广西南宁市育才实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份广西南宁市育才实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：谢灿光 审题人：陆忠葵 考试时间：120分钟 总分: 150分
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1. 过点A(3,0)和B(0,2)的直线的方程为 ( )
A. 2x-3y-6=0 B. 3x+2y-4=0 C. 2x+3y-6=0 D. x+2y-4=0
2. 若点(a,0)在圆 x²+y²=1的内部，则实数a的取值范围是( )
A. (-1,1) B. (-∞,1) C. [0,1) D. (1,+∞)
3. 若离心率为 53的双曲线与椭圆 x240+y215=1的焦点相同，则双曲线的方程是( )
A.x29-y216=1 B.x216-y29=1 C.y29-x216=1 D.y216-x29=1
4. 以点(3,-2)为圆心，且与直线3x-y-1=0相切的圆的方程是( )
A.x-3²+y+2²=1 B.x+3²+y-2²=1
C.x+3²+y-2²=10 D.x-3²+y+2²=10
5.在空间，已知 e1，e2为单位向量，且 e1⊥e2，若 a=2e1+3e2，b=ke1-4e2,a⊥b，则实数k的值为( )
A. - 6 B. 6 C. 3 D. - 3
6. 椭圆 x2a2+y23=1a3)的左、右焦点分别为F₁, F₂, A为上顶点, 若△AF1F2的面积为 3, 则△AF1F2的周长为( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
7. 直线3x-2y=0;是双曲线 x2a2-y29=1的一条渐近线，F₁，F₂分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且 |PF₁|=4,则 |PF₂|=( )
A. 2 B. 6 C. 8 D. 10
8. 已知F₁, F₂是椭圆(C: x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则 |MF₁|⋅|MF₂|的最大值为( )
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
二、多选题(共4小题，每小题5分，部分选对得2分，多选或错选不得分，共20分)
9. 不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A =“两球同色”,，事件B =“两球异色”， 事件C =“至少有一红球”，则 ( )
A.PA=35 B.PC=910
C. 事件A 与事件B是对立事件 D. 事件A 与事件B是相互独立事件
10. 已知曲线 C:x2m+y2n=1,则下列说法正确的是( )
A. 若 m>n>0,则C是焦点在x轴上的椭圆
B. 若 m=n（n>0），则C是圆
C. 若 m=-2，n=6，则 C是双曲线，其渐近线方程为 3x±y=0
D. 若m=-2n，则C是双曲线，其离心率为 3或 62
11. 已知双曲线 C:x24-y2b2=1（b>0)的左、右焦点分别为 F₁,F₂，双曲线具有如下光学性质：从右焦点 F₂发出的光线m交双曲线右支于点 P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 F₁，如图所示.若双曲线 C的一条渐近线的方程为 3x-y=0,则下列结论正确的有( )
A. 双曲线 C的方程为 x24-y212=1
B. 若m⊥n, 则| |PF₁|⋅|PF₂|=12
C. 若射线n所在直线的斜率为k，则 k∈-33
D. 当n过点M(8, 5) 时, 光由 F₂→P→M所经过的路程为10
12. 如图，在棱长为2的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别是 A₁D,BD₁的中点, 则( )
A. 四点A1M,N,C共面
B. 直线A1D与平面 BCD₁平行
C. 异面直线CN与 D₁C₁所成角的余弦值为 33
D. 过M，B，C三点的平面截正方体所得图形面积为 5
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13. 直线l: x-y+1=0.与圆C: x²+y²+2ay+a²-2=0有公共点，则实数a的取值范围是
14. 圆C₁:x²+y²-2x+10y-24=0与圆 C₂:x²+y²+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为 . .
15. 已知双曲线 x2m-y2n=1(m>0,n>0)和椭圆 x24+y23=1有相同的焦点，则 4m+1n的最小值为 .
16. 已知圆 x²+y-2²=1上一动点A和定点B(6, 2), 点P为x轴上一动点, 则|PA|+|PB|的最小值为
四、解答题(共6小题, 第17题10分, 第18-22题每小题12分, 共70分)
17. 已知直线 l₁:ax+3y+1=0，l₂:x+a-2y-1=0;
(1) 若 l₁⊥l₂，求实数a的值；(2) 当 l₁‖l₂时，求直线l₁与l₂之间的距离.
18. 新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.
新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生的某次历史测试成绩(满分100分)，把其中不低于50分的分成五段[50,60)， [60,70)，……，[90，100]后画出如图所示的部分频率分布直方图.
观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求出这100名学生中历史成绩低于50分的人数.
(2)根据调查，本次历史测试成绩不低于 70分的学生，高考将选考历史科目； 成绩低于 70分的学生，高考将选考物理科目. 按分层抽样的方法从测试成绩在[0，70)，[70，100]的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人高考都选考历史科目的概率.
19. 如图所示, 在多面体ABCGFE中，底面BCFE为矩形，且AE ⊥底面BCFE,，AG//EF，AG=AE=BE=12EF=2，BF∩CE=O；
证明: AO∥平面GCF.(2)求平面ABO与平面GCF夹角的余弦值.
20. 已知圆C :x²+y²-2x-4y-20=0:
(1) 当k取何值时，直线 kx-y+3k+1=0与圆C相交的弦长最短；
(2) 求圆C关于直线 x-2y-2=0对称的圆D的标准方程.
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0)的离心率 e=22，左、右焦点分别为 F₁、F₂，点 P（2，2）在椭圆C上：
(1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线 l:x=my+2交椭圆C于A，B两点，求 △ABF₁面积的最大值.
22. 已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1（a>0，b>0)经过点 P（22，3），焦点 F 到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线 C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值.