内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了本试卷共6页，满分100分，答题时，将答案写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共6页，满分100分。考试时间为90分钟。
2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置。请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
3．答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形三边关系确定第三边取值范围即可求解．
【详解】设三角形第三边长为，即，
∴，
∴选项B，C，D，不符合题意，A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形三边关系建立不等式是解题的关键．
3. 在下列图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义逐项作出判断即可．
【详解】A、画出的是△ABC的边AB上的高，故不合题意；
B、画出的不是△ABC任一边上的高，故不合题意；
C、画出△ABC的边BC上的高，故符合题意；
D、画出的是△ABC的边AC上的高，故不合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了画三角形的边上的高，理解三角形的高的含义是正确画出高的前提．
4. 如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．
5. 如图，已知，下列条件中，不能使的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A．，，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出，故本选项不符合题意；
B． ，，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出，故本选项不符合题意；
C． ，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故本选项不符合题意；
D． ，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，两直角三角形全等还有HL．
6. 如图，△ABC的面积为10，AD为BC边上的中线，E为AD上任意一点，连接BE、CE，图中阴影部分的面积为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由D是BC的中点可得出△ABD的面积等于△ACD的面积等于5，再得出△BDE的面积等于△CDE的面积，即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD=5，S△BDE=S△CDE，
∴S△ACE+S△BDE=S△ACE+S△CDE=S△ACD=5，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的中线的性质，关键是要牢记三角形的中线平分三角形的面积．
7. 将一副直角三角板按如图所示方式放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）

A. 45°B. 65°C. 70°D. 75°
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠DMC，进而求出∠AMF，根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠AMF，代入求出即可．
【详解】按如图方式标注各点，

∵∠ACB=90°，
∴∠MCD=90°，
∵∠D=60°，
∴∠DMC=30°，
∴∠AMF=∠DMC=30°，
∵∠A=45°，
∴∠1=∠A+∠AMF=45°+30°=75°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
8. 如图，在△中，,以点为圆心，长为半径画弧，交于点,连接;则的度数为 （ ）
A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°
【答案】D
【解析】
【分析】由作图过程可知BC=BD，根据等边对等角得到∠BCD=∠BDC=70°，则的度数即可求解．
【详解】∵∠A=50°，可得∠B=40°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠BCD=70°，
∴∠ACD=90°-70°=20°，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质等内容，解题的关键是通过题目描述，得到BC=BD．
9. 已知点P（a+1，2a-3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利用第二象限点的坐标特点进而得出答案．
【详解】解：点P（a＋1，2a−3）关于x轴对称的点为（a＋1，−2a＋3）在第二象限，
故 ，
解得：a＜−1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质和解一元一次不等式组，正确记忆横纵坐标符号是解题关键．
10. 如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点，过点作交延长线于点，连接，点为中点．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】由角平分线的性质和外角的性质可得，可求，故①正确，由余角的性质可证，故②正确，由“”可证，，可得，，，可得，，故③不正确、④正确；即可求解．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，即，
又，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
过点作于，如图所示：
，
，
点为中点，
，
在中根据三角形三边关系可知，即，故③错误；
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，外角的性质和三角形三边关系等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
11. 自行车的支架部分采用了三角形结构，是因为三角形具有__________．
【答案】稳定性
【解析】
【分析】根据题意及三角形的特征来思考，由三条线段围成的图形叫三角形，三角形有三个角，三条边，三角形具有稳定性.
【详解】解：自行车的支架部分采用了三角形结构，是因为三角形具有稳定性，
故答案：稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的认识，由三条线段围成的图形叫三角形，三角形有三个角，三条边，三角形具有稳定性.
12. 某个等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为______．
【答案】50°或65°
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当底角为50°或当顶角为50°时，结合等腰三角形的性质及三角形内角和180°解题．
【详解】解：当底角为50°时，
根据等腰三角形两个底角相等，
等腰三角形的另一个底角为50°；
当顶角为50°时，
根据等腰三角形两个底角相等，
等腰三角形的底角为，
故答案为：50°或65°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13. 正n边形的每个内角都是120°，这个正n边形的对角线条数为_____条．
【答案】9
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式，列出方程，求出边上，再根据对角线的条数的计算方法，求解即可．
【详解】解：由题意，得：
解得，．
∴该正多边形为正六边形．
∴该六边形对角线条数9（条）．
故答案为9．
【点睛】本题考查求正多边形的对角线的条数．熟练掌握多边形的内角和定理，以及对角线的条数的计算公式，是解题的关键．
14. 如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行__________海里．

【答案】
【解析】
【分析】利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可．
【详解】解：由题意，得：海里，
∴海里；
∴渔船每小时航行海里；
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
15. 如图，在轴，轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用．根据作法得：点P在的角平分线上，由角平分线的性质可知点到x轴和y轴的距离相等，结合点在第一象限，可得关于的方程，求解即可．
【详解】解：根据作法得：点P在的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又点P在第一象限，点的坐标为，
∴，
∴．
故答案为：2．
16. 已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为_____．

【答案】70°或40°或20°
【解析】
【分析】分三种情况：①当AC＝AD时，②当CD′＝AD′时，③当AC＝AD″时，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可.
详解】解：∵∠B＝50°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°－50°＝40°，
如图，有三种情况：
①当AC＝AD时，∠ACD＝＝70°；
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝∠BAC＝40°；
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝∠BAC＝20°，
故答案为70°或40°或20°
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题：本大题共有6小题，共52分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17. 已知，如图点、在线段上，．求证：

（1）．
（2）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质得，由得出，再根据进行判定即可．
（2）根据，可得，即可证明．
【小问1详解】
证明：，
，
即，
，
，
在和中，
，
．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18. 如图，已知△ABC各顶点的坐标分别为A（－3，2），B（－4，－3），C（－1，－1），

（1）请你画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1的各点坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）在y轴上找一点P，使△APC的周长最短．
【答案】（1）见解析；，，；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（2）利用矩形法求三角形面积即可，
（3）根据轴对称得出最短路径即可．
【详解】解：（1）如图所示：

△的各点坐标为：；；；
（2）；
（3）连接交轴于，连接，如图所示：点即为所求．
【点睛】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义与性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了割补法求三角形的面积．
19. 已知：如图，中，，，是的中点，．
求证：（1）；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8.
【解析】
【分析】（1）连接AD，证明△BFD≌△AED，根据全等三角形的性质即可得出DE=DF；
（2）根据△DAE≌△DBF，得到四边形AFDE的面积=S△ABD=S△ABC，于是得到结论．
【详解】证明：（1）连接AD，
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵AB=AC，DB=CD，
∴∠DAE=∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴AD=BD，∠ADB=90°，
在△DAE和△DBF中，
，
∴△DAE≌△DBF（SAS），
∴DE=DF；
（2）∵△DAE≌△DBF，
∴四边形AFDE的面积=S△ABD=S△ABC，
∵BC=8，
∴AD=BC=4，
∴四边形AFDE的面积=S△ABD=S△ABC=××8×4=8．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定和性质．考查了学生综合运用数学知识的能力，连接AD，构造全等三角形是解决问题的关键．
20. 尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，，
（1）请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
（2）连接，求证：是等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作一条线段垂直平分线的方法进行作图即可；
（2）根据垂直平分线的性质，得出，根据等边对等角得出，求出，即可证明是等边三角形．
【小问1详解】
解：如图所示：即所求：
【小问2详解】
证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了基本作图，等边三角形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质．
21. 如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点．
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若的面积为，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质得到，再由“”证，得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）根据，由列方程求解即可．
【小问1详解】
解：证明：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
，
，
又是角平分线，
是的垂直平分线；
【小问2详解】
，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．
【解析】
【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；
（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；
②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．
【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．
【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．