山东省临沂市兰山区开慧实验学校2023—-2024学年上学期九年级数学期中考试卷

这是一份山东省临沂市兰山区开慧实验学校2023—-2024学年上学期九年级数学期中考试卷，共17页。
注意事项：
1.本试卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分120分，考试时间为90分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题纸规定的位置，考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
2.答题注意事项见答题纸，答在本试卷上不得分.
第I卷（选择题; 共36分）
一、单选题（每小题3分，共36分）
1．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则a＋c的值为（ ）
A．8B．9C．D．
3．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（ ）

第3题图 第4题图 第6题图 第8题图
A．B．或C．或D．
4．如图，我校音乐教室矩形地面的长为，宽为，现准备在地面正中间铺设一块长方形地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，若地毯面积为，设四周未铺地毯的条形区域的宽度是，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．或
5．关于的一元二次方程两个实数根的倒数和为（）
A．2B．C．1D．
6．如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．向下、直线、B．向下、直线、
C．向下、直线、D．向上、直线、
8．如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（ ）
A．10B．18C．20D．22
9．如图，在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后得到的点，绕点逆时针旋转后得到的点，依此类推，坐标是（ ）

第9题图 第11题图 第12题图
A．B．C．D．
10．把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式．若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a米，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
12．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
第II卷（非选择题; 共84分）
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．半径长为的中，有一条弦的长为，则弦所对的圆周角度数等于 ．
14．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2020＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ ．
15．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是 ．

第15题图 第16题图
16．如图，线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC，点B对应点C，在∠BAC的内部有一点P，PA＝8，PB＝4，PC＝4，则线段AB的长为 ．
三、计算题（共7小题，共68分）
17（每小题4分，共8分）．解下列方程：
(1)（用公式法） (2)（用配方法）
18（每小题5分，共10分）．已知：关于x的方程，更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 (1)求证：无论k为何值时，方程始终有两个不相等的实数根；
(2)若，且方程的两个根分别是与，求的值．
19（10分）．下面是小玲设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图所示．

①在直线l上取一点O，以点O为圆心，长为半径在直线l上方画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小玲设计的尺规作图过程，解决问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接和，
∵，
∴______，
∴（____________）（填推理的依据），
∴．
20（8分）．如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长．

21（10分）．对于抛物线．
(1)它与x轴交点的坐标为______，与y轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(3)利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是______．
22（12分）．如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．

(1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：______；________；________；
(2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 _________；
(3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．
23（10分）．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且以为直径的经过点．

(1)求证：是的切线；
(2)当，且时，求的半径．
参考答案：
1．B
【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
2．D
【分析】先配方得，根据题意得，进行计算算出a，c的值，即可得．
【详解】解：
，
，
∵配方后得到方程，
∴
解得，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法，代数式求值，解题的关键是掌握配方法，正确计算．
3．C
【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】∵二次函数与一次函数的图象相交于点，，
∴能使成立的x的取值范围是或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键．
4．C
【分析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x米，根据题意列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x米，根据题意有，
，
解得(不符合题意，舍去)，
∴四周未铺地毯的条形区域的宽度是1米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是关键．
5．C
【分析】设方程的两根为，根据韦达定理可得，再根据通分后的结果即可求解．
【详解】解：设方程的两根为，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题，关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，则
6．C
【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可．
【详解】解：∵，
∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，
∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．
7．B
【分析】根据顶点式的顶点坐标为，，开口象限，即可求解．
【详解】解：∵，抛物线的开口向下，对称轴为直线、顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
8．C
【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可．
【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E，
∴，，，
∴的周长是
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长．
9．A
【分析】根据旋转的性质得到每旋转次与点重合，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：将点绕点逆时针旋转得到点，
∴点，
依此类推，可得，，与重合是，
∴旋转次与点重合，
∵，
∴第次旋转结束时，点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，找出规律是解题的关键．
10．C
【分析】由题意可得方程，存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为，故，即可求出相应的范围．
【详解】解：由题意得方程，有两个不相等的实根
，即
又
∴当时，，
所以a的取值范围为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应的方程及将实际问题转化为方程问题．
11．A
【分析】由图可知：，即可判断①；根据，，得出抛物线对称轴为直线，则，当时，，即可判断②；根据抛物线的对称轴为直线，得出当时，该二次函数取最小值，即可判断③；连接，令对称轴与y轴相交于点E，根据等腰直角三角形的性质得出，则，设该抛物线的解析式为，把代入得：，求出a的值，即可判断④；根据，是一元二次方程的两个根，得出抛物线与直线相交于，即可判断⑤．
【详解】解：由图可知：
∵开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线交轴于，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
当时，，
整理得：，故②不正确，不符合题意；
当时，，
当时，，
由②可知，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，该二次函数取最小值，
∵，
∴，即，故③不正确，不符合题意；
连接，令对称轴与y轴相交于点E，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，故④正确，符合题意；

∵，是一元二次方程的两个根，
∴抛物线与直线相交于，
∵抛物线交轴于，，
∴，故⑤不正确，不符合题意；
综上：正确的有①④，共2个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，正确识别图象，根据图象判断式子的正负的方法．
12．D
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，
∵，令，
即，
解得：，
∴,
令，解得，
∴，
∵点是对称轴上的一个动点，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
13．或
【分析】利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，再利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵，，

∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴弦所对的圆周角度数等于或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角定理及圆内接四边形的性质，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．
14．2018
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2＋2m＝2020、m＋n＝−2，将其代入m2＋3m＋n中即可求出结论．
【详解】∵m，n分别为一元二次方程x2＋2x−2018＝0的两个实数根，
∴m2＋2m＝2020，m＋n＝−2，
∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）＝2020＋（−2）＝2018．
故答案为：2018．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2＋2m＝2020、m＋n＝−2是解题的关键．
15．30
【分析】根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查切线长定理及勾股定理，解题的关键是得到，，．
16．4
【分析】将△ABP绕点A逆时针旋转120°，得到△ACD，连接PD，过点A作AH⊥PD于H，利用等腰三角形的性质及通过解直角三角形求出AH，PH，DH，PD的长，利用勾股定理的逆定理证明△PDC为直角三角形，再证△DMC∽△HMA，其对应边相等，可推出AM＝CM＝AC，HM＝DM＝HD＝2，在Rt△DMC中，通过勾股定理求出CM的长，可推出AB＝AC＝2CM＝4．
【详解】如图，将△ABP绕点A逆时针旋转120°，得到△ACD，连接PD，过点A作AH⊥PD于H，
则△ABP≌△ACD，∠PAD＝120°，
∴PA＝DA＝8，PB＝DC＝4，∠APH＝∠ADH＝30°，
∴AH＝AP＝4，
∴PH＝DH＝=4，
∴PD＝2PH＝8，
在△PDC中，
PD2+CD2＝(8)2+42＝208，
PC2＝(4)2＝208，
∴PD2+CD2＝PC2，
∴△PDC为直角三角形，且∠PDC＝90°，
∴∠AHD＝∠PDC，
∴AH∥DC，
∴△DMC∽△HMA，
∵DC＝AH＝4，
∴AM＝CM＝AC，HM＝DM＝HD＝2，
∴在Rt△DMC中，
CM＝＝2，
∴AB＝AC＝2CM＝4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是能够通过勾股定理的逆定理证明△DMC为直角三角形．
17．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据公式法进行计算即可得；
（2）根据配方法进行计算即可得．
【详解】（1）解：
，，，，
∴方程有两个不相等的实数根，，
∴，．
（2）解：
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法，配方法．
18．(1)见详解
(2)2
【分析】（1）根据根的判别式，即可得证；
（2）根据根与系数的关系可得，化简所求式并代入可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论为何值时，方程始终有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，方程为：，
∵方程的两个根分别是与，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)，等弧所对的圆周角相等
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）根据圆周角定理的推论和平行线的判定求解可得．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）证明：连接和，
∵，
∴，
∴（等弧所对的圆周角相等），
∴．
【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定．
20．
【分析】连接，根据得到，结合，得到，结合勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴；

【点睛】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，勾股定理：直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方．
21．(1)，；；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）分别求出当时，y的值，当时，x的值，以及把抛物线解析式化为顶点式求出对应的顶点坐标即可；
（2）按照先列表，再描点，最后连线，画出对应的函数图象即可；
（3）求出当时，y的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，解得或，
∴抛物线与x轴交点的坐标为，，与y轴交点的坐标为；
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
故答案为：，；；；
（2）解：列表如下：
函数图象如下所示：

（3）解：当时，，
当时，，
∴当时，，
∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，
∴直线与抛物线在的范围内有交点，
∴．
【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，顶点坐标，画二次函数图象等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
22．(1)；；
(2)552
(3)嘉嘉的说法错误,淇淇的说法正确，见解析
【分析】（1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d；
（2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论；
（3）嘉嘉的说法错误，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出嘉嘉的说法错误；淇淇的说法正确，根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出淇淇的说法正确．
【详解】（1）根据题意得：．
故答案为：；；．
（2）观察日历表，可知：a的最大值为23，
∴ab的最大值为．
故答案为：552．
（3）嘉嘉的说法错误，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∵10月8日为周六，不符合题意，
∴嘉嘉的说法错误；
淇淇的说法正确，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∵10月6日为周四，符合题意，
∴淇淇的说法正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，由，利用等边对等角得到一对角相等，再由为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同位角相等得到，都为直角，可得出垂直于，即可得到与圆相切；
（2）由于，设，用表示，、、、，在中，根据勾股定理得：，由此建立方程模型即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
（2）解：，
设，
则，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
半径为3．
【点睛】此题考查了切线的判定，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．x
…
…
y
…
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
0
3
…