专题21圆锥曲线运算-解析版

这是一份专题21圆锥曲线运算-解析版，共20页。试卷主要包含了挖掘性质寻找最简运算之路，扎实做好复杂运算结构的简化，关注存在性问题运算方向，细心分解运算思维链接，第六，巧设点深挖形优化运算等内容，欢迎下载使用。
一、挖掘性质寻找最简运算之路
问题1:过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A1作任意弦A1E并延长到点F,使|EF|=A1E,A2为椭圆的另一顶点,连接OF,交A2E于点P,则动点P的轨迹方程是__________.
【解析】卡壳点:小题大做,运算出错;几何挖掘,缺少意识.
应对策略:充分挖掘几何图形中的几何信息.
问题解答:解法1通法引导掌握基本算理.
如图1,P是两直线OF,A2E的交点,首先想到交轨法.
因为A1(-a,0),A2(a,0),设Ex0,y0,而E为A1F的中点,所以F2x0+a,2y0.
可得直线OF的方程为y=2y02x0+ax;
直线A2E的方程为y=y0x0-a(x-a).
又Ex0,y0是椭圆上的点,所以x02a2+y02b2=1.消去x0,y0,即得点P的轨迹方程:x-a3223a2+y223b2=1.
【反思】交轨法是常规法,优点是思路流畅,缺点是消参麻烦,注意到E是A1F的中点,你能由中点这一特殊点发现什么?
解法2关注并利用图形的几何特征.
如图2,过点E作x轴的平行线,交OF于点Q,则|EQ|:A1O=1:2=|EQ|:A2O.
由△EPQ∼△A2PO,得|EP|:PA2=1:2.
故点P分EA2所成比例λ=12.
设Ex0,y0,P(x,y),则由定比分点公式得x0=32x-a2,y0=32y.
代入椭圆方程可得点P的轨迹方程:x-a3223a2+y223b2=1.
【反思】代人法也是常规法,它避开了消参的烦琐,但对图形的挖掘充分了吗?注意到E是A1F中点,那么O不也是△FA1A2底边的中点吗?又是一个中点,确立了点P的特殊地位,即△FA1A2的重心.
解法3充分挖掘几何图形的几何性质.
设Ex0,y0,而E为A1F的中点,所以F2x0+a,2y0.
由以上分析知,点P是△FA1A2的重心,由重心公式得x0=32x-a2,y0=32y.
代人椭圆方程可得点P的轨迹方程:x-a3223a2+y223b2=1.
【反思】(1)三角形重心这一几何性质的揭示,开创了一个巧妙的奇异解、简捷解,关键是充分挖掘了几何图形的几何性质.
(2)求动点轨迹常常涉及“数”与“形”的转化,在“数”与“形”的转化过程中,如果不能把握其平衡点,往往会导致“数”的运算烦琐或在“形”的挖掘中遇到障碍.
(3)问题探索者既要掌握“数”的运算基本方法,如韦达定理、斜率公式、点到直线距离公式、夹角公式、定比分点公式等,又要善于挖掘几何图形中隐藏的几何性质,以便于减少运算量,达到最佳解题效果.
二、扎实做好复杂运算结构的简化
问题2:已知椭圆x2a2+y2=1(a>1).
(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);
(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
【解析】卡壳点:解方程(组)时,运算繁杂,运算失误多.
应对策略:在解方程或代数变形时,遇到可化简处,先化简,再推理,以便寻找到最优运算途径.
问题解答:(I)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,
由y=kx+1,x2+a2y2=a2消y得1+a2k2x2+2a2kx=0.
故解得x1=0,x2=-2a2k1+a2k2.
因此|AP|=1+k2x1-x2=2a2|k|1+a2k21+k2.
(II)假设圆与椭圆有4个公共点,由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.
设AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.
由(I)知,|AP|=2a2k11+a2k121+k12,|AQ|=2a2k21+a2k221+k22,
故2a2k11+a2k121+k12=2a2k21+a2k221+k22.
步骤一:有公因子先约分,得4a2k121+k121+a2k122=4a2k221+k221+a2k222;步骤二:分式化整式得k14+k12a4k24+2a2k22+1=k24+k22a4k14+2a2k12+1,多项式展开时观察其中的特点;
步骤三:移项、合并同类项得a4k12k24-k22k14+2a2k14k22-k24k12+k14-k24+k12-k22=0,公因式能析出k12-k221+k12+k22+a22-a2k12k22=0;
步骤四:将含参方程1+k12+k22+a22-a2k12k22=0进行参变分离,得1+k12+k22k12k22=a2a2-2;
步骤五:会分析变量代数式1k12+1k22+1k12k22+1=a2a2-2+1的代数结构特点,从而寻找到有解的条件1k12+11k22+1=1+a2a2-2>1,所以a>2.
因此任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1