专题09 一次函数与几何问题的综合应用-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题09 一次函数与几何问题的综合应用
【典型例题】
1．（2021·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中）在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点和，且m，n满足．

（1）求点A、B的坐标；
（2）过点A作，截取，点D在第一象限内，过点D作轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使与全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（0，4），B（-3，0）；（2）当0≤t＜2时，S=；当t＞2时，S=；（3）存在，M（3，0）或M（0，3）或M（1，4）
【分析】
（1）解二元一次方程组求出m和n的值，即可求出点A、B的坐标；
（2）根据题意当0≤t＜2和t＞2时，分别表示出OP的长度，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据题意分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】
（1）解：，解得，
∴A（0，4），B（-3，0）．
（2）作DH⊥AO于H，

∵∠DAH+∠ADH=90°，∠DAH+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ADH．
在△DAH和△ABO中，
，
∴△DAH≌△ABO（AAS），
∴DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1．
∴①当0≤t＜2时，
∵AP=2t，OP=4-2t，
∴S=．
②当t＞2时，

∵AP=2t，OP=2t-4，
∴S=．
（3）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=45°．
∵∠DCO=90°，
∴∠DCA=45°．
∴如图所示，当△ACD≌△ACM时，∠ACM=∠ACD=45°，

∴∠DCM=90°，
∴点M在x轴上．
∵DC=CM=1，
∴OM=3，
∴M（3，0）．
当△ACD≌△CAM时，点M在y轴上时，∠ACD=∠CAM=45°，
∵AM=CD=1，
∴OM=3，
∴M（0，3）．
当△ACD≌△CAM时，点M在第一象限时，∠ACD=∠CAM=45°，
∴∠OAM=90°，
∴AM⊥y轴．
∵AM=CD=1，
∴M（1，4）．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质和判定，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，解二元一次方程组的方法．


【专题训练】
一、 解答题
1．（2021·辽宁北镇·八年级期中）如图，直线y＝kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且AB＝2．
（1）求点A的坐标；
（2）求k的值；
（3）C为OB的中点，过点C作直线AB的垂线，垂足为D，交x轴正半轴于点P，试求点P的坐标及直线CP的函数表达式．

【答案】（1）；（2）；（3），直线CP的解析式为
【分析】
（1）由题意可把x=0代入直线解析式求得点B的坐标，则有OB=4，然后根据勾股定理可得OA=2，则可得点A的坐标；
（2）由（1）可把点A的坐标代入解析式求解即可；
（3）由题意易得OC=OA=2，然后可证△AOB≌△COP，进而可得OP=OB=4，最后问题可求解．
【详解】
解：（1）把x=0代入直线y＝kx+4可得：y＝4，
∴，
∴OB=4，
在Rt△AOB中，AB＝2，由勾股定理可得：，
∴；
（2）由（1）可把点代入直线y＝kx+4得：
，解得：；
（3）∵点C为OB的中点，OB=4，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵∠AOB=∠COP=90°，
∴△AOB≌△COP（AAS），
∴OP=OB=4，
∴，
设直线CP的解析式为，则把点，代入得：
∴，解得：，
∴直线CP的解析式为．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何的综合及勾股定理，熟练掌握一次函数与几何的综合及勾股定理是解题的关键．
2．（2021·福建大田·八年级期中）如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（10，8），动点D的坐标为，E是线段AB上的一动点．

（1）若点D恰好落在BC边上，求点D的坐标．
（2）点C，D，E能否构成以点D为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出此时a的值；若不能，请说明理由．
（3）连接OD，求线段OD的最小值．
【答案】（1）点D的坐标为（6，8）；（2）能，的值为或3；（3）当线段OD与直线y＝2x-4垂直时，线段OD的值最小值，最小值是．
【分析】
（1）根据点D恰好落在BC边上列方程求解即可；
（2）分点D在BC上下两侧，证明△CDM≌△DEN，根据全等三角形的性质求解即可，
（3）求得点D在直线y＝2x-4的图象上，求出直线y＝2x-4与x，y轴交点坐标，根据垂线段最短可求出OD的最小值．
【详解】
解：（1）∵点B的坐标为（10，8），点D恰好落在BC边上，
∴，即a=7，
∴点D的坐标为（6，8）；
（2）能
如图1，过点D作MN⊥y轴，交于点M，交AB延长线于点N，

∴∠CMD=∠DNE=90︒，且∠CDM+∠DCM=90︒，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDE=90°，∠CDM+∠EDN=90°，
∴∠EDN=∠DCM，
∴△CDM≌△DEN
∵点B的坐标为（10，8），动点的坐标为，
∴DM=a-1，CM=DN=10-(a-1)=11-a，
∴OM=OC+CM=8+11-a=2a-6，
解得.
如图2，过点D作MN⊥y轴，交于点M，交AB于点N，

∴∠CMD=∠DNE=900，且∠CDM+∠DCM=90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDE=90°，∠CDM+∠EDN=90°，
∴∠EDN=∠DCM，
∴△CDM≌△DEN
∵点B的坐标为（10，8），动点的坐标为，
∴DM=a-1，CM=DN=10-(a-1)=11-a，
∴OM=OC-CM=8-(11-a)=2a-6，
解得a=3
∴存在，此时的值为或3.
（3）设D（x，y）
∵点D的坐标为，
∴
∴点D在直线y＝2x-4的图象上，
设直线y＝2x-4与坐标轴的交点为P，Q，如图，

对于直线y＝2x-4，当x=0时y=-4；当y=0时，x=2，
∴OP=2，OQ=4
由勾股定理得，，
∴当线段OD与直线y＝2x-4垂直时，线段OD的值最小值，
∵
∴
即线段OD的最小值是.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及利益轴对称求最短路线和勾股定理等知识，注意求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．
3．（2021·山东省青岛第六十三中学八年级期中）如图，直线l1：y1=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，3)为直线l 1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P．
（1）求点P坐标和b的值；
（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动至 A，设点Q的运动时间为t秒．
①请写出当点Q在运动过程中，APQ的面积S与t的函数关系式；
②是否存在t的值，使APQ面积为APC的一半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
③是否存在t的值，使APQ为以AQ为底的等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）P(，3)，；（2）①；②存在，；③存在，
【分析】
（1）将点P(m，3)代入y1=-x+2求出的值，即点P(，3)，然后将之代入y2=x+b即可求出的值；
（2）①根据两个函数解析式求出的坐标，然后表示出的长度，根据三角形面积公式计算即可；
②根据的坐标求出APC的面积，然后将APC的面积的一半代入①中关系式求解即可；
③APQ为以AQ为底的等腰三角形，即，过点作轴于点，根据题意得出的长度进而得解．
【详解】
解：（1）∵点P(m，3)为直线l 1上一点，
∴，
解得：，
∴P(，3)，
∵y2=x+b过点P，
∴，
解得：；
（2）①由（1）得：y2=x+，
点时，，
解得：，
∴点，
当时，，
解得，
∴点，
根据题意：点
∴，
∴，
即；
②,
∴
解得：，
∴时，APQ面积为APC的一半；
③根据题意可知，过点作轴于点，

∵P(，3)，，
∴，
∴，
∴,
∴,
∴，
∴当时，APQ为以AQ为底的等腰三角形．
【点睛】
本题考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点问题以及相关性质是解本题的关键．
4．（2021·江苏·无锡市太湖格致中学八年级阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，－6），动点P的坐标为（a，－a＋1）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接BP，若直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，求此时P点的坐标．
（3）若连接AP、BP，将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，求a的取值范围．

【答案】（1）y＝x－6；（2）（，－） （，－）；（3）4＜a＜
【分析】
（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、B（0，－6）代入得到二元一次方程组，解之求得k，b的值，即可得到直线AB的函数表达式；
（2）由题意知直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，设直线AP交x轴于点M，若S△OBM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(2，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0,－6)，(2，0)代入即可求出直线BM的解析式，再把P(a，－a＋1)代入即可求出a的值，从而得到P点的坐标；若S△ABM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(6，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(6，0)代入即可求出直线BM的解析式，再把P(a，－a＋1)代入即可求出a的值，从而得到P点的坐标．
（3）令x=a，y=-a+1，则y=-x+1，点P在定直线y=-x+1上运动，根据将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，可知点P在y=-x+1与直线AB交点坐标与AP为∠BAO外角的角平分线时和直线y=-x+1的交点坐标之间移动，求得两个交点坐标即可得出答案．
【详解】
解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、B（0，－6）代入得
，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x－6；
（2）
∵直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，设直线AP交x轴于点M，
∴①若S△OBM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(2，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(2，0)代入，得
，
解得，
∴直线BM的解析式为y=3x-6，
把P(a，－a＋1)代入，得
3a-6=-a+1，
解得a=，
∴-a+1=，
∴点P的坐标为（，－）；

②若S△ABM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(6，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(6，0)代入，得
，
解得，
∴直线BM的解析式为y=x-6，
把P(a，－a＋1)代入，得
a-6=-a+1，
解得a=，
∴-a+1=，
∴点P的坐标为（，－），
综上所述，点P的坐标为(，－）)，(，－)；
（3）
令x=a，y=-a+1，则y=-x+1，
∴点P在定直线y=-x+1上运动，联立，
解得，
∵将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，
∴a>4，
∵点A（8，0）、B（0，－6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=，
当AP为∠BAO外角的角平分线时，点B关于AP的对称点坐标为C(18，0)，
此时AP过线段BC的中点，设线段BC的中点为点D，则点D的坐标为，即点D(9，-3)，
设AP的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、(9，-3)代入得
，
解得，
∴AP的解析式为y=-3x+24，
联立，
解得，
∴a0和t0，即点P在点Q上方时，
d=2t+4-(-t+4)=3t；
当-2