专题17 相交线与平行线（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题17 相交线与平行线（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共50页。试卷主要包含了相交线，平行线，命题，平移等内容，欢迎下载使用。

夯实基础
一、相交线
1．邻补角
（1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（2）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．
2．对顶角
（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
3．垂线与垂线段
（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．符号：如AB⊥CD．
（2）垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在夹角为90°．垂线是一条直线，不可度量长度．
（3）线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直，因此，垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上．
（4）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（基本事实）．“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外．
（5）垂线的画法
一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
（6）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
（7）点到直线的距离的定义
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
4．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角
定义：两个角分别在两条被截线同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．
位置特征：在截线同侧，在两条被截线同一方，形如字母“F” ．
（2）内错角
定义：两个角都在两条被截线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．
位置特征：在截线两侧，在两条被截线之间，形如字母“Z” ．
（3）同旁内角
定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
位置特征：在截线同侧，在两条被截线之间，形如字母“U”．
二、平行线
1．平行线的定义和画法
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b，读作a平行于b．
（2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线．
（3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可．
（4）平行线的画法
一落：把三角尺一边落在已知直线上；
二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四画：沿三角尺过已知点的边画直线．
2．平行线的基本事实及其推论
（1）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
3．平行线的判定
（1）判定方法1
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3）判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
4．平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠2，示意图如图：
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，示意图如图：
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°．示意图如图：
三、命题、定理、证明
1．命题
（1）定义：判断一件事情的语句，叫做命题，如：对顶角相等．
（2）组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
（3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．
（4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题．
2．定理与证明
（1）定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据．
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
四、平移
1．平移的定义
（1）定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移．
（2）要素：一是平移的方向，二是平移的距离．
2．平移的性质
性质：平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同，即平移前后的两个图形的对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等；连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等．
【注意】（1）连接对应点的线段的长度就是平移的距离．
（2）从原图形上一点到其对应点的方向即为平移的方向．
吃透考点
一、相交线
二、平行线
考点1 相交线
【例1】（2023•衡水二模）如图，若线段与线段有一个公共点，则点可以是
A．点B．点C．点D．点
【答案】
【分析】把与各点的连线段画出来即可得到答案．
【解答】解：如图，
若线段与线段有一个公共点，则点可以是，
故选：．
【变式练1】（2020•颍州区一模）在平面中，如图，两条直线最多只有1个交点，三条直线最多有3个交点若条直线最多有55个交点，则的值为
A．9B．10C．11D．12
【分析】从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．
【解答】解：2条直线相交最多有1个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
所以条直线相交最多有个交点；
，
解得，（舍去），
则值为11．
故选：．
【变式练2】（2022秋•仁寿县校级期末）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点．
【答案】28．
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，条直线两两相交，则有个交点，代入即可求解．
【解答】解：由已知总结出在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，
条直线两两相交，交点的个数最多为．
故答案为：28．
【变式练3】（2018•武汉模拟）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，，如果条直线最多有28个交点，那么的值为
A．5B．6C．7D．8
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；由此得出：在同一平面内，条直线两两相交，则有有个交点，代入即可求解．
【解答】解：两条直线相交，最多有1个交点，
三条直线相交，最多有个交点，
四条直线相交，最多有个交点．
条直线相交，最多有个交点，
，
解得不合题意，舍去）．
故选：．
【变式练4】（2012•集美区一模）如图，2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有 个交点，，条直线两两相交最多能有 个交点（用含有的代数式表示）
【分析】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：．
【解答】解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有个交点；
4条直线相交有个交点；
5条直线相交有个交点；
6条直线相交有个交点；
条直线相交有个交点．
故答案为：10；．
【变式练5】（2011•硚口区模拟）已知，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；依此规律，当共有交点个数为27时，则的值为
A．6B．7C．8D．9
【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的关系式，然后根据交点个数为27，列出关于的方程，解方程求出的值即可．
【解答】解：当时，每增加一条直线，交点的个数就增加．即：
当时，共有2个交点；
当时，共有个交点；
当时，共有个交点；
，
条直线共有交点个．
解方程，得或（负值舍去）．
故选：．
考点2 对顶角、邻补角
【例2】（2023•海淀区校级三模）如图，和相交于点，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由对顶角的性质，三角形外角的性质，即可判断．
【解答】解：、与不一定相等，故不符合题意；
、，不一定等于，故不符合题意；
、对顶角相等，因此，故符合题意；
、，故不符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•清镇市模拟）如图，直线，相交于点，若，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：和是对顶角，
，
，
，
故选：．
【变式练2】（2023•楚雄市二模）如图，直线，交于点．射线平分，若，则等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据对顶角相等，，利用角平分线的性质求出，再根据邻补角求出，利用角的和，即可解答．
【解答】解：根据对顶角相等，得：，
射线平分，
，
，
，
故选：．
【变式练3】（2023•新城区校级模拟）如图是一把剪刀，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据对顶角相等得到的度数，再根据邻补角性质可得答案．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【变式练4】（2023•朝阳区一模）如图，直线，相交于点，若，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由对顶角的性质得到 度数，而，即可求出的度数．
【解答】解：，，
．
故选：．
【变式练5】（2023•铜仁市三模）如图，直线，相交，，则
A．B．C．D．
【分析】利用邻补角互补可得和的度数，进而可得答案．
【解答】解：，
，
，
故选：．
考点3 垂线
【例3】（2023•商洛一模）如图，直线，相交于点，于点，，则的度数
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用补角、余角的定义计算即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•新乡二模）如图，直线、相交于点，，，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据垂直关系和补角即可求解．
【解答】解：作直线的反向延长线．
，且，
．
又，，，
．
．
故选：．
【变式练2】（2023•项城市一模）如图，点在直线上，，若，则的大小为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后利用平角定义，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
【变式练3】（2023•郸城县模拟）如图，直线、相交于点．过点作，若，则的大小为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据，，得，根据对顶角相等得，根据，得，所以．
【解答】解：，，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式练4】（2023•榆阳区校级一模）如图，直线、相交于点，过作，且平分，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先根据垂直的定义得：，由角平分线的定义得，最后根据邻补角的定义可得结论．
【解答】解：，
，
平分，
，
．
故选：．
【变式练5】（2023•高新区校级三模）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据垂直定义可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
考点4 垂线段最短
【例4】（2023•长春模拟）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．两钉子固定木条
D．弯曲河道改直
【答案】
【分析】根据直线的性质，线段的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项合题意．
、木板弹出一条墨迹是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•青秀区校级模拟）如图，有三个快递员都从位于点的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路旁的三个快递点、、、结果送到快递点的快递员先到．理由是
A．垂线段最短B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．经过一点有无数条直线
【答案】
【分析】根据题意可直接进行求解．
【解答】解：由题意可知送到快递点的快递员先到的理由是：垂线段最短；
故选：．
【变式练2】（2023•邯郸模拟）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，故符合题意；
、、可以用“两点确定一条直线”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故、 不符合题意；
、可以用“两点之间线段最短”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故不符合题意．
故选：．
【变式练3】（2023•白云区二模）如图，点是直线外一点，且，点是垂足，点，，在直线上，下列线段中最短的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：点是直线外一点，且，点是垂足，点，，在直线上，最短的线段是．
故选：．
【变式练4】（2023•杭州二模）如图，，，点是射线上的动点，则线段的长度不可能是
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【分析】根据，得，因为，所以点到的距离是3，根据垂线段最短，即可选出答案．
【解答】解：，
，
，
点到的距离是3，
点是射线上的动点，则线段的长度不可能是2．
故选：．
【变式练5】（2023•玉屏县模拟）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有、、、四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在
A．点处B．点处C．点处D．点处
【答案】
【分析】根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：建在点处，根据垂线段最短，
故选：．
考点5 点到直线的距离
【例5】（2023•萧山区模拟）如图，点是直线外一点，，，，在直线上，且，其中，则点到直线的距离可能是
A．3.2B．3.5C．4D．4.5
【答案】
【分析】根据垂线段最短解决此题．
【解答】解：根据垂线段最短，．
，
符合要求．
故选：．
【变式练1】（2023•任丘市模拟）如图所示，，，，，点到直线的距离可能是
A．5B．3C．2D．4.5
【答案】
【分析】根据直线外一点到直线的距离即为垂线段的长度和垂线段最短的性质进行求解．
【解答】解：因为垂线段最短，
所以点到直线的距离为不大于2，
故选：．
【变式练2】（2023•新化县三模）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，则点到的距离为
A．B．3C．D．
【答案】
【分析】过点作于点，再用三角函数定义，求出，即可得出答案．
【解答】解：过点作于点，如图所示：
，
在中，，
点到的距离为．
故选：．
【变式练3】（2023•上城区一模）如图，点为直线外一点，，垂足为点，点到直线的距离是线段 的长度．
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
【解答】解：，垂足为点，点到直线的距离是线段的长度．
故选：．
【变式练4】（2023•唐山一模）如图，点到直线的距离是
A．线段的长度B．线段的长度C．线段的长度D．线段的长度
【答案】
【分析】根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离判断即可．
【解答】解：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，
点到直线的距离是线段的长度，
故选：．
【变式练5】（2022•天心区二模）如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是
A．11B．C．D．8
【答案】
【分析】根据三角形的面积得出的面积为88，再利用中线的性质得出的面积为88，进而解答即可．
【解答】解：，，
的面积为：，
是的中线，
的面积为88，
点到的距离是．
故选：．
考点6 同位角、内错角、同旁内角
【例6】（2023•韶关一模）如图，和是同位角的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．据此对各选项进行分析即可得出结果．
【解答】解：根据同位角的定义，观察上图可知，
、和是同位角，故此选项符合题意；
、和不是同位角，故此选项不符合题意；
、和不是同位角，故此选项不符合题意；
、和不是同位角，故此选项不合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•广东模拟）如图，和是同位角的是
A．B．C．D．
【分析】根据同位角定义可得答案．
【解答】解：、和不是同位角，故此选项不符合题意；
、和不是同位角，故此选项不合题意；
、和是同位角，故此选项合题意；
、和不是同位角，故此选项不合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•蓬江区校级三模）如图，分别将木条，与木条钉在一起，与构成内错角的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据内错角的定义（在被截线之间，截线两侧的两个角互为内错角）解决此题．
【解答】解：根据内错角的定义，与构成内错角的是．
故选：．
【变式练3】（2023•岳麓区校级模拟）如图，的内错角是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据内错角的定义判断即可．
【解答】解：的内错角是．
故选：．
【变式练4】（2022•石家庄模拟）如图，李强和同事驾驶快艇执行巡逻任务，他们从岛屿处向正南方向航行到处时，向右转航行到处，再向左转继续航行，此时快艇的航行方向为
A．南偏东B．南偏东C．南偏西D．南偏西
【答案】
【分析】根据平行线的性质，可得的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：过点作，如图：
，，
．
，
，
此时快艇的航行方向为南偏东，
故选：．
【变式练5】（2022•唐山一模）如图，与互为内错角的
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据内错角的定义结合具体的图形进行判断即可．
【解答】解：与互为内错角的，
故选：．
考点7 平行线
【例7】（2016•黄浦区三模）在长方体中，与面平行的棱共有
A．1条B．2条C．3条D．4条
【分析】由于面与面平行，所以构成面的四条棱都与面平行．
【解答】解：面与面平行；
、、、四条棱与面平行．
故选：．
【变式练1】（2011•湛江模拟）在如图的几何体中，上下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有
A．1条B．2条C．3条D．4条
【分析】根据几何体的性质，与同方向的棱都与线段平行，找出即可．
【解答】解：如图，与平行的线段有：、、共3条．
故选：．
【变式练2】（2010•静安区二模）如图，在长方体中，与平面和平面都平行的棱为 ．
【分析】根据长方体的结构特征，结合平行线的定义作答．
【解答】解：观察图形可得，与平面和平面都平行的棱为．
【变式练3】（2010•安县校级模拟）在同一平面内，两条直线可能的位置关系是
A．平行B．相交
C．平行或相交D．平行、相交或垂直
【答案】
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交．
【解答】解：根据在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交．可知、都不完整，故错误，而选项中，垂直是相交的一种特殊情况，故选：．
【变式练4】（2012•上海模拟）已知长方体如图所示，那么下列直线中与直线不平行也不垂直的直线是
A．B．C．D．
【分析】根据长方体的棱要么互相平行，要么互相垂直，结合选项找出不是长方体的棱所在的直线的直线即可．
【解答】解：、是长方体的棱，与互相垂直，故本选项错误；
、是长方体的棱，与互相平行，故本选项错误；
、不是长方体的棱，与不平行也不垂直，故本选项正确；
、是长方体的棱，与互相平行，故本选项错误．
故选：．
【变式练5】（2020•西湖区校级模拟）在同一平面内，两条直线的位置关系是
A．平行或垂直B．平行或相交
C．垂直或相交D．平行、垂直或相交
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，平行或相交．
【解答】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，
故选：．
考点8 平行公理及推论
【例8】（2021•寻乌县模拟）下面推理正确的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案．
【解答】解：、、都和平行，应该推出的是，而非，故错误；
、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误；
、、都和平行，可推出是，故正确；
、、与不同的直线平行，无法推出两者也平行．
故选：．
【变式练1】（2020•天心区校级模拟）下列说法错误的是
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．过任意一点，都能画一条直线与已知直线平行
【分析】根据对顶角、线段的性质、补角和平行线的概念判断即可．
【解答】解：、对顶角相等，正确；
、两点之间所有连线中，线段最短，正确；
、等角的补角相等，正确；
、过直线外一点，都能画一条直线与已知直线平行，错误；
故选：．
【变式练2】（2016•安徽模拟）三条直线、、，若，，则与的位置关系是
A．B．C．或D．无法确定
【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行分析，得出正确答案．
【解答】解：由于直线、都与直线平行，依据平行公理的推论，可推出．
故选：．
【变式练3】（2010•萧山区校级模拟）有以下3个说法：①垂线相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误说法的个数是
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据垂线的性质和平行公理进行判断．
【解答】解：（1）应该说“夹在两平行线间的垂线段相等”才对；
（2）只有说“在平面内”，才可以说：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）只有说：“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”才对．
故选：．
【变式练4】（2018•邵阳模拟）在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解．
【解答】解：①过两点有且只有一条直线，正确；
②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故本小题错误；
③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该说法正确；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，
综上所述，正确的有①③④共3个．
故选：．
【变式练5】（2010•苏州模拟）在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ．
【分析】根据平行线的性质进行解答即可．
【解答】解：如图所示：
同一平面内，已知直线、、，且，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
考点9 平行线的判定
【例9】（2023•赛罕区二模）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：、可判断，故此选项错误；
、可判断，故此选项错误；
、可判断，故此选项错误；
、可判断，故此选项正确；
故选：．
【变式练1】（2023•沙坪坝区校级三模）如图，可以得到的条件是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得可以证明．
【解答】解：，
（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：．
【变式练2】（2023•长岭县模拟）如图，在下列条件中，能够证明的条件是
A．B．
C．D．
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
【解答】解：、，则，故选项错误；
、，则，故选项错误；
、，即，
，故选项错误；
、正确．
故选：．
【变式练3】（2023•云梦县校级三模）如图，下列条件中，能推出的条件
A．B．
C．D．
【分析】根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：、，
，故本选项错误；
、，
，故本选项正确；
、，
，故本选项错误；
、，
，故本选项错误．
故选：．
【变式练4】（2023•唐河县三模）如图，下列条件中，不能判定的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；进行判断即可．
【解答】解：根据，可得；
根据，可得；
根据，可得；
根据，可得．
故选：．
【变式练5】（2023•宿迁一模）如图，直线、被直线所截，下列条件不能判定直线与平行的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：如图，
，
，
故不符合题意；
，，
，
，
故不符合题意；
由，不能推出，
故符合题意；
，，
，
，
故不符合题意．
故选：．
考点10 平行线的性质
【例10】（2023•新乡三模）将一副三角尺按如图所示方式摆放，若它们的斜边平行，则的大小为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由平行线的性质可得，从而可求的度数．
【解答】解：如图，
，，
，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•襄州区模拟）如图，直线，直线，被直线所截，若，则的大小为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先由两直线平行，内错角相等可得的度数，再由邻补角定义可得结果．
【解答】解：如图：
直线，
，
，
．
故选．
【变式练2】（2023•开封一模）如图，已知，若，，则为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平行线的性质可得，结合三角形外角的性质可得的度数．
【解答】解：，
，
又，，
，
故选：．
【变式练3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，，，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由平行线的性质可得，由垂直可得，从而可求的度数．
【解答】解：，，
，
，
，
．
故选：．
【变式练4】（2023•沂水县二模）如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过作，得到，推出，即可求出，得到，由平行线的性质得到．
【解答】解：过作，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式练5】（2023•碑林区校级一模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：，
，
，
故选：．
考点11 平行线的判定与性质
【例11】（2023•永善县三模）如图，下列判断中正确的是
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【分析】依据平行线的判定方法对各选项进行分析，即可得到正确结论．
【解答】解：．如果，那么不能得到；．如果，那么不能得到；
．如果，那么不能得到；
．如果，那么，故选项正确；
故选：．
【变式练1】（2023•栾川县二模）如图，已知直线，，，那么的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】因为，，所以，所以，又因为，故．
【解答】解：，，
，
，
又，
．
故选：．
【变式练2】（2023•镇平县模拟）如图，直线分别与直线、相交于点、，平分交直线于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用角平分线的性质先求出，再利用平行线的判定和性质得到的度数．
【解答】解：，
．
．
平分，
．
．
故选：．
【变式练3】（2023•鞍山一模）如图所示，，若，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平行线的判定可得，再利用平行线的性质可求解．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
【变式练4】（2023•梅县区一模）若直线、、、在同一平面内，且，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平行线的判定方法解答即可．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【变式练5】（2023•临汾模拟）一副三角板如图所示放置，得到和，其中，，，与相交于点，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由题意可判定，再由平行线的性质即可求解．
【解答】解：，
，
．
故选：．
考点12 平行线之间的距离
【例12】（2023•开发区二模）如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】
【分析】根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等即可得出答案．
【解答】解：表示这两条平行线间距离的线段有无数条，
故选：．
【变式练1】（2023•承德一模）在同一平面内到直线的距离等于2的直线有
A．1条B．2条C．4条D．无数条
【答案】
【分析】根据平行线间的距离相等，直线上方与下方各有一条直线与已知直线平行，即可求解．
【解答】解：同一平面内到直线的距离等于2的直线有2条，
故选：．
【变式练2】（2023•东台市校级模拟）如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 ．
【答案】．
【分析】延长交于点，根据，可得，所以定边定角隐圆，过点，作垂直，，垂足分别为，，距离最大就是最大，也就是最大，根据相似求出，，即可得．
【解答】解：如图，延长交于点，
，，，
，
，
，
定边定角隐圆，过点，作垂直，，垂足分别为，，
距离最大就是最大，也就是最大，
所以此时，
，
．
故答案为：．
【变式练3】（2022•西湖区校级模拟）已知直线，如图，下列哪条线段的长可以表示直线与之间的距离
A．只有B．只有C．和均可D．和均可
【答案】
【分析】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．
【解答】解：从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，
线段和都可以示直线与之间的距离，
故选：．
【变式练4】（2022•西湖区校级一模）如图，直线，其中在上，、、、在上，且，则与间的距离是
A．线段 的长度B．线段 的长度
C．线段 的长度D．线段 的长度
【答案】
【分析】根据平行线之间的距离定义解答即可．
【解答】解：两条平行线中，一条直线上的任意一个点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离，
所以与间的距离是线段的长度．
故选：．
【变式练5】（2021•涟源市二模）在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，与之间的距离为5，与之间的距离为2，则与之间的距离为 7或3 ．
【分析】方两种情况讨论，分别画出图形，根据图形进行计算即可．
【解答】解：有两种情况：
①如图①所示，直线与之间的距离是；
②如图②所示，直线与之间的距离是；
综上所述，与之间的距离为7或3．
故答案为：7或3．
相
交
线
直线的位置关系
在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行．
垂线的概念
当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足．
垂线的性质
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
垂线段最短定理
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
垂线段公理
直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短．
线段垂直平分线
邻补角与对顶角的知识点
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
4
3
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线．
∠3+∠4=180°
同位角、内错角与同旁内角的知识点
同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角．（同旁同侧）
如：∠1和∠5．
内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角．（内部异侧）
如：∠3和∠5．
同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角．（同旁内侧）如：∠3和∠6．
三线八角
指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对．
平
行
线
平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b．
平行线的画法：一落、二靠、三移、四画．
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合．
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
平行线的判定
判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称：同位角相等，两直线平行．
判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简称：内错角相等，两直线平行．
判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行．
平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补．
方
法
技
巧
点
拨
1．补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．
2．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．
3．垂线的定义与垂线段的性质
（1）垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直；反之，知线垂直得直角．
（2）线段是一条线段，可以度量长度，“一点”必须在直线外，若这点在直线上，就构不成垂线段，故这一点不能在直线上．
（3）垂线段和点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，是图形；而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量．
4．三线八角
（1）识别同位角、内错角、同旁内角时，先在图形上标出两个角的边，然后抽取图形，并观察图形属于“F”“Z”还是“U”形，进而根据所属的形状确定角的类型．
（2）在“三线八角”图形中，由两角判别截线和被截线的方法是看角的两边的位置；共线的一边所在的直线为截线，另两边所在的直线为被截线．
（3）这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，大小是不确定的；同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线，且在截线上，另一边分别在两条被截线上；两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
（4）只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质．
5．判定平行线的思路：
（1）定：确定已知条件是位置关系还是数量关系；
（2）选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明．
6．解决平行线性质求角度的问题，首先应在脑海中回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和等关系等来求解．
7．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例（符合命题的题设，不满足命题的结论）即可，而说明一个命题是真命题需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确结论．
8．平移
（1）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等．
（2）在解决面积问题时，如果图形是不规则图形或者是由几个图形组成的，可设法将图形转化为规则的图形求面积，平移可作为其中的一种手段．