2024届上海市市北中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届上海市市北中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，则 .
【答案】
【分析】根据集合的交集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
2．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】将不等式化为，即可得答案.
【详解】由题意得不等式即，
即不等式的解集为，
故答案为：
3．已知集合，若，则实数 .
【答案】0
【分析】根据并集结果结合集合A，B的特征运算求解.
【详解】因为，且，可知，
又因为，则，
且当时，，满足，
综上所述：.
故答案为：0.
4．若函数的图像经过点与，则m的值为 ．
【答案】81
【分析】根据函数图象过的点求得参数，可得函数解析式，再代入求值即得答案.
【详解】由题意函数的图像经过点与，
则，则
故，
故答案为：81
5．已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
【答案】4
【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.
【详解】，当，即，时等号成立，
则的最小值为4．
故答案为：4．
6．某超市中秋前30天月饼销售总量与时间的关系大致满足则该超市前天平均售出（如前10天的平均售出为）的月饼最少为 .
【答案】17
【分析】因为该超市前天平均售出的月饼为，结合对勾函数单调性分析求解.
【详解】由题意可知：该超市前天平均售出的月饼为，
令，
可知在上单调递减，在上单调递增，
但，且，
所以该超市前天平均售出的月饼最少为17.
故答案为：17.
7．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】由题意可知：方程的两根为，且，利用韦达定理可得，代入求解即可.
【详解】由题意可知：方程的两根为，且，
可得，整理得，
则不等式即为，
且，可得，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.
【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，
于是，解得，
所以实数a的值为.
故答案为：
9．由函数的观点，不等式的解集是 .
【答案】
【分析】由不等式可得，构建函数，利用函数单调性解不等式.
【详解】由不等式，可得，
令，可知的定义域为，
因为在定义域上单调递增，
可知在定义域上单调递增，且，
对于不等式即为，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
10．若对关于的不等式对一切任意都成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分和两种情况，结合二次函数分析求解.
【详解】当时，则符合题意；
当时，可得，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
11．函数的最小值为 .
【答案】12
【分析】根据函数的定义域，讨论的不同取值，去绝对值，再根据函数的单调性求函数的最小值.
【详解】函数的定义域需满足，即，即定义域为，
当时，，
函数在区间单调递减，当时，，
当时，，
函数在区间单调递减，当时，，
综上可知，函数的最小值为.
故答案为：
12．设函数是定义在上的单调函数，若对于任意的，都有成立，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】首先设，再根据，求得函数的解析式，即可求解不等式的解集.
【详解】设，则，
，，单调递增，
当，则，
所以，
若，则，得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
二、单选题
13．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，根据集合的包含关系分析充分、必要条件.
【详解】因为，即，解得，
且是的真子集，
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
14．函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．奇函数也是偶函数D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数.
故选：B
15．若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．（1）（4）B．（2）（4）
C．（3）（4）D．（1）（3）（4）
【答案】C
【分析】根据特殊值法可确定(1),(2)选项错误; 根据集合的基本关系可以判断(3),(4)正确.
【详解】设,,
,,故(1),(2)错误;
根据集合的基本关系可以知道,,(3),(4)正确.
故选 :C.
16．已知函数，其导函数为，有以下两个命题：
①若为偶函数，则为奇函数；
②若为周期函数，则也为周期函数．
那么（ ）．
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
【答案】D
【分析】取特殊函数，判断①、②的真假即可得解.
【详解】对①，取非奇函数，则为偶函数，故①为假命题；
对②，取函数，则函数不是周期函数，但是周期函数，故②为假命题.
故选：D
三、解答题
17．已知集合，，，且，求，的值．
【答案】，.
【分析】根据集合的运算，得到，，，分类讨论，即可求解.
【详解】因为，所以必有，，，
所以，解得或．
当时，，又因为，所以，但，
所以不满足，所以不符合题意；
当时，，所以，可得．
综上，，．
18．已知函数.
(1)当时，是否存在实数，使得是奇函数；
(2)对于任意给定的非零实数与轴负半轴总有交点，求实数的取值范围.
【答案】(1)存在，
(2)答案见详解
【分析】（1）根据奇函数的定义和性质分析求解；
（2）根据题意可知：，分和两种情况，运算求解.
【详解】（1）当时，则，可知的定义域为，
若是奇函数，则，解得，
且当时，，
即，是奇函数，
综上所述：当时，是奇函数.
（2）令，可得，
因为，则，且，
当时，则；
当时，则；
综上所述：当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为.
19．在一个实验中，发现某个物体离地面的高度（米）随时间（秒）的变化规律可表示为.
(1)当时，若此物体的高度不低于4米时，能持续多长时间？
(2)当且仅当时，此物体达到最大的高度6，求实数满足的条件？
【答案】(1)6秒
(2)，
【分析】（1）由题意可知：，分和两种情况解不等式即可；
（2）根据题意结合单调性可得当时，，且在内恒成立，分析求解即可.
【详解】（1）当时，则，
由题意可知：，
若，则，解得；
若，则，解得；
综上所述：，
所以若此物体的高度不低于4米时，能持续时间为（秒）.
（2）令，解得，可得，
因为在上单调递增，
由题意可得：当时，，解得；
且在内恒成立，则，解得；
综上所述：，.
20．对于直角坐标平面上的两个点，记.
(1)若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合；
(2)若，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值并指出取得最小值时的点的集合；
(3)若点在函数图像上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由.
【答案】(1)
(2)最小值为，点的集合为且.
(3)最小值为，理由见解析.
【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，分离讨论，即可求解.
（2）根据题意，得到，结合绝对值的三角不等式，即可求解；
（3）根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：点在函数图像上，点的坐标为，即，
由，
因为，即，
当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，解得，此时解集为空集；
当时，不等式可化为，解得，
综上可得，不等式的解集为.
（2）解：若，点是直角坐标平面上的任意一点，
则
当且仅当时，即时，等号成立，
此时的最小值为，此时点的集合为且.
（3）解：因为点在函数图像上且，点的坐标为，
设点，则，
当且时，可得，
根据依次函数与对数函数的性质，可得函数为单调递减函数，
所以，且当时，取得等号；
当且时，可得，
令，可得
所以为单调递减函数，所以，
当且仅当时，等号成立；
当且时，可得，
令，可得
所以为单调递增函数，所以，
综上可得，的最小值为，当且仅当时，取得最小值.
21．三个互不相同的函数与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”.
(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
(2)求所有的二次函数（用表示，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
(3)若，且存在实数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值.
【答案】(1)是与在上的“分割函数”；
不是与在上的“分割函数”；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据题意可得当时恒成立，结合“分割函数”的定义依次判断，即可求解；
（2）根据“分割函数”的性质，则对一切实数恒成立，由导数的几何意义和恒成立可得且对一切实数恒成立，结合图形即可求解；
（3）利用导数求出函数的极值，则，作出其函数与函数的图象，设直线与的图象交于点，利用代数法求出弦长，结合导数研究函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为恒成立，且恒成立，
所以当时，恒成立，
故是与在上的“分割函数”.
又因为，当与时，其值分别为与，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在上的“分割函数”.
（2）设是与在上的“分割函数”，
则对一切实数恒成立,由,
当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，
所以，可得
所以对一切实数恒成立，
即且对一切实数恒成立，
可得且，即，
又时与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为.
（3）关于函数，令，可得，
当与时,；当与时,.
可知是函数极小值点，0是极大值点,
该函数与的图象如图所示.
由为与在区间,上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标∪，此时切线方程为，
即，
设直线与的图象交于点，
则由可得，
所以
，
令，
(仅当时，),
所以严格减，故的最大值为,可知的最大值为，
所以的最大值为.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.