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湖北省知名中小学教联体联盟2023-2024学年九年级上学期期中质量检测数学试题
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这是一份湖北省知名中小学教联体联盟2023-2024学年九年级上学期期中质量检测数学试题，共23页。
A．﹣1，3B．1，1C．1，﹣3D．1，3
2．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．D．
4．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝1980B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980D．x（x+1）＝1980
5．将抛物线y＝x2﹣1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x+2）2+2
C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x﹣2）2+2
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．1B．C．D．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1≤y2
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＜0；
③M（﹣3，y1），N（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根．则；
⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共8小题，24分）
9．方程x2＝x的解是 ．
10．已知关于x的方程x2+nx﹣m＝0的两个根是0和﹣2，则m+n的值为 ．
11．点A（a﹣1，﹣6）与点B（﹣3，1﹣b）关于原点对称，则（a+b）2023的值为 ．
12．二次函数y＝﹣x2+6x+3的图象的顶点坐标为 ．
13．如图，△ABC中，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则旋转角为 °．
14．2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：s）的函数关系式为s＝54t﹣t2，则该飞机着陆后滑行 秒停止．
15．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2023A2023B2022的顶点A2023的坐标是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，72分）
17．解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
18．m为何值时，方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？
19．如图，抛物线y1的顶点坐标为（1，4），与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB的解析式为y2＝kx+b（k≠0）．
（1）求抛物线y1的解析式；
（2）当y1＞y2时，x的取值范围是 ；
（3）当x的取值范围是 时，y1和y2都随着x的增大而减小；
（4）当0≤x≤3时，y1的取值范围是 ；
（5）当y1＞0时，x的取值范围是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标为 ；
（2）直接写出△A1B1C1的面积为 ；
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，1），B2（﹣2，0），C2（﹣3，3），则旋转中心的坐标为 ．
21．学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边CD长为xm．如图，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成．
（1）AC＝ m；（用含x的代数式表示）
（2）当苗圃园的面积为60m2时，求x的值．
22．科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？
（2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
23．小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
（一）猜测探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ，NB与MC的数量关系是 ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转60°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B与y轴交于点C，且OC＝2，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在第四象限时，求△BCP的最大面积；
（2）当点P在第一象限，且∠PCB＝∠ABC时，求出点P的坐标．
2023年湖北省知名中小学教联体联盟九年级期中质量检测数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．将一元二次方程2x2+x＝3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣1，3B．1，1C．1，﹣3D．1，3
【分析】先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．
【解答】解：∵一元二次方程2x2+x＝3可得2x2+x﹣3＝0，
∴一次项系数和常数项分别为1，﹣3；
故选：C．
2．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
3．已知函数，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．D．
【分析】根据二次函数的性质，得到函数的对称轴以及函数的开口方向，即可得到函数的单调性．
【解答】解：∵
故函数开口向下，
对称轴为x＝﹣
故当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是x＜1．
故选：A．
4．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝1980B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980D．x（x+1）＝1980
【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x﹣1条消息，则发消息共有x（x﹣1）条．
【解答】解：设有x个好友，依题意，
x（x﹣1）＝1980，
故选：B．
5．将抛物线y＝x2﹣1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x+2）2+2
C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x﹣2）2+2
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣1+3，即y＝（x+2）2+2；
故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．1B．C．D．
【分析】由直角三角形的性质求出AC＝，∠B＝60°，由旋转的性质得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案
【解答】解：连接AA′，如图，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC＝BC＝，∠B＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵CB＝CB′，∠B＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
过点A作AD⊥A'C于点D，
∴CD＝AC＝，
∴AD＝CD＝＝，
∴点A到直线A'C的距离为，
故选：C．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1≤y2
【分析】根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到抛物线的解析式，化成顶点式得到抛物线的对称轴，根据对称性得到A的对称点，利用增减性即可得出答案．
【解答】解：根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），
代入得：且，
解得：a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2，
故选：B．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＜0；
③M（﹣3，y1），N（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根．则；
⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】①由抛物线的开口向上得a＞0，由抛物线的对称轴为x＝1得b＝﹣2a＜0，由抛物线与y轴交于负半轴得c＜0，据此可对结论①进行判断；
②由抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为（4，0）得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣2，0），进而得当x＝﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，再根据b＝﹣2a即可对结论②进行判断；
③根据抛物线与x轴交于点（﹣2，0），（4，0）得：点M（﹣3，y1）在x轴上方的抛物线上，点N（3，y2）在x轴下方的抛物线上，据此可对结论③进行判断；
④先由抛物线与x轴的一个交点为（4，0）得16a+4b+c＝0，再由b＝﹣2a得c＝﹣8a，由此得抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣8a，进而得顶点为（1，﹣9a），然后根据方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根得：抛物线y＝ax2+bx+c与函数y＝a﹣5没有交点，则﹣9a＞a﹣5，由此得出a的取值范围，进而可对结论④进行判断；
⑤先根据抛物线y＝ax2+bx+c最小值为a+b+c得：对于任意实数m，总有am2+bm+c≥a+b+c，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴，
∴b＝﹣2a＜0，
又∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故结论①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣2，0），
∴当x＝﹣1时，y＜0，
即：a﹣b+c＜0，
由①可知：b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，
即：3a+c＜0，
故结论②正确；
③由②可知：抛物线与x轴交于点（﹣2，0），（4，0），
∴点M（﹣3，y1）在x轴上方的抛物线上，点N（3，y2）在x轴下方的抛物线上，
∴y1＞0，y2＜0，
∴y1＞y2，
故结论③不正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∴16a+4b+c＝0，
由（1）可知：b＝﹣2a，
∴16a+4（﹣2a）+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣8a，
对于y＝ax2﹣2ax﹣8a，当x＝1时，y＝﹣9a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣9a），
即抛物线的最小值为﹣9a，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与函数y＝a﹣5没有交点，
∴﹣9a＞a﹣5，
解得：，
又∵a＞0，
∴，
故结论④正确；
⑤∵抛物线y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y有最小值，最小值为a+b+c，
∴对于任意实数m，总有am2+bm+c≥a+b+c，
∴总有am2+bm﹣a﹣b≥0，
故结论⑤正确．
综上所述：正确的结论有①②④⑤，共4个．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2＝x，
则x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1..
10．已知关于x的方程x2+nx﹣m＝0的两个根是0和﹣2，则m+n的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义，将两个根是0和﹣2代入关于x的方程x2+nx﹣m＝0中，可得到关于n、m的二元一次方程组，解之即可解答．
【解答】解：∵关于x的方程x2+nx﹣m＝0的两个根是0和﹣2，
∴，
解得：，
∴m+n＝2，
故答案为：2．
11．点A（a﹣1，﹣6）与点B（﹣3，1﹣b）关于原点对称，则（a+b）2023的值为 ﹣1 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答即可．
【解答】解：由题意，得a﹣1+（﹣3）＝0，﹣6+（1﹣b）＝0，
解得，a＝4，b＝﹣5，
∴（a+b）2023＝（4﹣5）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．二次函数y＝﹣x2+6x+3的图象的顶点坐标为 （3，12） ．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12，
∴二次函数图象的顶点坐标为（3，12），
故答案为：（3，12）．
13．如图，△ABC中，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则旋转角为 60 °．
【分析】利用旋转和平移的性质得出∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′的长以及∠B′A′C的度数．
【解答】解：∵∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴∠B′A′C＝60°，
∴旋转角的度数为60°．
故答案为：60．
14．2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：s）的函数关系式为s＝54t﹣t2，则该飞机着陆后滑行 18 秒停止．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
【解答】解：s＝54t﹣t2＝﹣（t﹣18）2+486，
∵﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝18时，s有最大值，
∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长，
∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒．
故答案为：18．
15．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2023A2023B2022的顶点A2023的坐标是 （4045，） ．
【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．
【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为：（1，），B1的坐标为：（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是：（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是：（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是：（7，﹣），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是：2n﹣1，A2n+1的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是：，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是：（4n+1，），
∴△B2022A2023B2023的顶点A2023的横坐标是：4×1011+1＝4045，纵坐标是：，
故答案为：（4045，）．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积的最大值为 16 ．
【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝8﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（8﹣x），由三角形面积公式得出S△APF＝×2×（8﹣x）•x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】提示，如图，过点P作PM⊥AD于点M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM．
设PM＝DM＝x，则AM＝8﹣x．
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝8﹣x，
∴AF＝2（8﹣x）．
∵S△APF＝AF•PM，
∴S△APF＝×2×（8﹣x）•x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，S△APF有最大值，且最大值为16．
故答案为：16．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+4x﹣5＝0，
∴（x+5）（x﹣1）＝0，
则x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1；
（2）∵3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
则x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝．
18．m为何值时，方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？
【分析】欲保证方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根，则必须保证Δ＞0，且两根之积小于零．欲比较方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0的正根与负根绝对值的大小，可以比较两根之和与零的关系．若两根之和大于零，则正根大于负根的绝对值，反之则负根的绝对值大于正根．
【解答】解：方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根的条件为：
x1•x2＝＜0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣1）×3＞0，
解得m＜1，
根据两根之和公式可得x1+x2＝，
又∵m＜1，
∴＜0，
即此时负根的绝对值大．
19．如图，抛物线y1的顶点坐标为（1，4），与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB的解析式为y2＝kx+b（k≠0）．
（1）求抛物线y1的解析式；
（2）当y1＞y2时，x的取值范围是 0＜x＜3 ；
（3）当x的取值范围是 x＞1 时，y1和y2都随着x的增大而减小；
（4）当0≤x≤3时，y1的取值范围是 0≤y1≤4 ；
（5）当y1＞0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，将点A（3，0），代入解析式即可求解；
（2）在中，令x＝0，解得y＝3，得出B（0，3），结合函数图象，即可求解；
（3）根据一次函数与二次函数的性质，结合函数图象即可求解；
（4）根据函数图象即可求解；
（5）由，令y＝0，求得抛物线与坐标轴的交点坐标，结合函数图象即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y1的顶点坐标为（1，4），
设抛物线解析式为
∵与x轴交于点A（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+4
解得：a＝﹣1，
∴
（2）在中，令x＝0，解得y＝3，
∴B（0，3），
结合函数图象可得，
当y1＞y2时，x的取值范围是0＜x＜3；
故答案为：0＜x＜3；
（3）∵，a＝﹣1＜0，对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y1随x的增大而减小，
将点A（3，0），B（0，3）代入y2＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴y2＝﹣x+b，y2随x的增大而减小，
∴当x＞1时，y1和y2都随着x的增大而减小；
故答案为：x＞1；
（4）根据函数图象可知：当0≤x≤3时，y1的取值范围是0≤y1≤4，
故答案为：0≤y1≤4；
（5）由，令y＝0，
即﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
根据函数图象可知，抛物线开口向下，
∴当y1＞0时，﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标为 （﹣1，﹣1） ；
（2）直接写出△A1B1C1的面积为 2 ；
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，1），B2（﹣2，0），C2（﹣3，3），则旋转中心的坐标为 （0，﹣1） ．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B的对应点B1的坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（2）△A1B1C1的面积＝2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝2．
故答案为：2；
（3）旋转中心Q的坐标为 （0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
21．学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边CD长为xm．如图，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成．
（1）AC＝ （17﹣x） m；（用含x的代数式表示）
（2）当苗圃园的面积为60m2时，求x的值．
【分析】（1）由矩形的性质即可得出答案；
（2）由矩形的面积公式，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵四边形ACDF是矩形，
∴AC＝DF，AF＝CD，
∴AC＝＝（17﹣x）（m），
故答案为：（17﹣x）；
（2）由题意得：（17﹣x）x＝60，
解得：x1＝5，x2＝12，
当x＝5时，x＜8，不合题意，舍去，
∴x＝12，
答：x的值为12．
22．科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？
（2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，解方程即可求解；
（2）根据题意列出不等式组，得出取值范围，再求利润即可．
【解答】解：（1）根据题意，有：W＝y×（x﹣10）＝（﹣10x+400）×（x﹣10），
化简得：W＝﹣10x2+500x﹣4000，
根据，
解得：10＜x≤40，
即函数关系为：W＝﹣10x2+500x﹣4000（x＞10），
令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，
解得：x＝15，或者x＝35，
当x＝15时，销量：y＝﹣10x+400＝250（件）；
当x＝35时，销量：y＝﹣10x+400＝50（件）；
销量越高，越有利于减少库存，
∴为了减少库存，将销售单价应定为15元；
（2）根据题意有：，
解得：28≤x≤35，
将W＝﹣10x2+500x﹣4000化为顶点式为：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＞25时，函数值随着x的增大而减小，
∵28≤x≤35，
∴当x＝28时，函数值最大，最大为：W＝﹣10（28﹣25）2+2250＝2160（元）．
答：此时W的最大值为2160元．
23．小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
（一）猜测探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ∠NAB＝∠MAC ，NB与MC的数量关系是 NB＝MC ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转60°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
【分析】（1）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，进而得出∠MAC＝∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论；
（2）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，进而得出∠MAC＝∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论；
（3）取A1C1的中点O，则C1O＝A1O＝A1C1，再判断出A1B1＝A1C1，进而得出C1O＝A1O＝A1B1＝4，再判断出∠B1A1C1＝∠QA1P，进而判断出△PA1O≌△QA1B1，得出OP＝B1Q，再判断出OP⊥B1C1时，OP最小，即可得出结论．
【解答】解：（1）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，
∴∠BAC﹣∠BAM＝∠NAM﹣∠BAM，
即：∠MAC＝∠NAB
∵AB＝AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC＝NB，
故答案为∠NAB＝∠MAC，MC＝NB；
（2）（1）中结论仍然成立，
理由：由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，
∴∠BAC﹣∠BAM＝∠NAM﹣∠BAM，
即：∠MAC＝∠NAB，
∵AB＝AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC＝NB；
（3）如图3，取A1C1的中点O，则C1O＝A1O＝A1C1，
在Rt△A1B1C1中，∠C1＝30°，
∴A1B1＝A1C1，∠B1A1C1＝90°﹣∠C1＝60°，
∴C1O＝A1O＝A1B1＝8，
由旋转知，A1P＝A1Q，∠QA1P＝60°，
∴∠B1A1C1＝∠QA1P，
∴∠PA1C1＝∠B1A1Q，
∴△PA1O≌△QA1B1（SAS），
∴OP＝B1Q，
要线段B1Q长度的最小，则线段OP长度最小，
而点O是定点，则OP⊥B1C1时，OP最小，
在Rt△OPC1中，∠C1＝30°，OC1＝8，
∴OP＝OC1＝4，
即：线段B1Q长度的最小值为4．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B与y轴交于点C，且OC＝2，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在第四象限时，求△BCP的最大面积；
（2）当点P在第一象限，且∠PCB＝∠ABC时，求出点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点P作PE⊥x轴交BC于点E，求出B（4，0），得到BC的解析式为，再由面积公式即可求解；
（3）证明CH＝BH，得到，求出直线CH解析式为，进而求解．
【解答】解：（1）∵OC＝2，
∴点C的坐标为（0，﹣2），
由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点P作PE⊥x轴交BC于点E，如图：
令y＝0，则，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入得：
解得，
∴BC的解析式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∵﹣1＜0，
∴当a＝2时，S△BCP取最大值，最大值为4；
（3）当点P在BC上方时，设CP交x轴于点H，如图：
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CH＝BH，
∵CH2＝OC2+OH2，
∴BH2＝CH2＝22+（4﹣BH）2，
解得：，
∴，
则点．
设直线CH解析式为y＝kx+b，
由点C、H的坐标得，直线CH解析式为，
联立解析式得，
解得：或，
∴点P在第一象限，
∴点P坐标为．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
A．﹣1，3B．1，1C．1，﹣3D．1，3
2．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．D．
4．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝1980B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980D．x（x+1）＝1980
5．将抛物线y＝x2﹣1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x+2）2+2
C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x﹣2）2+2
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．1B．C．D．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1≤y2
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＜0；
③M（﹣3，y1），N（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根．则；
⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共8小题，24分）
9．方程x2＝x的解是 ．
10．已知关于x的方程x2+nx﹣m＝0的两个根是0和﹣2，则m+n的值为 ．
11．点A（a﹣1，﹣6）与点B（﹣3，1﹣b）关于原点对称，则（a+b）2023的值为 ．
12．二次函数y＝﹣x2+6x+3的图象的顶点坐标为 ．
13．如图，△ABC中，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则旋转角为 °．
14．2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：s）的函数关系式为s＝54t﹣t2，则该飞机着陆后滑行 秒停止．
15．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2023A2023B2022的顶点A2023的坐标是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，72分）
17．解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
18．m为何值时，方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？
19．如图，抛物线y1的顶点坐标为（1，4），与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB的解析式为y2＝kx+b（k≠0）．
（1）求抛物线y1的解析式；
（2）当y1＞y2时，x的取值范围是 ；
（3）当x的取值范围是 时，y1和y2都随着x的增大而减小；
（4）当0≤x≤3时，y1的取值范围是 ；
（5）当y1＞0时，x的取值范围是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标为 ；
（2）直接写出△A1B1C1的面积为 ；
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，1），B2（﹣2，0），C2（﹣3，3），则旋转中心的坐标为 ．
21．学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边CD长为xm．如图，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成．
（1）AC＝ m；（用含x的代数式表示）
（2）当苗圃园的面积为60m2时，求x的值．
22．科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？
（2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
23．小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
（一）猜测探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ，NB与MC的数量关系是 ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转60°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B与y轴交于点C，且OC＝2，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在第四象限时，求△BCP的最大面积；
（2）当点P在第一象限，且∠PCB＝∠ABC时，求出点P的坐标．
2023年湖北省知名中小学教联体联盟九年级期中质量检测数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．将一元二次方程2x2+x＝3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．﹣1，3B．1，1C．1，﹣3D．1，3
【分析】先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．
【解答】解：∵一元二次方程2x2+x＝3可得2x2+x﹣3＝0，
∴一次项系数和常数项分别为1，﹣3；
故选：C．
2．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
3．已知函数，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．D．
【分析】根据二次函数的性质，得到函数的对称轴以及函数的开口方向，即可得到函数的单调性．
【解答】解：∵
故函数开口向下，
对称轴为x＝﹣
故当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是x＜1．
故选：A．
4．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝1980B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980D．x（x+1）＝1980
【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x﹣1条消息，则发消息共有x（x﹣1）条．
【解答】解：设有x个好友，依题意，
x（x﹣1）＝1980，
故选：B．
5．将抛物线y＝x2﹣1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x+2）2+2
C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x﹣2）2+2
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣1+3，即y＝（x+2）2+2；
故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．1B．C．D．
【分析】由直角三角形的性质求出AC＝，∠B＝60°，由旋转的性质得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案
【解答】解：连接AA′，如图，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC＝BC＝，∠B＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵CB＝CB′，∠B＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
过点A作AD⊥A'C于点D，
∴CD＝AC＝，
∴AD＝CD＝＝，
∴点A到直线A'C的距离为，
故选：C．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1≤y2
【分析】根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到抛物线的解析式，化成顶点式得到抛物线的对称轴，根据对称性得到A的对称点，利用增减性即可得出答案．
【解答】解：根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），
代入得：且，
解得：a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2，
故选：B．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＜0；
③M（﹣3，y1），N（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根．则；
⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】①由抛物线的开口向上得a＞0，由抛物线的对称轴为x＝1得b＝﹣2a＜0，由抛物线与y轴交于负半轴得c＜0，据此可对结论①进行判断；
②由抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为（4，0）得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣2，0），进而得当x＝﹣1时，y＜0，则a﹣b+c＜0，再根据b＝﹣2a即可对结论②进行判断；
③根据抛物线与x轴交于点（﹣2，0），（4，0）得：点M（﹣3，y1）在x轴上方的抛物线上，点N（3，y2）在x轴下方的抛物线上，据此可对结论③进行判断；
④先由抛物线与x轴的一个交点为（4，0）得16a+4b+c＝0，再由b＝﹣2a得c＝﹣8a，由此得抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣8a，进而得顶点为（1，﹣9a），然后根据方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根得：抛物线y＝ax2+bx+c与函数y＝a﹣5没有交点，则﹣9a＞a﹣5，由此得出a的取值范围，进而可对结论④进行判断；
⑤先根据抛物线y＝ax2+bx+c最小值为a+b+c得：对于任意实数m，总有am2+bm+c≥a+b+c，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴，
∴b＝﹣2a＜0，
又∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故结论①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（﹣2，0），
∴当x＝﹣1时，y＜0，
即：a﹣b+c＜0，
由①可知：b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，
即：3a+c＜0，
故结论②正确；
③由②可知：抛物线与x轴交于点（﹣2，0），（4，0），
∴点M（﹣3，y1）在x轴上方的抛物线上，点N（3，y2）在x轴下方的抛物线上，
∴y1＞0，y2＜0，
∴y1＞y2，
故结论③不正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∴16a+4b+c＝0，
由（1）可知：b＝﹣2a，
∴16a+4（﹣2a）+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣8a，
对于y＝ax2﹣2ax﹣8a，当x＝1时，y＝﹣9a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣9a），
即抛物线的最小值为﹣9a，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与函数y＝a﹣5没有交点，
∴﹣9a＞a﹣5，
解得：，
又∵a＞0，
∴，
故结论④正确；
⑤∵抛物线y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y有最小值，最小值为a+b+c，
∴对于任意实数m，总有am2+bm+c≥a+b+c，
∴总有am2+bm﹣a﹣b≥0，
故结论⑤正确．
综上所述：正确的结论有①②④⑤，共4个．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2＝x，
则x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1..
10．已知关于x的方程x2+nx﹣m＝0的两个根是0和﹣2，则m+n的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义，将两个根是0和﹣2代入关于x的方程x2+nx﹣m＝0中，可得到关于n、m的二元一次方程组，解之即可解答．
【解答】解：∵关于x的方程x2+nx﹣m＝0的两个根是0和﹣2，
∴，
解得：，
∴m+n＝2，
故答案为：2．
11．点A（a﹣1，﹣6）与点B（﹣3，1﹣b）关于原点对称，则（a+b）2023的值为 ﹣1 ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答即可．
【解答】解：由题意，得a﹣1+（﹣3）＝0，﹣6+（1﹣b）＝0，
解得，a＝4，b＝﹣5，
∴（a+b）2023＝（4﹣5）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．二次函数y＝﹣x2+6x+3的图象的顶点坐标为 （3，12） ．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12，
∴二次函数图象的顶点坐标为（3，12），
故答案为：（3，12）．
13．如图，△ABC中，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则旋转角为 60 °．
【分析】利用旋转和平移的性质得出∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′的长以及∠B′A′C的度数．
【解答】解：∵∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴∠B′A′C＝60°，
∴旋转角的度数为60°．
故答案为：60．
14．2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：s）的函数关系式为s＝54t﹣t2，则该飞机着陆后滑行 18 秒停止．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
【解答】解：s＝54t﹣t2＝﹣（t﹣18）2+486，
∵﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝18时，s有最大值，
∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长，
∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒．
故答案为：18．
15．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2023A2023B2022的顶点A2023的坐标是 （4045，） ．
【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．
【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为：（1，），B1的坐标为：（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是：（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是：（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是：（7，﹣），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是：2n﹣1，A2n+1的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是：，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是：（4n+1，），
∴△B2022A2023B2023的顶点A2023的横坐标是：4×1011+1＝4045，纵坐标是：，
故答案为：（4045，）．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积的最大值为 16 ．
【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝8﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（8﹣x），由三角形面积公式得出S△APF＝×2×（8﹣x）•x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】提示，如图，过点P作PM⊥AD于点M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM．
设PM＝DM＝x，则AM＝8﹣x．
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝8﹣x，
∴AF＝2（8﹣x）．
∵S△APF＝AF•PM，
∴S△APF＝×2×（8﹣x）•x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，S△APF有最大值，且最大值为16．
故答案为：16．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+4x﹣5＝0，
∴（x+5）（x﹣1）＝0，
则x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1；
（2）∵3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
则x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝．
18．m为何值时，方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？
【分析】欲保证方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根，则必须保证Δ＞0，且两根之积小于零．欲比较方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0的正根与负根绝对值的大小，可以比较两根之和与零的关系．若两根之和大于零，则正根大于负根的绝对值，反之则负根的绝对值大于正根．
【解答】解：方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根的条件为：
x1•x2＝＜0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣1）×3＞0，
解得m＜1，
根据两根之和公式可得x1+x2＝，
又∵m＜1，
∴＜0，
即此时负根的绝对值大．
19．如图，抛物线y1的顶点坐标为（1，4），与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB的解析式为y2＝kx+b（k≠0）．
（1）求抛物线y1的解析式；
（2）当y1＞y2时，x的取值范围是 0＜x＜3 ；
（3）当x的取值范围是 x＞1 时，y1和y2都随着x的增大而减小；
（4）当0≤x≤3时，y1的取值范围是 0≤y1≤4 ；
（5）当y1＞0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，将点A（3，0），代入解析式即可求解；
（2）在中，令x＝0，解得y＝3，得出B（0，3），结合函数图象，即可求解；
（3）根据一次函数与二次函数的性质，结合函数图象即可求解；
（4）根据函数图象即可求解；
（5）由，令y＝0，求得抛物线与坐标轴的交点坐标，结合函数图象即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y1的顶点坐标为（1，4），
设抛物线解析式为
∵与x轴交于点A（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+4
解得：a＝﹣1，
∴
（2）在中，令x＝0，解得y＝3，
∴B（0，3），
结合函数图象可得，
当y1＞y2时，x的取值范围是0＜x＜3；
故答案为：0＜x＜3；
（3）∵，a＝﹣1＜0，对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y1随x的增大而减小，
将点A（3，0），B（0，3）代入y2＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴y2＝﹣x+b，y2随x的增大而减小，
∴当x＞1时，y1和y2都随着x的增大而减小；
故答案为：x＞1；
（4）根据函数图象可知：当0≤x≤3时，y1的取值范围是0≤y1≤4，
故答案为：0≤y1≤4；
（5）由，令y＝0，
即﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
根据函数图象可知，抛物线开口向下，
∴当y1＞0时，﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标为 （﹣1，﹣1） ；
（2）直接写出△A1B1C1的面积为 2 ；
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，1），B2（﹣2，0），C2（﹣3，3），则旋转中心的坐标为 （0，﹣1） ．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B的对应点B1的坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（2）△A1B1C1的面积＝2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝2．
故答案为：2；
（3）旋转中心Q的坐标为 （0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
21．学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边CD长为xm．如图，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成．
（1）AC＝ （17﹣x） m；（用含x的代数式表示）
（2）当苗圃园的面积为60m2时，求x的值．
【分析】（1）由矩形的性质即可得出答案；
（2）由矩形的面积公式，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵四边形ACDF是矩形，
∴AC＝DF，AF＝CD，
∴AC＝＝（17﹣x）（m），
故答案为：（17﹣x）；
（2）由题意得：（17﹣x）x＝60，
解得：x1＝5，x2＝12，
当x＝5时，x＜8，不合题意，舍去，
∴x＝12，
答：x的值为12．
22．科技发展飞速，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）该商家每天想获得1250元的利润，又要让利于顾客，应将销售单价定为多少元？
（2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，解方程即可求解；
（2）根据题意列出不等式组，得出取值范围，再求利润即可．
【解答】解：（1）根据题意，有：W＝y×（x﹣10）＝（﹣10x+400）×（x﹣10），
化简得：W＝﹣10x2+500x﹣4000，
根据，
解得：10＜x≤40，
即函数关系为：W＝﹣10x2+500x﹣4000（x＞10），
令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，
解得：x＝15，或者x＝35，
当x＝15时，销量：y＝﹣10x+400＝250（件）；
当x＝35时，销量：y＝﹣10x+400＝50（件）；
销量越高，越有利于减少库存，
∴为了减少库存，将销售单价应定为15元；
（2）根据题意有：，
解得：28≤x≤35，
将W＝﹣10x2+500x﹣4000化为顶点式为：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＞25时，函数值随着x的增大而减小，
∵28≤x≤35，
∴当x＝28时，函数值最大，最大为：W＝﹣10（28﹣25）2+2250＝2160（元）．
答：此时W的最大值为2160元．
23．小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
（一）猜测探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ∠NAB＝∠MAC ，NB与MC的数量关系是 NB＝MC ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转60°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
【分析】（1）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，进而得出∠MAC＝∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论；
（2）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，进而得出∠MAC＝∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论；
（3）取A1C1的中点O，则C1O＝A1O＝A1C1，再判断出A1B1＝A1C1，进而得出C1O＝A1O＝A1B1＝4，再判断出∠B1A1C1＝∠QA1P，进而判断出△PA1O≌△QA1B1，得出OP＝B1Q，再判断出OP⊥B1C1时，OP最小，即可得出结论．
【解答】解：（1）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，
∴∠BAC﹣∠BAM＝∠NAM﹣∠BAM，
即：∠MAC＝∠NAB
∵AB＝AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC＝NB，
故答案为∠NAB＝∠MAC，MC＝NB；
（2）（1）中结论仍然成立，
理由：由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，
∴∠BAC﹣∠BAM＝∠NAM﹣∠BAM，
即：∠MAC＝∠NAB，
∵AB＝AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC＝NB；
（3）如图3，取A1C1的中点O，则C1O＝A1O＝A1C1，
在Rt△A1B1C1中，∠C1＝30°，
∴A1B1＝A1C1，∠B1A1C1＝90°﹣∠C1＝60°，
∴C1O＝A1O＝A1B1＝8，
由旋转知，A1P＝A1Q，∠QA1P＝60°，
∴∠B1A1C1＝∠QA1P，
∴∠PA1C1＝∠B1A1Q，
∴△PA1O≌△QA1B1（SAS），
∴OP＝B1Q，
要线段B1Q长度的最小，则线段OP长度最小，
而点O是定点，则OP⊥B1C1时，OP最小，
在Rt△OPC1中，∠C1＝30°，OC1＝8，
∴OP＝OC1＝4，
即：线段B1Q长度的最小值为4．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B与y轴交于点C，且OC＝2，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在第四象限时，求△BCP的最大面积；
（2）当点P在第一象限，且∠PCB＝∠ABC时，求出点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点P作PE⊥x轴交BC于点E，求出B（4，0），得到BC的解析式为，再由面积公式即可求解；
（3）证明CH＝BH，得到，求出直线CH解析式为，进而求解．
【解答】解：（1）∵OC＝2，
∴点C的坐标为（0，﹣2），
由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点P作PE⊥x轴交BC于点E，如图：
令y＝0，则，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入得：
解得，
∴BC的解析式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∵﹣1＜0，
∴当a＝2时，S△BCP取最大值，最大值为4；
（3）当点P在BC上方时，设CP交x轴于点H，如图：
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CH＝BH，
∵CH2＝OC2+OH2，
∴BH2＝CH2＝22+（4﹣BH）2，
解得：，
∴，
则点．
设直线CH解析式为y＝kx+b，
由点C、H的坐标得，直线CH解析式为，
联立解析式得，
解得：或，
∴点P在第一象限，
∴点P坐标为．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
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