·统考二模）已知关于x的一次函数y＝kx+3k+1，不论k为何值，该函数的图象都经过点P，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，1）B．（1，﹣3）C．（3，1）D．（1，3）
【答案】A
【分析】根据一次函数是含有参数k，把含有k的项合并同类项可以得到y=（x+3）k+1，此时让x+3的值为0，求出对应y值，即为点P坐标．
【详情解析】解：∵一次函数y＝kx+3k+1，不论k为何值，该函数的图象都经过点P，
∴y＝kx+3k+1=（x+3）k+1，当x+3=0时，x=-3，y=1
所以点P的坐标为（﹣3，1）．
故选A．
【提优突破】考查含有字母的一次函数恒过定点问题，此类问题与字母的取值无关问题相似，学生需要将含有参数的项合并同类项，使其系数为0，求出对应的坐标即可，掌握方法是关键．
变式训练1．（2022下·湖南长沙·八年级校联考期中）已知一次函数y=kx−2k+1（k为常数，且k≠0），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．0,1B．2,1C．1,0D．1,2
【答案】B
【分析】先将一次函数解析式变形为y=(x−2)k+1，即可确定定点坐标．
【详情解析】解：∵y=kx−2k+1=(x−2)k+1，
当x=2时，y=1，
∴无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点2,1；
故选：B．
【提优突破】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，将一次函数变形为y=(x−2)k+1是解题的关键．
针对性练习
1．（2020下·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）已知点Pm，n在一次函数y=2x−3的图像上，且m+n>0，则m的取值范围是（ ）
A．m>1B．m>2C．m<1D．m>−1
【答案】A
【分析】因为点P再一次函数上，所以讲点P代入，可以得到一个关于m，n的等式关系，把n用m表示出来，然后代入到m+n>0中，得到关于m的不等式，求解即可得出答案．
【详情解析】∵点Pm，n在一次函数y=2x−3的图像上
∴n=2m−3，
∴m+n=m+2m−3>0
即3m−3>0，
解得m>1，
故选A．
【提优突破】本题利用消元思想，把n用m表示出来，然后代入到m+n>0中，得到关于m的不等式．
2．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）已知点Pa,b在直线y=−3x−4上，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．b−3a−4=0 B．b+3a+4=0C．a−3b−4=0D．a+3b+4=0
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质得到b=−3a−4，即b+3a+4=0，由此即可得到答案．
【详情解析】解：∵点Pa,b在直线y=−3x−4上，
∴b=−3a−4，
∴b+3a+4=0，
根据现有条件，无法得到A、C、D三个选项中的结论，
故选B．
【提优突破】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键．
3．（2022上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）下列各点中，不在一次函数y=2x−3的图像上的是（ ）
A．2，1B．−1，−5C．0，−3D．1，1
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质，满足解析式y=2x−3的点即为所求
【详情解析】解：A.当x=2时，y=2×2−3=1， 2，1在一次函数y=2x−3的图象上，不符合题意；
B. 当x=−1时，y=2×−1−3=−5，−1，−5在一次函数y=2x−3的图象上，不符合题意；
C. 当x=0时，y=0×3−3=−3， 0，−3在一次函数y=2x−3的图象上，不符合题意；
D. 当x=1时，y=2×1−3=−1，1，1不在一次函数y=2x−3的图象上，符合题意；
故选D
【提优突破】本题考查了一次函数的性质，在一次函数图像上的点的坐标满足一次函数解析式，理解一次函数的性质是解题的关键．
4．（2021·江苏连云港·八年级统考期末）已知y﹣1与x＋3成正比例且x＝﹣1时，y＝5
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（m，3）在这个函数的图象上，求m的值．
【答案】（1）y＝2x+7；（2）m的值为﹣2．
【分析】（1）设出正比例函数表达式，将x＝﹣1，y＝5代入求出k＝2，化简即可得到y与x之间的函数关系式．
（2）将坐标代入函数表达式，求出m的值即可．
【详情解析】解：（1）∵y﹣1与x+3成正比例，
∴设出正比例函数的关系式为：y﹣1＝k（x+3）（k≠0），
把x＝﹣1，y＝5代入得：5﹣1＝k（﹣1+3），
解得k＝2，
∴y与x之间的函数关系式为：y﹣1＝2（x+3），即y＝2x+7，
故答案为：y＝2x+7；
（2）解：∵点（m，3）在这个函数的图象上
∴把x＝m，y＝3代入y＝2x+7得：3＝2m+7，解得m＝﹣2．
故m的值为﹣2．
【提优突破】本题主要是考查了待定系数法求解一次函数解析式以及一次函数图像上的点的特征，熟练掌握利用待定系数法求函数表达式以及一次函数图像上的点的特征，是解决该类问题的关键．
5.（2021上·江苏淮安·八年级统考期末）已知：y与x﹣2 成正比例，且x＝3时，y＝2．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当点A（a，2）在此函数图象上，求a的值．
【答案】（1）y＝2x﹣4；（2）3
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将点A（a，2）代入（1）中的解析式，解方程即可得出结论．
【详情解析】解：（1）∵y与x﹣2 成正比例，
∴y＝k（x﹣2）．
把x＝3时，y＝2代入得：
2＝（3﹣2）k．
∴k＝2．
∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x﹣4．
（2）点A（a，2）在此函数图象上，
∴2＝2a﹣4．
解得：a＝3．
∴a的值为3．
【提优突破】本题考查了正比例函数的定义以及求一次函数对应自变量，正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数；一次函数y=kx+b（k≠0），当给定x时，只需将x的值代入解析式的自变量的位置，求出y即可．同理，当给定y时，只需将y的值代入解析式的自变量的位置，求出x即可．
【知识点五：列一次函数解析式并求值】
根据题目列出关系式，形如y=kx+b（k≠0），代入求值
【考点五：列一次函数解析式并求值】
【方法指引】先根据解析式，找出跟解析式联系，进行化简或者建立联系，再根据一次函数问题解题
例题1．（2022上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）已知点Pa，b在直线y=−3x−4上，且2a−5b≤0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ab<52B．ab≥52C．ba≥52D．ba≤25
【答案】D
【分析】先根据一次函数的性质得到b=−3a−4，结合2a−5b≤0求出a≤−2017<0，b≥25a，再根据不等式的性质即可得到ba≤25．
【详情解析】解：∵点Pa，b在直线y=−3x−4上，
∴b=−3a−4，
∵2a−5b≤0，
∴2a−5−3a−4≤0，2a≤5b，
∴a≤−2017<0，b≥25a
∴ba≤25，
故选D．
【提优突破】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，正确得到a≤−2017<0，b≥25a是解题的关键．
变式训练1．（2022·江苏苏州·统考一模）已知直线y=3x+1经过点A23,m，则关于x的不等式3x+1A．x<32B．x<23C．x>−32D．x>−23
【答案】B
【分析】利用函数的解析式求得m＝3，然后解不等式即可．
【详情解析】解：∵直线y＝3x＋1经过点A23,m，
∴m＝3×23＋1＝3，
∴关于x的不等式为3x＋1＜3，
解得：x<23，
故选：B．
【提优突破】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，根据函数的解析式求得m的值是解题的关键．
针对性练习
1．（2023下·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知直线y=kx+bk<0经过A3,1，则不等式kx−2<1−b的解集为（ ）
A．x<1B．x>1C．x>3D．x>5
【答案】D
【分析】由直线y=kx+bk<0经过A3,1得到1=3k+b，则b=1−3k，由kx−2<1−b可化为kx−2<1−1−3k，得到kx−2<3k，由k<0得到x−2>3，即可得到答案．
【详情解析】解：∵直线y=kx+bk<0经过A3,1，
∴1=3k+b，
∴b=1−3k，
∴kx−2<1−b可化为kx−2<1−1−3k，
整理得，kx−2<3k，
∵k<0，
∴x−2>3，
∴x>5，
故选：D．
【提优突破】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是得到关于x的不等式x−2>3．
2．（2017上·江苏连云港·八年级阶段练习）记max{x，y}表示x，y两个数中的最大值，例如max{1，2}=2，max{7，7}=7，则关于x的一次函数y=max{2x，x+1}可以表示为（ ）
A．y=2xB．y=x+1C．y=2x(x<1)x+1(x≥1) D．y=2xx>1x+1x≤1
【答案】D
【分析】根据max{x，y}表示x，y两个数中的最大值，根据2x>x+1和2x≤x+1两种情况分别计算即可得到答案．
【详情解析】由题意可得：当2x>x+1，即x>1时，y=max{2x，x+1}=2x；
当2x≤x+1，即x≤1时，y=max{2x，x+1}=x+1；
综上：y=2xx>1x+1x≤1，
故选D．
【提优突破】本题考查一次函数的解析式和解一元一次不等式，能正确地根据定义进行分类讨论是解题的关键．
3．（2020·江苏泰州·统考中考真题）点P(a,b)在函数y=3x+2的图像上，则代数式6a−2b+1的值等于（ ）
A．5B．3C．−3D．−1
【答案】C
【分析】把P(a,b)代入函数解析式得b=3a+2，化简得3a−b=−2，化简所求代数式即可得到结果；
【详情解析】把P(a,b)代入函数解析式y=3x+2得：b=3a+2，
化简得到：3a−b=−2，
∴6a−2b+1=2(3a−b)+1=2×(−2)+1=−3．
故选：C．
【提优突破】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．
4．（2022下·陕西汉中·七年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点P为CB边上一动点，当动点P沿CB从点C向点B运动时，△APC的面积发生了变化．设CP长为x cm，△APC的面积为y cm2．
(1)求y与x的关系式；
(2)当点P运动到BC的中点时，△APC的面积是多少？
(3)若△APC的面积为8cm2，则CP的长为多少？
【答案】(1)y=2x
(2)点P运动到BC的中点时，△APC的面积为5cm2
(3)当△APC的面积为8cm2时，CP的长为4cm
【分析】对于（1），根据三角形的面积公式用含有x的代数式表示y即可；
对于（2），将x=52代入关系式计算即可；
对于（3），将y=8代入关系式求出x即可．
【详情解析】（1）y=12×4×x=2x，所以y与x的关系式为y=2x；
（2）当x=52时，y=5，
所以点P运动到BC的中点时，△APC的面积为5cm2；
（3）当y=8时，2x=8，解得x=4，
所以当△APC的面积为8cm2时，CP的长为4cm．
【提优突破】本题主要考查了求函数关系式，求自变量，求函数值等，准确的计算是解题的关键．
5．（2021上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=12x的图象为直线l，已知两点A（0，1）、B（0，3）．
（1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）直接写出点C的坐标为 ；
（3）点P在x轴上，求PA+PC的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）（4，2）；（3）PA+PC的最小值是5
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交直线l于点C即为所求；
（2）由线段垂直平分线的定义得点D是线段AB的中点，则D（0，2），CD∥x轴，将y＝2代入y＝12x得x＝4，即可得点C的坐标；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C交x轴于点P，则PA=PA′，要使PA+PC最小，即PA′+PC最小，故当P、A′，C三点共线时，PA′+PC最小，最小值为A′C，由此求解即可．
【详情解析】解：（1）作线段AB的垂直平分线交直线l于点C即为所求，
∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA；
（2）∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴点D是线段AB的中点，CD∥x轴，
∵A（0，1）、B（0，3）．
∴D（0，2），
将y＝2代入y＝12x得x＝4，
∴点C的坐标为（4，2），
故答案为：（4，2）；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C交x轴于点P，
∴PA=PA′，
∴要使PA+PC最小，即PA′+PC最小，
∴当P、A′，C三点共线时，PA′+PC最小，最小值为A′C，
∵A（0，1），
∴A′（0，﹣1），
∵C（4，2），
∴A′C=0−42+−1−22=5，
∴PA+PC的最小值是5．
【提优突破】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，一次函数图像上的点的坐标特征，轴对称最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．