2021年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析版）

这是一份2021年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：C
2．复数所对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】找出复数所对应的点即可求解.
【详解】复数所对应的点的坐标为，
所以位于第一象限，
故选：A.
3．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量，，可得.
故选：B.
4．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出3，5，7，11，13这5个素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求．
【详解】解：从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数共有钟可能，
其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果，
所以概率.
故选：B.
5．已知，且为第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：因为，，所以，因为为第四象限角，所以，所以
故选：D
6．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据常见幂函数的图像即可得出答案.
【详解】解：由图知：①表示，②表示，③表示，④表示.
故选：C.
7．已知，，下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质判断.
【详解】A. 若，，则，故错误；
B.因为，所以，又因为，所以，故正确；
C.若，，则，故错误；
D.若，，则，故错误；
故选：B
8．已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.
【详解】由，可得出，
由，得不出，
所以是的充分而不必要条件，
故选：A.
9．现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测得了它的物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为（ ）
A．34B．67C．340D．670
【答案】D
【分析】由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率即可.
【详解】由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率为：，
所以这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为.
故选：D
10．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】逐一分析四个选项的奇偶性和单调性即可得出答案.
【详解】A选项，因为是偶函数，且在上递减，故A错误；
B选项，因为是奇函数，在R上是增函数，故B正确；
C选项，因为是非奇非偶函数，故C错误；
D选项，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故D错误.
故选：B.
11．已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
【答案】D
【分析】由结合的取值范围可求得的值，利用三角函数图象变换可得出结论.
【详解】由图可知，，
所以，，故，，故，
所以，，
所以，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点向右平移个单位长度.
故选：D.
12．犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．三次都中靶B．只有两次中靶
C．只有一次中靶D．三次均未中靶
【答案】D
【分析】利用互斥事件的定义判断.
【详解】因为连续射击三次的结果有四种：三次都中靶，只有两次中靶，只有一次中靶，三次均未中靶，
而打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”是三次都中靶，只有两次中靶或只有一次中靶，
所以打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是三次均未中靶，
故选：D
13．已知两个单位向量，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，利用向量的数量积的运算律即可得出答案.
【详解】解：.
故选：A.
14．在高铁建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，为解决这个问题，某校综合实践活动小组提供了如下方案：先测量出隧道 两端的两点，到某一点的距离，再测出的大小．现已测得约为2km，约为3km，且（如图所示），则，两点之间的距离约为（ ）
A．1.414kmB．1.732km
C．2.646kmD．3.162km
【答案】C
【分析】结合余弦定理计算即可.
【详解】在中，由余弦定理，得
，
所以，
故答案为：C
15．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．
【详解】解：，
当时，，所以或；
当时，，所以，
所以不等式的解集是，，，
故选：A．
二、多选题
16．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】求出与即可判断A，B，C正误，根据向量共线的坐标表示即可判断D的对错.
【详解】解：，，所以，
因为，所以.
故选：CD.
17．已知，是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】BC
【分析】利用线线、线面的平行关系，以及线线、线面的垂直关系，即可求解.
【详解】解：对于A，直线和可以相交或者异面，故A错，
对于B, ，假设，，又，故，则，故B对,
对于C, 因为，，又，则，故C对,
对于D, 直线可以与平面平行，故D错.
故选：BC.
18．下列函数中最大值为1的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据基本初等函数的性质判断可得；
【详解】解：对于A：函数值域为，故A正确；
对于B：函数的值域为，故B正确；
对于C：函数的值域为，故C错误；
对于D：函数的值域为，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
19．已知两个非零向量，满足，则与的夹角为_______.
【答案】
【分析】根据向量的数量积即可求得与的夹角.
【详解】解：因为，
所以，即与的夹角为.
故答案为：.
20．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则球的体积为_______.
【答案】
【分析】根据图形可以得出球的半径；代入球的体积公式即可得到结论．
【详解】解：设球半径为，
根据题意可得：，
所以球的体积.
故答案为：.
四、双空题
21．某校足球俱乐部有男运动员60人，女运动员40人，为了了解运动员的身体素质，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为30的样本，则应抽取的（1）男运动员人数为_______；（2）女运动员人数为_______.
【答案】
【分析】先由已知计算出抽样比，进而可得答案．
【详解】解：足球俱乐部有男运动员60人，女运动员40人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为30的样本，则抽样比为，
故抽取的男运动员人数人，抽取的女运动员人数人，
故答案为：；
22．设，为正整数，若，则（1）的一个可能的值为_______；（2）与（1）中的值相对应的的值为_______.
【答案】3(或9) 4(或2)
【分析】根据指数幂，即可求解.
【详解】因为，为正整数，又，当时，，当时，，
故答案为：3(或9)，4(或2)
五、解答题
23．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若的最小值为0，求常数的值．
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解；
（2）由（1）得到当时取得最小值，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由函数，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知函数，
因为的最小值为0，可得当时，取得最小值，
即，解得.
24．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点．求证：
（1）平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接BD与AC交于点O，连接OE，易得，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）利用等体积法由求解.
【详解】（1）如图所示：
，
连接BD与AC交于点O，连接OE，
因为E，O为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2），
，
.
25．关于函数有以下三个结论:
（1）是偶函数；
（2）在上是增函数；
（3）有两个零点．试分别判断这三个结论是否正确，并说明理由．
【答案】（1）错误；（2）正确；（3）错误；理由解析.
【分析】（1）由函数的奇偶性定义判断；
（2）利用导数法判断；
（3）令求解判断.
【详解】（1）由，解得，
所以函数的定义域为，不关于原点对称，
所以不是偶函数；
（2）因为，在上成立，
所以在上是增函数，故正确；
（3）令，则或，解得，
所以有一个零点，故错误．