微专题21　直线与圆锥曲线的位置关系

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【真题体验】
1.(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq \r(2)，则p＝( )
A.1 B.2
C.2eq \r(2) D.4
2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(2),3)
C.－eq \f(\r(2),3) D.－eq \f(2,3)
3.(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A.(1，1) B.(－1，2)
C.(1，3) D.(－1，－4)
4.(2022·全国甲卷)记双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________.
5.(2021·浙江卷)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).若过F1的直线和圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)c))eq \s\up12(2)＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________；椭圆的离心率是________.
【热点突破】
热点一 中点弦问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
(1)若椭圆E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则k＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
(2)若双曲线E的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则k＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝eq \f(p,y0)＝eq \f(2p,y1＋y2).
例1 (1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A.(1，－1) B.(2，0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,2))) D.(1，1)
(2)(2023·郑州二模)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点为B，斜率为eq \f(3,2)的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(6),3)
规律方法 1.处理中点弦问题的常用方法：(1)根与系数的关系；(2)点差法；(3)常用结论.
2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交.
训练1 (1)(2023·青岛调研)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线x－y＋eq \r(2)＝0与椭圆C相交于不同的两点A，B.若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－eq \f(1,2)，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1
(2)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1中以点M(2，1)为中点的弦所在直线方程为( )
A.4x＋9y－17＝0B.4x－9y－17＝0
C.eq \r(7)x＋3y－2eq \r(7)－3＝0D.eq \r(7)x－3y－2eq \r(7)＋3＝0
热点二 弦长问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)
＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|
＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2).
例2 已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线l：x＝my＋1(m∈R)与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2＋y2＝a2相交于C，D两点，当|AB|·|CD|2的值为8eq \r(2)时，求直线l的方程.
规律方法 1.设直线方程要注意斜率不存在的情况.若已知直线过(t，0)，可设直线方程为x＝my＋t(m≠0)；
2.联立直线、曲线的方程组消元后，一需要二次项系数不等零，二需要Δ＞0；
3.点差法，要检验中点是否在圆锥曲线内部，若中点在曲线内部，可不必检验Δ＞0.
训练2 (2023·遂宁二诊)已知定点D(2，0)，直线l：y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线y2＝4x交于两点A，B，若∠ADB＝90°，则|AB|＝( )
A.4 B.6
C.8 D.10
热点三 圆锥曲线的切线问题
1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.
2.椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1；双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
例3 (多选)设A，B为抛物线C：y＝x2上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F，分别以A，B为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点P.则下列结论正确的有( )
A.点P一定在抛物线C的准线上B.AP⊥BP
C.PF⊥ABD.△PAB的面积有最大值无最小值
规律方法 1.圆锥曲线在某点处的切线方程可通过求导的方法来解决.
2.过圆锥曲线外一点作曲线的两条切线，过两切点的直线方程与曲线在该点处的切线方程相同.例如：过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)外一点P(x0，y0)作椭圆的两条切线PA，PB(A，B为切点)，则直线AB的方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1.
训练3 如图，已知点P(x0，y0)是双曲线C1：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1上的点，过点P作椭圆C2：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的两条切线，切点为A，B，直线AB交C1的两渐近线于点E，F，O是坐标原点，则eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(OF,\s\up6(→))的值为( )
A.eq \f(3,4) B.1
C.eq \f(4,3) D.eq \f(9,16)
热点四 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.
(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.
(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.
例4 (1)(2023·徐州质检)过点(0，－1)且与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1有且只有一个公共点的直线的条数为( )
A.0 B.2
C.3 D.4
(2)(2023·湖州模拟) 已知直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，OH⊥AB交AB于点H，点H的坐标为(2，2)，则p的值为( )
A.eq \f(3,2) B.2
C.eq \f(5,2) D.3
易错提醒 1.直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
2.直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
训练4 (1)(2023·沈阳模拟)命题p：直线y＝kx＋b与抛物线x2＝2py(p>0)有且仅有一个公共点，命题q：直线y＝kx＋b与抛物线x2＝2py相切，则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：eq \f(x2,2)＋y2＝1，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，O为坐标原点，则△OCD面积的最小值为( )
A.1 B.eq \r(3)
C.eq \r(2) D.2