专题20圆锥曲线离心率-解析版

这是一份专题20圆锥曲线离心率-解析版，共17页。试卷主要包含了充分挖掘几何图形中几何性质，等价转化探求离心率不等式，定义况性质建立离心率方程，几何代数法共寻离心率，先建切线方程减少运算量，把垂直关系用活求离心率等内容，欢迎下载使用。
一、充分挖掘几何图形中几何性质
问题1:如图1,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,F1F2=10,P是y轴正半轴上一点,PF1交椭圆于点A,若AF2⊥PF1,且△APF2的内切圆半径为22,则椭圆的离心率为( )
A.54 B.53 C.104 D.154
【解析】卡壳点:对图形中几何性质的挖掘成为障碍.
应对策略:把直角三角形的内切圆性质与椭圆几何量之间建立联系.
问题解答:设AF1=r1,AF2=r2.
先挖掘信息“△APF2的内切圆半径为22..
因为PF2=PA+r1,又PF2=PA+r2-2,所以r2-r1=2①.
再挖掘信息“AF2⊥PF1”得r22+r12=10②.
由①②可得r2r1=4.
故r2+r12=r2-r12+4r2r1=18,r2+r1=32=2a,2c=10,所以e=53.故选B.
【反思】(1)通过挖掘问题中的平面几何图形来构造或列举a,b,c的关系式,这是离心率问题中最常见的类型之一.掌握平面几何图形的特征与相关性质是高考的基本要求.
(2)本题关键是挖掘出平面几何知识“直角三角形的内切圆的半径长等于两直角边之和减去斜边长的一半”,再加上“直角三角形中的勾股定理”,从而突破障碍.
二、等价转化探求离心率不等式
问题2:如图2,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A1,A2是双曲线的顶点,F是右焦点,点B(0,b),若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i=1,2),使得△PiA1A2构成以线段A1A2为斜边的直角三角形,则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A.2,5+12 B.5+12,+∞ C.1,5+12 D.(2,+∞)
【解析】卡壳点:不理解题设条件中隐藏的几何性质.
应对策略:多角度理解题意,将目标层层转化.
问题解答:条件“若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i=1,2),使得△PiA1A2构成以线段A1A2为斜边的直角三角形”可转化为“以A1A2为直径的圆与线段BF有两个交点”,即转化为“x2+y2=a2,xc+yb=1有两解”,进而转化为“圆心(0,0)到线段xc+yb=1(0⩽x⩽c)的距离小于半径a",最后转化为“1a2a(否则只会有一个交点)”,即“e4-3e2+12”,即e>2且e20,x2>0,
则|AM|=|OA|2-b2=x12+y12-b2=x12+b21-x12a2-b2=ex1,
|AM|+|AF|=ex1+a-ex1=a.
同理可得|BM|+|BF|=ex2+a-ex2=a.
从而|AF|+|BF|+|AB|=2a.
由题设知2a=3b,故e=53.
解法4(参数化表达,三角运算化解)
设F(c,0),Aacs⁡θ1,bsin⁡θ1,Bacs⁡θ2,bsin⁡θ2,
则|AM|=|OA|2-b2=a2cs2θ1+b2sin2θ1-b2=ccsθ1,
|AF| =acsθ1-c2+b2sin2θ1 =a2cs2θ1-2accsθ1+c2+a2-c2sin2θ1 =a2-2accsθ1+c2cs2θ1=a-ccsθ1,|AM| +|AF|=a.
同理可得|BM|+|BF|=a.
从而|AF|+|BF|+|AB|=2a.
由题设知2a=3b,故e=53.
【反思】(1)面对小题时,特殊化思维虽然是一条解题途径,但并非是一条能够迅速达到目标的最佳路径,因此,遇到障碍时,要及时修正,开辟新的思路.
(2)积累圆锥曲线的一些性质和一些相关的智慧点是数学高考应试的技巧之一.
（3）清圆锥曲线的本质特征,善于从几何与代数两个角度思考,从圆锥曲线的定义去思考并链接,可以找到快速求解的途径,解法3是最好的说明.
五、先建切线方程减少运算量
问题5:简化的奥运会主体育场的“鸟巢”钢结构俯视图如图5所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,外层椭圆方程为x2(ma)2+y2(mb)2=1(a>b>0,m>1),顶点A(ma,0),B(0,mb),向内层椭圆x2a2+y2b2=1引切线AC,BD,若切线AC与BD的斜率之积为-916,则椭圆的离心率是_______.
【解析】卡壳点:代数式运算力不足.
应对策略:利用椭圆上点的切线方程,减少运算量.
问题解答:设Cx1,y1,Dx2,y2,则CA:x1xa2+y1yb2=1 ①，
BD:x2xa2+y2yb2=1 ②
把A点坐标代人①式,B点坐标代人②式得x1=am,y2=bm.
将x1,y2的值分别代人椭圆方程可得y1=b1-1m2,x2=a1-1m2.
由题意知kACkBD=-916=b1-1m2ma-ambm-mba1-1m2=-b2a2,即b2a2=916.
故e2=1-916=716,解得e=74.
【反思】(1)此题的另一种解法,运算量就大得多.设内层椭圆方程为x2a2+y2b2=1,外层椭圆方程为x2(ma)2+y2(mb)2=1(a>b>0,m>1),则A(ma,0),B(0,mb).
设切线AC的方程为y=k1(x-ma),切线BD的方程为y-mb=k2x.
由(bx)2+(ay)2=(ab)2,y=k1(x-ma)消去y得b2+a2k12x2-2ma3k12x+m2a4k12-(ab)2=0.
Δ=-2ma3k122-4b2+a2k12m2a4k12-(ab)2=0,得k12=b2a2⋅1m2-1.
同理由(bx)2+(ay)2=(ab)2,y=k2x+mb消去y得b2+a2k22x2+2mba2k2x+m2a2b2-(ab)2=0.
Δ=2mba2k22-4b2+a2k22m2a2b2-(ab)2=0,得k22=b2a2m2-1.
所以-916=-b2a2,即b2a2=916,故e2=1-916=716,解得e=74.
(2)本题是用数学眼光观察世界理念的产物,从北京奥运会的著名建筑“鸟巢”的设计信息中提炼抽象出这样一个数学问题.
六、把垂直关系用活求离心率
用代数方法解决几何图形中的问题,这是解析几何的基本研究方法,所以离心率问题也离不开代数变形、方程求解、不等式求解,挖掘几何性质或利用定义只是为了减少运算而不是完全去掉运算,所以在繁杂的数量关系中,一定水平的运算能力是解决问题的基本功.
问题6:已知直线l:y=x+1与曲线C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.
(I)若|OA|=|OB|,求证:曲线C是一个圆;
(II)若OA⊥OB,当a>b且a∈62,102时,求曲线C的离心率e的取值范围.
【解析】卡壳点:题设中几何条件的转化成为一个障碍.
应对策略:充分利用两点坐标Ax1,y1,Bx2,y2,当OA⊥OB时,得到x1x2+y1y2=0.
问题解答:(I)证明:设直线l与曲线C的交点为Ax1,y1,Bx2,y2.
因为|OA|=|OB|,所以x12+y12=x22+y22,即x12+y12=x22+y22,
所以x12-x22=y22-y12.
因为点A,B在曲线C上,所以x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1.
两式相减得x12-x22=a2b2y22-y12.
所以a2b2=1,即a2=b2.
故曲线C是一个圆.
(II)设直线l与曲线C的交点为Ax1,y1,Bx2,y2.
因为a>b>0,所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆.
因为OA⊥OB,所以y1x1⋅y2x2=-1,即y1y2=-x1x2.
将y=x+1代人b2x2+a2y2-a2b2=0,整理得b2+a2x2+2a2x+a2-a2b2=0.
所以x1+x2=-2a2a2+b2,x1x2=a21-b2a2+b2.
因为点A,B在直线l上,所以y1y2=x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1.
又因为y1y2=-x1x2,所以2x1x2+x1+x2+1=0.
所以2⋅a21-b2a2+b2-2a2a2+b2+1=0,所以a2+b2-2a2b2=0,
即a2+a2-c2-2a2a2-c2=0，
整理得2a4-2a2+c2-2a2c2=0,所以c2=2a2a2-12a2-1.
故e2=c2a2=2a2-12a2-1=1-12a2-1.
因为a∈62,102,所以2a2-1∈[2,4],所以1-12a2-1∈12,34,故e∈22,32.
【反思】为了寻找离心率的范围,题中给出某一个几何量的变化范围,本身就是一个提示,建立离心率与此几何量的关系是目标,也是智慧点.
强化练习
1.若离心率为e1的椭圆与离心率为e2的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则e12-1e22-1等于（ ）
A.-e1 B.-e2 C.-1e1 D.-1e2
【解析】由题意知c1=c2,d1=a1b2a22+b22=a1b2c2,d2=a2b1a22+b22=a2b1c2,d3=c1b2a22+b22=b2.
从而a2b1c22=a1b2c2⋅b2,即a22a12-c12=a1c2c22-a22,两边同除以a12得e12-1e22-1=-e1.故选A.
【反思】三个点到一直线的距离间有等量关系,因此为寻找两曲线离心率间的关系指出了方向.
2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B.3 C.2 D.5
【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为l:x=-1,|AB|=4|OF|=4.
因为A-1,ba,所以ba=2,
e2=1+ba2=5,选择D.
【反思】对条件“|AB|=4|OF|”的挖掘是关键.
3.如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（ ）
A.2 B.3 C.32 D.62
【解析】解法1思维进人一般方法时:由题意OB2=3,
则有，解得
所以8a2-13-a2=3,整理得a4-6a2+8=0,解得a2=2或a2=4(舍去),选择D.
解法2思维进人定义时:由题意c=3,AF2+AF1=4,AF2-AF1=2a,解得AF2=2+a,AF1=2-a.又AF12+AF22=F1F22,得a=2,e=62.选择D.
【反思】把题设条件中图形的几何性质挖掘出来.
4.(1)如图1,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的上端点为B,线段AB与渐近线交于点M,若FM平分∠BFA,则该双曲线的离心率e等于（ ）
A.1+3 B.1+2 C.3 D.2
（2）如图2,A,F分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的左顶点、右焦点,过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直,与另一条渐近线和y轴分别交于点P和点Q.若AP⊥AQ,则C的离心率是（ ）
A.2 B.3 C.1+134 D.1+174
【解析】(1)AB:xa+yb=1,OM:y=bax,解得Ma2,b2,
故M为AB的中点,从而判断△ABF为等腰三角形,BF=FA,c2+b2=a+c,
所以e2-2e-2=0,解得e=2+122=1+3,选择A.
(2)F(c,0),c2=b×FQ,FQ=c2b,OQ=c4b2-c2=acb,PQ:xc+byac=1,
联立方程bx+ay=0,ax+by=ac,解得Pa2ca2-b2,-abca2-b2,于是acb-00+a⋅-abca2-b2-0a2ca2-b2+a=-1,整理得2a2+ac-2c2=0,解得e=1+174,选择D.
【反思】抽象字母的代数式运算是基本功,在圆雉曲线运算中涉及方程组求解、繁分式运算都是常事,首先内心要接受,其次努力去化简,运算智慧是关键.
5.如图,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,Q为双曲线渐近线上一点，点P，Q均位于第一象限，且2QP=PF2,QF1∙QF2=0,则双曲线C的离心率为（ ）
A.3-1 B.3+1 C.13-2 D.13+2
【解析】设F2(c,0),Qx,bax,
由““QF1⋅QF2=0”得bxa2=(c-x)(x+c)=c2-x2,
解得x=a,所以Q(a,b),从而得Pc+2a3,2b3.
又点P在双曲线上,所以c+2a3a2-2b3b2=1,化简得(e+2)2=13,选择C.
【反思】(1)一是挖掘几何条件,即将几何条件代数化;二是运算中不能出错,细心细心再细心,代入时要细心,计算时要细心,一步一步做,不要跳步,要在草稿纸上留下痕迹,以便核对.
(2)解析几何问题以运算繁杂为主要特征,因为运算要涉及运算方向、运算规则、运算次序,稍有一点出错,就可能导致解题失败.
6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且∠F1PF2=π3,若点F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上,则椭圆C的离心率为_________.
【解析】本题容易设点运算进人复杂思路,难以自拔.
事实上,△F1PF2为正三角形,由于点P的任意性,考虑特殊化情形,即PQ为通径时,如答图.
第6题答图
可得b2a2c=tan⁡π6=33,所以a2-c2ac=233,
即1e-e=233,整理得e2+233e-1=0,解得e=33.
【反思】(1)对圆雉曲线小题题设的每一个信息都要把握,缺一不可,否则思维就要受阻,一定要从几何图形上去挖掘,从特殊化上去挖掘,从定义上去挖掘,一旦进入实际计算，就会有新会有繁杂的运算等着你.
(2)将一般问题特殊化处理是解决小题的常用思维方式,小题不能大做.
7.设F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A是该椭圆上位于第一象限的一点,过点A作圆x2+y2=b2的切线,切点为P,则|AF|-|AP|=________.
【解析】设F(-c,0),A(acs⁡θ,bsin⁡θ),其中θ∈0,π2
|AF|=(acs⁡θ+c)2+b2sin2⁡θ=a2cs2⁡θ+2accs⁡θ+c2+a2-c2sin2⁡θ=a2+2accs⁡θ+c2cs2⁡θ=a+ccs⁡θ,|AP|=|OA|2-b2=a2cs2⁡θ+b2sin2⁡θ-b2=ccs⁡θ,|AF|-|AP|=a.
【反思】椭圆上点的三角表示是运算简化的基础.
8.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若AF2=2F2B,|AB|=BF1,则椭圆的离心率是__________.
【解析】如答图所示,
第8题答图
设AF2=2F2B=2r1,AF1=r2.
由椭圆定义可列r1+3r1=2a,r2+2r1=2a,所以AF1=r2=a,AF2=a,BF2=a2.
在△ABF1与△BF2F1中运用余弦定理,
cs⁡B=32a2+32a2-a22×32a×32a=32a2+12a2-42×32a×12a
解得a2=3,所以椭圆的离心率为33.
【反思】运用圆锥曲线的定义去建立几何量之间的关系是解题的关键点.
9.如图,F1和F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,求双曲线的离心率.
【解析】解法1设AB交x轴于点M,并设双曲线的半焦距为c,
因为△F2AB是等边三角形,所以|OM|=c2,|MA|=32c
将点A-c2,32c代人双曲线方程:
b2⋅c24-a2⋅34c2=a2b2,
即c2c2-a2-3a2c2=4a2c2-a2,
他简珙c1-8a2c2+4a4=0,即e4-8e2+4=0，
解得e2=4+23,e=3+1.
(因为e>1,所以e2=4-23及e=3-1舍去)
解法2连接AF1,则△AF1F2为直角三角形,且斜边F1F2之长为2c.
令AF1=r1,AF2=r2,由直角三角形的性质知:
r2-r1=2a,12r2⋅2c=r1r2,解得r1=c,r2=2a+c.
因为r12+r22=4c2,所以(2a+c)2+c2=4c2,即2a2+2ac-c2=0,整理得e2-2e-2=0.
因为e>1,所以取e=3+1.
【反思】两种解法都是运用圆雉曲线的定义与相关几何条件建立方程,即使是用解析法解题,也应不失时机地引入几何手段.