2024届江苏省决胜新高考高三上学期10月大联考数学试题含解析

这是一份2024届江苏省决胜新高考高三上学期10月大联考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到，结合复数模的性质，即可求解.
【详解】由复数z满足，可得，则．
故选：B.
2．设＝{1，2，3，4，5} ，若＝{2}，，，则下列结论正确的是
A．且B．且
C．且D．且
【答案】B
【分析】根据题意画出韦恩图，确定出A与B,即可作出判断.
【详解】因为＝{1，2，3，4，5} ，若＝{2}，，，所以画出韦恩图：
，，则且，故选B.
【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算，集合的韦恩图，属于中档题.
3．已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为锐角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的运算结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为不共线，可知与不共线，
则与所成角为锐角等价于，即，即，
所以“与所成角为锐角”是“”的充分必要条件.
故选：C.
4．若满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】D
【分析】利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为，，两边同除得，
所以．
当且仅当时等号成立，
故选：D.
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合奇函数的图像性质、特殊值法以及导数放缩，即可求解.
【详解】根据题意，因为，所以为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B；
由，排除选项C；
当时，结合导数易知，因此，
故当时，，当且仅当时，等号成立，
因此当时，，排除选项D.
故选：A.
6．已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，得，进而根据已知推得.根据式子的意义及的范围，推得，即可得出答案.
【详解】令，得.
由可得，.
因为，所以，所以；
又，所以，所以.
所以，，此时有.
故选：B.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】已知等式利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简得，再利用诱导公式求的值.
【详解】由，
得，所以
故选：B
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，由易得；构造函数，由导数与函数的单调性求得的单调性，从而证得；由此可得.
【详解】令，
所以时，，
因为，即，
所以，故，即，
令，则，显然在单调递增，
令，得，故在上单调递增，
因为，故，则，
故在上单调递增，则，
即，即，故，
综上：.
故选：A.
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据对数函数的单调性及取特殊值，，即可判断A；根据幂函数的单调性即可判断B；取特殊值，即可判断C；根据指数函数的单调性即可判断D．
【详解】对于A，由函数在上单调递增，
又，不妨取，，此时，
所以，故A错误；
对于B，由函数在R上单调递增，又，所以，所以B正确；
对于C，由，不妨取，，此时，故C错误；
对于D，由函数在R上单调递减，又，所以，故D正确．
故选：BD．
10．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．在区间上单调递减
C．在上的极大值点为
D．直线是曲线y=的切线
【答案】BD
【分析】由函数解析式检验对称性判断选项A；利用导数判断单调性验证选项B；利用单调性判断极值点验证选项C；由已知斜率求切点坐标和切线方程验证选项D.
【详解】，A选项错误；
，当时，，单调递减，选项正确；
时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减；
在上的极大值点为，C选项错误；
令，取，
则曲线在点处的切线方程为，
即，D选项正确．
故选：BD
11．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地平面的高度（单位：）为，）．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距面，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面．则（ ）
A．
B．
C．过山车启动时距地面20米
D．一个周期内过山车距离地平面高于40的时间是4
【答案】BCD
【分析】根据题意得出函数的最值，即可求出A和B，根据周期求出，根据及即可求出，再根据函数解析式逐项判断即可得出答案．
【详解】由题意知，周期满足，解得，
所以，
又因为，解得，
所以，
由，得，，，
因为，
所以，
所以，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，
则，即，，
所以一个周期内过山车距离地平面高于40的时间是4，故D正确，
故选：BCD．
12．定义在上的函数满足为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由已知条件得到函数的奇偶性和对称性，对选项进行验证.
【详解】由，令，则有，
即为奇函数，，
由为偶函数，的对称轴为，得，故B选项正确；
则有，可得
即有，
所以是周期函数，且周期为4（不一定是最小正周期），C选项正确；
，故A选项错误；
，已知条件不能得到的值，D选项错误．
故选：BC
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】代入计算即可．
【详解】由函数，有.
故答案为：1
14．已知向量，且，则 ．
【答案】
【分析】根据已知推得，进而根据同角三角函数的基本关系式化简，计算即可得出答案.
【详解】由，得，
即，所以，
所以．
故答案为：.
15．在锐角三角形，，且则边上的中线长为 ．
【答案】
【分析】根据题设条件整理得，再利用正弦定理和余弦定理得到，进而利用向量的数量积运算求得，由此得解.
【详解】因为，所以，
整理得，即，
即，即，
由正弦定理，可得，
又由余弦定理得，
所以，即，则，
假设的中点为，则，所以，
则，
所以.
故答案为：.
四、双空题
16．如图，将矩形纸片的右下角折起，使得点落在边上点处，得到折痕.已知，，则当 时，折痕最短，其长度的最小值为 cm.
【答案】
【分析】根据题意，设，用表示，换元后，结合导数判断单调性，即可求解.
【详解】根据题意，设，，
则，在中，，
因此，
令，，
则，令，，则，
当时，，单调递增，当，，单调递减，
因此，故.
此时，，.
故答案为：；.
五、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
(1)求的值；
(2)求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数平方关系、诱导公式以及二倍角公式、三角形内角和定理，通过运算即可求解.
（2）先由诱导公式求出每个角的正弦值，由正弦定理即可求解.
【详解】（1）在中，因为，所以，
因为，所以．
又因为，所以，
所以．
（2）由得，，
．
又，
所以由正弦定理，得，
解得，
所以的周长为．
18．已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象．若在区间上有且仅有5个零点，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）化简函数解析式，由最小正周期为，求的值；
（2）根据图像变换得解析式，求出函数零点，由在区间上有且仅有5个零点，列不等式求的取值范围．
【详解】（1），
因为函数的最小正周期为，所以，解得．
（2）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到的图像，
所以．
令，有，即，得，
因为上有且仅有5个零点，
所以．
所以的取值范围为.
19．已知函数
(1)若在处取得极值，求的单调递减区间；
(2)若在区间上存在极小值且不存在极大值，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求解极值和单调区间的方法运算即可得解.
（2）利用导数求解极值的方法分类讨论运算即可得解.
【详解】（1）因为，
因为在处取得极值，
所以，
即，解得：，
当时，，，
令，即，
解得：，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴在处取得极大值，符合题意，故.
所以函数的单调递减区间为．
（2）因为，
因为在上存在极小值且不存在极大值，
当时，，则，可求得在上，
且当时；当时；
∴函数在上存在极小值且不存在极大值，符合题意．
当时，∵函数在上存在极小值且不存在极大值，
∴，即，解得：，
综上，实数的取值范围是．
20．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求该切线方程；
(2)讨论曲线与直线的交点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导后，令导数为，求得，进而可求解；
（2）由（1）可知，判断单调性，求得最小值，分、、三种情况求解即可.
【详解】（1），
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，
因为，所以．
所以所求切线方程为．
（2）由（1）可知，当时，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
所以当时，曲线与直线无交点；
当时，曲线与直线有且仅有一个交点；
当时，在上，，
令，得舍去，
则，又
所以在上，曲线与直线有且仅有一个交点，
又因为，
即为偶函数，
所以在上，曲线与直线有两个交点．
综上所述，当时，曲线与直线无交点；
当时，曲线与直线有且仅有一个交点；
当时，曲线与直线有两个交点．
【点睛】方法点睛：判断函数零点(方程根)个数的常用的方法:
（1）直接法:直接求解方程得到方程的根的个数；
（2）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
21．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．
(1)若求AC；
(2)若求AD．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由已知结合正弦定理可求得，然后根据内角和定理求出，然后得到，然后结合三角形内角对其取舍，最后结合直角三角形求出.
（2）先结合正弦定理求出的大小，然后结合三角形内角和定理推出的大小，结合角平分线定理，将长度问题转换为模长问题.
【详解】（1）在中，
由正弦定理，得，
所以，
因为，
所以或．
若，则，
因为是的平分线，
所以，舍去．
若，则，
所以，
．
（2）在中，由正弦定理，
得，
所以，
因为，所以或．
若，则，
因为是的平分线，
所以，
所以，
所以，
所以．
若，则，则
由，
得，
所以．
综上，或．
22．已知函数有两个零点．
(1)若直线与曲线相切，求的值；
(2)若对任意，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）求得切线方程，列出方程组求得，设，利用导数求得函数的单调性，结合，即可求解；
（2）设，由，得到，设，求得，设，求得，得出函数的单调性，得出单调递减，再设，得到，设，利用导数求得的单调性，结合，得到，得到，设，求得，得出函数的单调性和最小值，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得其定义域为且，
设切点为，则切线斜率，
所以切线方程为，即，
所以，则，
设，则，且，
令，解得，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
所以，所以，所以．
（2）解：设，
由，得，
整理得，
设，则，
设，则，令，解得，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以，所以，即在和均单调递减，
因为，所以，设，则由题意可知，，
所以，整理得，
设，则，
设，则，
所以单调递减，所以，即，
所以单调递减，所以，即，
可得，对任意恒成立，
整理得，
设，则，
令，解得，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
所以，
所以，即．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．