2023-2024学年内蒙古自治区鄂尔多斯市东胜区东胜区第一中学八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区鄂尔多斯市东胜区东胜区第一中学八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共24页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、精心选一选(每小题3分，共30分.)
1．下图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是( )
A．B．C．D．
3．木工要做一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为和，则不能作为第三根木条的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，这个八边形的内角和是( )
A．B．C．D．
6．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知正方形ABCD的边长为，正方形FGCH的边长为，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（ ）
A．B．
C．D．
8．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
9．如图在平面直角坐标系中，，且，则点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、耐心填一填(本大题6个小题，每小题3分，共18分)
11．2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步，已知28nm为0.000000028 米，数据0.000000028用科学记数法表示为
12．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．因式分解： ．
14．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点E、F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，过点D作于点M，若，则的周长为
15．如图，在平面直角坐标系中，点，，在轴正半轴上，点，，在射线上，，若，且，，均为等边三角形， 则线段的长度为
16．如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点M，与相交于点N，与相交于点F，连接并延长，交于点G．则下列结论：①；②；③；④G为中点．正确的有 （填序号）．

三、解答题(本大题8个小题，共72分.解答写在答题纸上，写出必要的演算步骤或推证过程)
17．计算
(1) ；
(2)先化简分式：然后在0， 1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值；
(3)解分式方程：．
18．如图，已知三个顶点的坐标分别为；
(1)画出关于y轴对称的并直接写出三个顶点的坐标；
(2)x轴上是否存在点M，使的值最小，若有，请在图中画出点M的位置，并直接写出点M的坐标．
19．如图1， 点C在线段上，点D，E分别在的两侧，且，
(1)求证:
(2)在(1)的条件下， 连接， 作平分 交于点 F， 如图2， 试判断与的位置关系， 并给出证明.
20．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解: ，
，
，
．
根据上面的解题思路与方法还可以解决下面的几何问题：
如图，是线段上的一点，分别以为边向两侧作边长为的正方形与边长为的正方形，设，两正方形的面积和为40，求的面积．
21．开学初，学校要补充部分体育器材，从超市购买了一些足球和篮球．其中购买足球的总价为1000元，购买篮球的总价为1800元，且购买篮球的数量是购买足球数量的2倍．已知购买一个足球比一个篮球贵10元．
(1)求购买足球和篮球的单价各是多少元；
(2)为响应“足球进校园”的号召，学校计划再购买30个足球．恰逢另一超市对A、B两种品牌的足球进行降价促销，销售方案如表所示．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3000元．那么最多可购买多少个A品牌足球?
22．阅读与思考：
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
（1）请你完成证明过程．
已知：如图1，在“筝形”中，，．求证：．

（2）写出筝形的一个判定方法(定义除外)（文字语言叙述）．
（3）如图3，在中，，点D、E分别是边上的动点，当四边形为筝形时，的度数为________．

23．在学习完等腰三角形后，热爱研究的小明同学，把一个等腰直角三角形和一个等边三角形按如图所示的位置放置，，如图1，并连接，之后他提出了以下几个问题，请同学们思考并解答他提出的这几个问题.
(1)求的度数;
(2)若，求的面积;
(3)若点E为的中点，如图2，连接并延长交于点F，连接，求证:.
参考答案与解析
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意，
B．不是轴对称图形，不符合题意，
C．不是轴对称图形，不符合题意，
D．是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，完全平方公式和积的乘方．利用同底数幂的乘除法，完全平方公式和积的乘方法则分别计算．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系的应用，根据三角形三边之间的关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可解答．
【详解】解：∵三角形的两边长分别为和，
∴此三角形第三边长x的取值范围为，即，
观察四个选项，选项A，不能作为第三根木条的长度，符合题意．
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中角度的计算，先根据三角板中角度的特点求出，再根据三角形外角的性质即可得到．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故选C．
5．C
【分析】本题考查了多边形内角定理的运用．利用多边形内角和定理，即可求出八边形的内角和．
【详解】解：根据题意得，八边形的内角和是．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义．中，两锐角互余，求得；由内角和定理，得，由角平分线，得，，进而求得．
【详解】解：中，，
∴；
中，，
∵是角平分线，
∴，．
∴．
，
，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
7．A
【分析】图1阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形FGCH的面积，图2阴影部分的面积等于AH乘以AE，根据图1图2阴影部分的面积相等列等式．
【详解】解：由图1得：正方形ABCD的面积是，正方形FGCH的面积是，
∴阴影部分的面积是，
由图2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b，
∴长方形AHDE的面积即阴影部分的面积是(a+b)(a−b)，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的推导，解题的关键是数形结合用代数式分别表示出图1和图2中阴影部分面积．
8．A
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
9．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，、相交于点E，证明，据此求解即可．
【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，、相交于点E．
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标是，
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查格点作等腰三角形．根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解．
【详解】解：如图所示，为等腰三角形，，

①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点，
∴，，
∴点即为所求；
②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点，
∴，
∴点即为所求；
③当时，作线段的垂直平分线交格点于点，
∴，，则，符合题意，
，，则，符合题意，
∴点即为所求；
综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个，
故选：C．
11．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据0.000000028用科学记数法表示为，
故答案为：．
12．
【分析】根据分式有意义的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．
13．
【分析】先用提公因式法提出ab，再运用平方差公式分解，即可得到结果ab(a+1)(a-1)．
【详解】解：原式．
故答案为：ab(a+1)(a-1)．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的基本方法和要求是解题的关键．
14．6
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．先根据角平分线的判定与性质定理可得，再证明，推出，据此求解即可得．
【详解】解：由题中作图可知，平分，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴的周长为，
故答案为：6．
15．
【分析】由得出，由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得到，，进而得出，同理可得，，从而得出，即可得解．
【详解】解：，
，
是等边三角形，
，，
点，，在射线上，，
，
，
，
，，
，
同理可得：，
，
同理可得：，
…，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类变化规律、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，得出是解此题的关键．
16．①②④
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质．利用等腰三角形的性质推出，结合等边三角形的性质，再利用角的和差，即可证明；证明，利用证明；由，，可得是线段的垂直平分线；据此即可解题．
【详解】解：∵，
∴，
∵和为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；②正确；
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，①正确；
∵为等边三角形，
若，
∴，
而不一定是，故不一定成立，③错误；
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴G为的中点．④正确；
综上，正确的有①②④；
故答案为：①②④．
17．(1)
(2)，当时，原式（或当时，原式）
(3)
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的化简求值，解分式方程：
（1）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】（1）解：（1）
；
（2）解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式；当时，原式；
（3）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
18．(1)图见解析，，，；
(2)见解析，．
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案；
（2）作点点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，此时的值最小．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
，，；
（2）解：如图所示，点即为所求，．
．
19．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
（1）由平行线的性质得出，根据可证明；
（2）由全等三角形的性质可得出，由等腰三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）与的位置关系为．
证明：，
，
又平分，
．
20．
【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、利用完全平方公式的变形进行计算，由题意可得，，从而得出，求出，再由，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
两正方形的面积和为40，
，
，
，
．
21．(1)购买篮球的单价为90元，购买足球的单价为100元；
(2)最多可购买10个品牌足球．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设购买蓝球的单价为元，则购买足球的单价为元，根据数量总价单价，结合购买篮球的数量是购买排足数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可购买个品牌足球，则购买个品牌足球，根据总价单价数量，结合总价不超过3000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买蓝球的单价为元，则购买足球的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买篮球的单价为90元，购买足球的单价为100元；
（2）解：设可购买个品牌足球．则购买个品牌足球，
依题意得：，
解得：．
又是整数，
的最大值为10．
答：最多可购买10个品牌足球．
22．（1）见解析；（2）一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形；（3）
【分析】（1）首先连接，由，易证得，即可证得结论；
（2）由是的垂直平分线，可得，．继而证得结论；
（3）根据筝形的性质求得，，据此求解即可．
【详解】解：（1）证明：连接，

在和中，
，
，
；
（2）一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．
已知：如图，在四边形中，是的垂直平分线．
求证：四边形是筝形．

证明：是的垂直平分线，
，．
四边形是筝形．
（3）∵四边形为筝形，且，显然，
∴，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题属于四边形的综合题．属于新定义类题目，考查了轴对称图形的定义、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，角平分线的定义．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
23．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据是等腰直角三角形和是等边三角形得到，是等腰三角形，即可得到的度数;
（2）过点D作交的延长线于点E，则，根据30度角直角三角形的性质得到，根据三角形面积公式即可得到答案；
（3）在线段上取点G，使得，连接，证明四边形是菱形，垂直平分，证明，进一步证明，再证明，则，即可得到结论.
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，是等边三角形，
∴，，
∴，是等腰三角形，
∴；
（2）过点D作交的延长线于点E，则，
∴，
∵，
∴，
∴的面积；
（3）在线段上取点G，使得，连接，
∵是等腰三角形，点E为的中点，
∴，
∴四边形是菱形，垂直平分，
∴，，
∵是等腰直角三角形，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质、30度角直角三角形的性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键.
种类
标价
优惠方案
A品牌足球
150元/个
八折
B品牌足球
100元/个
九折
用全等三角形研究“筝形”
研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法．在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

根据学习几何图形的经验，我对如图1的筝形(，，)的性质和判定方法进行了探究．
（1）研究图形的性质，就是探究图形的构成元素(边、角、对角线)
具有怎样的特征．通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，我首先发现了这类“筝形”有一组对角相等，并进行了证明．
已知：如图1，在“筝形”中，，．
求证：．
证明：
我还发现了这类“筝形”的其他性质：
如图2，①垂直平分；②平分和；…

（2）继性质探究后，我又从边、角、对角线性质的逆命题等角度进行探究，得到“筝形”的判定方法有…