2024届湖北省荆州市公安县车胤中学高三上学期10月检查（一）数学试题含解析

这是一份2024届湖北省荆州市公安县车胤中学高三上学期10月检查（一）数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据子集的定义，结合任意性和存在性的定义逐一判断即可.
【详解】A：显然，，所以本选项不正确；
B：显然，，所以本选项正确；
C：因为，所以不存在，，因此本选项不正确；
D：因为，，所以本选项不正确，
故选：B
2．若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】计算出，进而计算出，利用模长公式计算出答案.
【详解】由题意可得，
则，
故．
故选：A．
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】令，该函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，排除AB选项，
当时，，则，排除C选项.
故选：D.
4．已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可.
【详解】令扇形的半径为，则，
所以此扇形的面积为.
故选：D
5．设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
6．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cs10°≈0.985）

A．45.25B．50.76C．56.74D．58.60
【答案】B
【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；
【详解】
设球的半径为R，
，，
故选:B.
7．在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，，则的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是9，
故选：D

8．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】确定函数的大致图象，令，则关于的方程即可写成，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有6个不同的根，即可得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，函数的图象如图所示：
根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线.
令，则关于的方程即可写成，
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根
设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当，时，此时，则；
②当，时，此时，则；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．与的夹角为D．在方向上的投影向量是
【答案】AC
【分析】A.利用平面向量的数量积运算求解判断；B.利用平面向量的模公式求解判断；C.利用平面向量夹角公式求解判断；D.利用平面向量的投影向量的定义求解判断.
【详解】解：因为，，
所以，则，所以，故A正确；
，所以，故B错误；
，因为，所以，故C正确；
在方向上的投影向量是，故D错误；
故选：AC
10．已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则ac2>bc2
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【分析】由不等式的性质可判断ABC，由作差法可判断D.
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，若,且时，则，B错误；
对于C，若，则，故，则必有，C正确；
对于D，若，则，
所以，D正确.
故选：CD
11．点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O是的重心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
【答案】BCD
【分析】根据题意构造菱形，再证明在角平分线上即可判断哪A，构造等腰三角形，可证得垂直底边，故可得是角平分线，即可判断B，由三角形中线的向量表示化简可得在三角形边的中垂线上即可判断C，利用向量减法及数量积为0可证得即可判断D.
【详解】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得，
则，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，
则四边形ADFE是菱形，且，
平分，，
，即，
，
三点共线，即在的平分线上，
同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为的内心，故A错误；
对B，在AB，AC上分别取点D，E，使得，如图，
则，且，
因为，即，又知，平分，
同理，可得平分，故O为的内心，故B正确；
对C，取的中点分别为，如图，
，，
即，所以O是的外心，故C正确；
对D，由，可得，即，
所以，即点O是的垂心，故D正确.
故选：BCD
12．已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】作出函数的图象，可判断，结合对数函数性质即可判断A；结合图象可知得，，利用函数图象的对称性可判断B；利用二次函数性质可判断C；利用图象的对称性可推出，从而可得的表达式，结合图象可得参数的范围，即可判断D.
【详解】由题意作出函数的图象如图，

对于A，由题意结合图象可知，
因为，所以，即，
所以，A选项正确；
当时，，所以.
又结合图象得，，所以，
即所以，B选项错误；
因为当时，，
所以当时，的图象关于直线对称，
所以，
又，此时在上单调递增，所以，C选项正确；
因为与，与关于直线对称，所以.
又与关于直线对称，所以，
所以，所以.
结合图象可知，所以，D选项正确，
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：根据题意可作出函数的图象，由此可判断的范围，结合各选项，数形结合，即可求解.
三、填空题
13．将函数的图像向左平行移动个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是
【答案】
【分析】利用平移和伸缩变换得出答案：向左平移个单位，即将换成；横坐标变为原来的倍，即将换成.
【详解】把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，
得到的图象，
再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，
得到的图象.
故答案为：.
14．，是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数 .
【答案】
【分析】先表示出，然后根据向量的共线定理进行计算.
【详解】依题意得，，于是，
由三点共线可知，存在，使得，即，
由于，是两个不共线的向量，则，解得.
故答案为：
15．已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】先判断出，再以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：然后利用平面向量数量积的坐标表示求出，再根据圆心到直线的距离小于等于半径可求出结果.
【详解】因为，又，所以，所以，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：
则，，设，则，
，，
所以，
设，即，
依题意直线与圆有交点，
所以，得，
所以的最小值为.
故答案为：
16．如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会达到平均速度100公里/小时.上述问题转换成数学语言：是距离关于时间的函数，那么一定存在：就是时刻的瞬时速度.前提条件是函数在上连续，在内可导，且.也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是是与割线平行的一条切线的斜率，切线与曲线相切于点.已知对任意实数，且，不等式恒成立，若函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意可得在上恒成立，即可得到在上恒成立，构造函数，利用函数的单调性，即可求得答案.
【详解】因为对任意实数，且，不等式恒成立，
故，即在上恒成立；
由，可得，
故在上恒成立，即在上恒成立，
而，
令，则令，
由于，即在上单调递增，
故，即，
所以
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解题中导数的几何意义，从而可得不等式恒成立问题，再利用函数的单调性即可解决问题.
四、解答题
17．已知函数，且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据得到，进而由真数大于0得到不等式，求出定义域；
（2）不等式变形得到，结合对数函数单调性和真数大于0得到不等式组，求出不等式的解集.
【详解】（1）因为，解得.
由题意可得，解得，故的定义域为.
（2）不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则，解得.
故不等式的解集为.
18．已知函数，且相邻两个极值点的差的绝对值为．
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据条件得到，得到函数解析式，利用整体法得到函数单调递减区间；
（2）代入化简得到，得到，再利用二倍角公式，化弦为切，代入求值.
【详解】（1）因为
，
由题意得的最小正周期为，，所以，即，
所以，
当时，，
由的单调减区间可知：，解得，
所以函数的单调减区间为．
（2）由得，
，
即，故，所以，
所以．
19．已知函数.
(1)已知，求最小值；
(2)讨论函数单调性.
【答案】(1)0
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，利用单调性求出最值即可；
（2）求出函数的导数，分类讨论，根据导函数的正负，判断函数的单调性即可.
【详解】（1）当时，，
所以.
时，，
时，，时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故最小值为.
（2），
时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
当时，当或时，在和上单调递增；
当时， 在上为减函数.
当时，上，在上为增函数.
当时，当或时，在和为增函数；
当时，在上为减函数.
综上，时，在上单调递减，在上单调递增；
时，在和上单调递增，在上为减函数；
时，在上为增函数；
时，在和为增函数，在上为减函数.
20．的内角的对边分别为的面积为.
(1)求；
(2)设点为外心，且满足，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积的定义得，再结合三角形面积公式可得，从而得角；
（2）由圆性质得，然后由数量积定义求得，再由正弦定理求得．
【详解】（1），
两式相除得：，
又，∴.
（2）为外心，故.
由正弦定理可知：.
21．在△ABC中，，D在边AC上，∠A，∠B．∠C对应的边为a，b，c．
(1)当BD为 的角平分线且时，求的值；
(2)当D为AC的中点且时，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用 可得出结论；
（2）由正弦定理分别表示出a，c，得出 ，再根据 的范围及正弦函数的性质求解答案即可.
【详解】（1）由题意知，BD为角平分线且长度已知，则利用面积相等可得
，
整理可得 ，所以 .
（2）以a，c为边做平行四边形，另一个端点设为M，连接BM，易知BM交AC于点D.

设∠DBC=θ，则由正弦定理知：
化简可得，，．
则，合并化简可，
易知，则，
∴．
∴的取值范围为.
22．已知函数与互为反函数，函数．
(1)求函数的值域；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，令，得到，利用二次函数的性质求解；
（2）易得，，将证，转化为证，令，．利用导数法证明即可.
【详解】（1）解：因为，
令，则，，
所以．
所以当时，；当时，．
故所求函数的值域为．
（2）根据题意，易得，．
欲证，即证．
令，．
则．
令，，则．
易知恒成立，所以在R上为减函数，又，所以．
又恒成立，所以当时，，即，故在上单调递增；
当时，，即，故在上单调递减，
所以，即恒成立，故.