江西省历年中考数学试卷压轴题

这是一份江西省历年中考数学试卷压轴题，共16页。试卷主要包含了（12分)等内容，欢迎下载使用。
22．
课本再现
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
（1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
己知：在□ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：□ABCD是菱形，
知识应用
（2）如图2，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：□ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交 CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．

23．
综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系．
初步感知
（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t＝1时，S＝______．
②S关于t的函数解析式为______．
（2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形 DPEF的面积均相等．
①t1＋t2＝______
②当t3＝4t1，时，求正方形DPEF的面积．
2022年江西省中考数学试卷压轴题
22．
跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
（1）c的值为______；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝－时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为______；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
23．
问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°)的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
（1）操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为______；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为______；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为______．
（2）类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
（3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．
（参考数据：sin15°＝，cs15°＝，tan15°＝）

图1 图2 图3 备用图
2021年江西省中考数学试卷压轴题
22．（9分）
二次函数y＝x2－2mx的图象交x轴于原点O及点A．
感知特例
（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2－2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L′．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象L′上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L′是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝－2时，图2中的抛物线L′是抛物线L的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当m＝－1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为______；
②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2－2mx的所有“孔像抛物线”L′都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______（填“y＝ax2＋bx＋c”或“y＝ax2＋bx”或“y＝ax2＋c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；
③若二次函数y＝x2－2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．
23．（12分）
课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是______；
类比迁移
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是______；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．
①求证：∠ABC＋∠ADC＝90°；
②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．
2020年江西省中考数学试卷压轴题
22．（9分）
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；
（2）求抛物线的表达式及m，n的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线y＝m（m＞－2)与抛物线及（3）中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1，A2，A3，A4之间的数量关系______．
23．（12分）
某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究
（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；
推广验证
（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形ABCD中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．

2019年江西省中考数学试卷压轴题
22．
在图1，2，3中，已知□ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．
（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝______°．
（2）如图2，连接AF．
①填空：∠FAD____∠EAB（填“＞”，“＝”，“＜”) ；
②求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．
23．
特例感知
（1）如图1，对于抛物线y1＝－x2－x＋1，y2＝－x2－2x＋1，y3＝－x2－3x＋1，下列结论正确的序号是______；
①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1)；
②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念
（2）把满足yn＝－x2－nx＋1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
知识应用
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点P的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标×之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C，…，Cn，其横坐标分别为：－k－1，－k－2，－k－3，…，－k－n （k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接CnAn，，Cn－1An－1，判断CnAn，，Cn－1An－1是否平行？并说明理由．
2018年江西省中考数学试卷压轴题
22．
在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是______，CE与AD的位置关系是______；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)．
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求四边形ADPE的面积．
23．（12分）
小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验
（1）已知抛物线y＝－x2＋bx－3经过点（－1，0)，则b＝______，顶点坐标为______，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线的表达式是______．
抽象感悟
我们定义：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0)，以y轴上的点M（0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
（2）已知抛物线y＝－x2－2x＋5关于点（0，m)的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决
（3）已知抛物线y＝ax2＋2ax－b（a≠0)．
①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2（b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点（0，k＋12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k＋22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；……；关于点（0，k＋n2)的衍生抛物线为yn，其顶点为An；……（n为正整数)．求AnAn＋1的长（用含n的式子表示)．
2017年江西省中考数学试卷压轴题
22．（9分）
已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5（a＞0)．
（1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；
（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．
23．（12分）
我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α＋β＝180°时，我们称△A′B′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中心”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝______BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为______．
猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
2016年江西省中考数学试卷压轴题
22．（10分）
如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．
【探究证明】
（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；
（2）如图2，求证：∠OAB＝∠OAE′．
【归纳猜想】
（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为______，______；
（4）图n中，“叠弦三角形”______等边三角形（填“是”或“不是”）
（5）图n中，“叠弦角”的度数为______（用含n的式子表示）
23．（12分）
设抛物线的解析式为y＝ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（()n-1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn＋1，得Rt△AnBnBn＋1．
（1）求a的值；
（2）直接写出线段AnBn，BnBn＋1的长（用含n的式子表示）；
（3）在系列Rt△AnBnBn＋1中，探究下列问题：
①当n为何值时，Rt△AnBnBn＋1是等腰直角三角形？
②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk＋1与Rt△AmBmBm＋1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．
2015年江西省中考数学试卷压轴题
23．（10分)
如图，已知二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3（a＞0)和二次函数L2：y＝－a(x＋1)2＋1（a＞0)图像的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．
（1）函数y＝ax2－2ax＋a＋3（a＞0)的最小值为______；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是______；
（2）当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明)；
（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0)，当△AMN为等腰三角形时，求方程－a（x＋1)2＋1＝0的解．
24．（12分)
我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝______，b＝______；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝______，b＝______；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．

2014年江西省中考数学试卷压轴题
23．
如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合)，点F在BC边上（不与点B、C重合)．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
（1）图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为______，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为______，此时AE与BF的数量关系是______
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
24．
如图1，抛物线y ＝ax2＋bx＋c（a＞0)的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
（1)抛物线y＝x2对应的碟宽为______﹔抛物线y＝4x2对应的碟宽为______；抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碟宽为______；抛物线y＝a(x－2)2＋3（a＞0)对应的碟宽______；
（2）若抛物线y＝ax2－4ax－（a＞0)对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
（3）将抛物线yn＝anx2＋bnx＋cn（an＞0)的对应准蝶形记为Fn（n＝1，2，3，…)，定义F1，F2，…．Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn－1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn－1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．
①求抛物线y2的表达式
②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn．则h＝______，Fn的碟宽右端点横坐标为______﹔F1，F2，…．Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是直接写出该直线的表达式； 若不是，请说明理由．
2013年江西省中考数学试卷压轴题
24．（12分）
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是______（填序号即可）
①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：______．
（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．
25．（12分）
已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An-1（bn-1，0）和An（bn，0），当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．
（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为（___，___）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（___，___）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是______；
（3）探究下列结论：
①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An﹣1An；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
2012年江西省中考数学试卷压轴题
23．
如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交与点C．
（1）求A，B两点的坐标：
（2）二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k（k≠0)，顶点为点P．
①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图像的两条相同性质；
②是否存在实数k使得△ABP为等边三角形，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
③若直线y＝8k与抛物线L2交与E，F两点，问EF的长度是否会发生变化，若不会变化，求出EF的值；若会发生变化，请说明理由．
24．
已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿着弦AB折叠操作．
（1）如图2，当折叠后的 EQ 经过圆心O时，求的长度；
（2）如图3，当弦AB＝2时，求折叠后所在圆的圆心O′到弦AB的距离；

（3）在如图１中，将纸片⊙O沿着弦CD折叠操作：
①如图４，当AB∥CD时，折叠后的和所在圆外切与点P时，设点O到弦CD，AB的距离之和为d，试求d的值；

②如图５，当AB与CD不平行时，折叠后的和所在圆外切与点P，点Ｍ，Ｎ分别为AB，CD的中点试探究四边形OMPN的形状，并证明．…
B（－1，3）
O（0，0）
C（1，－1）
A（___，___）
D（3，3）
…
…
B′（5，－3）
O′（4，0）
C′（3，1）
A′（2，0）
D′（1，－3）
…
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
m
0
－3
n
－3
…