2023-2024学年广西南宁市第四中学高二上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西南宁市第四中学高二上学期开学考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.
【详解】因为，则，
所以，.
故选：B.
2．某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】利用分层抽样等比例的性质求从高一年级的学生中应抽取的人数.
【详解】由分层抽样等比例性质，从高一年级的学生中应抽取的人数为人.
故选：D
3．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（ ）
A．平行B．相交C．重合D．平行或相交
【答案】D
【分析】通过空间想象作图可得答案.
【详解】如图，这两个平面有可能平行或相交.
故选：D

4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均值为，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据中位数、众数、平均数的知识确定正确答案.
【详解】中位数，众数为，
平均数为，
所以，所以B选项正确，其它选项错误.
故选：B
5．下列各式中，化简后不是零向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法、减法运算化简即可得解.
【详解】因为，故A错误；
因为，故B正确；
因为，故C错误；
因为，故D错误.
故选：B
6．若非零向量,满足,,则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由得出向量的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角即可．
【详解】设与的夹角为,因为,所以,所以.
又,所以=,所以与的夹角为.
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．属于基础题.
7．如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑的高度，D为该建筑顶部．在A处测得，在B处测得，仰角，A、B两点距离为．已知该建筑底部C和A、B在同一水平面上，则该建筑高度（ ）m．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】在中利用正弦定理可得BD，然后在中可解.
【详解】在中，
由正弦定理可得，
在中，
所以（m）
故选：C
8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（ ）寸.（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据圆台的体积公式求得天池盆的体积，即可求得盆中积水的体积，根据平地降雨量的含义即可求得答案.
【详解】由题意可知天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，

则天池盆体积为（立方寸）
故盆中积水体积为（立方寸），
故平地降雨量约为（寸），
故选：C
二、多选题
9．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，在上的投影向量的坐标为
C．若，则
D．存在，使得
【答案】AB
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合投影向量的定义、平面向量垂直的性质逐一判断即可.
【详解】，因此选项A正确；
当时，，，
因为 ，
所以在上的投影向量的坐标为，因此选项B正确；
因为，
所以有，因此选项C不正确；
，该方程无实根，
因此选项D不正确，
故选：AB
10．已知，复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若复数z为纯虚数，则
B．若复数z为实数，则
C．若复数z的模为，则
D．若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则
【答案】ABD
【分析】先化简复数，再根据复数类型判断A，B选项，再根据模长判断C选项，根据复数所在象限得出参数范围判断D选项即可.
【详解】，
A中，若复数z为纯虚数，则，且，得．故A正确；
B中，若复数z为实数，则，得．故B正确；
C中，若复数z的模为，则，得．故C不正确；
D中，若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则，且，得．故D正确．
故选：ABD.
11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（ ）
A．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
B．若，则为钝角三角形
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为等腰三角形
【答案】ABC
【分析】A选项，根据得到满足条件的三角形只有一个；B选项，由正弦定理和余弦定理得到，B正确；C选项，利用化简得到答案；D选项，变形得到，由余弦定理和倍角公式得到，从而得到或.
【详解】对于A，由，则，又，知满足条件的三角形只有一个，故A正确；
对于B，，即，A为钝角，故B正确；
对于C，因为不是直角三角形，所以均有意义，
又，所以，
所以，故C正确；
对于D，，
即，
由正余弦定理可得，则，
所以或，故D错误.
故选：ABC.
12．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥A−D1PC的体积不变
B．直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为
C．直线AP与平面ACD1所成角的大小不变
D．二面角P−AD1−C的大小不变
【答案】ABD
【分析】对于选项A，由已知可得平面，可得BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，由此可判断；
对于选项B，由，可得直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，由此可判断；
对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，可判断；
对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确.
【详解】对于选项A，因为，面，面，所以平面，
所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，又，所以三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故A正确；
对于选项B，因为，点P在直线BC1上运动，所以直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，因为为等腰直角三角形，故B项正确；
对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，故C错误；
对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．同时投掷枚质地均匀的骰子，所得点数相同的概率是
【答案】
【分析】利用列举法，根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】同时投掷枚质地均匀的骰子，基本事件有：
，
，
，
，
，
，共种，
其中点数相同的有，共种，
所以所得点数相同的概率是.
故答案为：
14．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则最大角的余弦值是 .
【答案】/
【分析】由正弦定理以及三角形的性质，可得，并可判断最大角为，再由余弦定理即可求出结果.
【详解】因为，由正弦定理可得，，
所以，即角最大，
设，其中，
所以.
故答案为：.
15．已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则的最大值为 .
【答案】4
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.
【详解】以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
则,
设，
则
所以，
故的最大值为4，
故答案为：4
16．如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形 （填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
【分析】四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据．
图①：证明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；
图③：证明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；
图④：证明GH∥EF，AC∥EF， BD∥GH，可得BD∥AC．
【详解】图①：取GD的中点F，连结BF、EF，
∵B、F均为相应边的中点，则：∥
又∵∥，则∥即ABFE为平行四边形
∴AB∥EF
同理: CD∥EF
则AB∥CD即A、B、C、D四点共面，图①正确；
图②：显然AB与CD异面，图②不正确；
图③：连结AC,BD,EF,
∵BE∥DF即BDFE为平行四边形
∴BD∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确；
图④：连结AC,BD,EF,GH,
∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
同理：BD∥GH
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确．
故答案为：①③④．
四、解答题
17．已知，.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；
（2）根据解方程即可得答案.
【详解】（1）解：
（2）解：∵向量与互相垂直，
∴，整理得，又，，
∴，解得.
∴当时，向量与互相垂直.
18．为了解某小区7月用电量情况，通过抽样，获得了100户居民7月用电量（单位：度），将数据按照分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)已知该小区有1000户居民，估计该小区7月用电量不低于200度的户数；
(3)估计该小区居民7月用电量的85%分位数.
【答案】(1)
(2)400
(3)262.5
【分析】（1）利用频率分布直方图的概率和为1求解;
（2）用样本估计总体，找到该小区7月用电量不低于200度的概率；
（3）利用百分位数的概念直接求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可得：，
解得：；
（2）由频率分布直方图可得，100户居民7月用电量不低于200度的频率为
，
由此可以估计该小区有1000户居民7月用电量不低于200度的户数为；
（3）由频率分布直方图可得，7月用电量低于250度的频率为
，
7月用电量低于300度的频率为，
所以85%分位数a一定位于区间内，
由题意可得，
解得，
所以估计该小区居民7月用电量的85%分位数为262.5.
19．如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面是的中点.
(1)求证：平面；
(2)证明：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据线线平行，即可证明线面平行；
（2）根据线面垂直的性质定理，以及线面垂直的判断定理，即可求解.
【详解】（1）设，连接，如图，
在四棱柱中，是正方形，
所以O为BD中点，
又因为M是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）在四棱柱中，侧棱平面，
所以平面，
因为平面，所以，
在正方形中，，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
20．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求甲选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求至少有一名选手通过全部考核的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设事件表示“甲选手能正确回答第轮问题”，设事件表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；
（2）利用独立事件的概率乘法公式求出甲选手通过全部考核的概率与乙选手通过全部考核的概率，然后利用对立事件的概率公式求解．
【详解】（1）设事件表示“甲选手能正确回答第轮问题”，
由已知，
设事件表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回答正确，而第三轮的问题回答错误，
则；
（2）设表示“甲选手通过全部考核”，
则．
设事件表示“乙选手能正确回答第轮问题”，
由已知，
设表示“乙选手通过全部考核”，
则．
则至少有一名选手通过全部考核的概率为.
21．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径R满足
(1)求B的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理和已知条件化简可得，再根据正弦定理，即可求出结果．
（2）由三角形内角和可知，进而可得，由余弦定理即可求出，再根据，即可求出结果.
【详解】（1）解：，
，
，，
又B为锐角，
（2）解：，，
，，
又,
由余弦定理，得，
，
22．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)存在，.
【分析】(1)首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可求解；
(2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条件即可求解；
(3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解.
【详解】(1)因为，是的中点，所以，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，，,
又因为，
所以平面，
由题意，易知，，
所以四边形是平行四边形，故，
所以平面；
(2) 因为平面，
所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以与平面所成的角为30°；
(3) 假设线段上是存在点，使得平面，
过点作交于，连结，，如下图：
所以，所以，，， 四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，故，
所以为中点，
故在线段上存在点，使得平面，且.