2024届上海市宜川中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届上海市宜川中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，，则 .
【答案】
【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．复数在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据复平面上的点与复数实部、虚部关系列出不等式求解即可.
【详解】因为复数在复平面的第二象限内，所以，解得.
故答案为：
3．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】求函数的定义域，保证根号下的式子大于等于0，分母不为0即可.
【详解】，
，或
所以定义域为：.
故答案为：
4．已知，则 .
【答案】
【详解】由诱导公式知，故填.
5．展开式的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】-160
【详解】由，令得，所以展开式的常数项为.
【解析】二项式定理.
6．点、都在同一个指数函数的图像上，则t= ．
【答案】9
【分析】用待定系数写出指数函数解析式，代入对应点求解即可.
【详解】设指数函数为，其中且，
将、代入函数解析式得，解得，
.
故答案为：9
7．将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为 .
【答案】
【分析】根据圆锥侧面展开图即可计算.
【详解】如图所示，图1是圆锥(图2)的侧面展开图，
，则扇形弧长，
设圆锥底面圆半径为，则，得，
则在Rt中，圆锥的高，
故答案为:.
8．已知数列的前项和为，且满足，，则 .
【答案】
【分析】根据通项公式列出方程求出，利用前n项和公式求解.
【详解】因为，
所以，
所以是以2为公差的等差数列，
所以，
故答案为：
9．为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ．
【答案】5
【分析】利用抛物线定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离即可.
【详解】因为抛物线，所以其焦点，准线方程为，
根据抛物线定义可知，又因为直线l方程为，
所以
故答案为：5.

10．已知一组数据分别是若这组数据的平均数与众数之和等于中位数的2倍，则
【答案】 或3或17
【分析】由数据先求出平均数和众数，再分的范围分别得出中位数，列出方程得出答案.
【详解】由题意可得这组数据的平均数为，众数为为2
当时，中位数为2，则，解得
当时，中位数为，则，解得
当时，中位数为，则，解得
故答案为： 或3或17
11．黎曼函数（Riemann functin）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：，若函数在上满足，且，当时，，则 .
【答案】
【分析】由题意可知，从而可求得函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式可求.
【详解】由题意，，
故，即函数的周期，
因为当时，，
则.
故答案为：
12．定义：如果函数在区间上存在满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数已知函是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题目给出的定义可得，即方程在区间有两个解，结合二次函数的图象和性质可构造关于的不等式组，求解可得的取值范围．
【详解】因为，
在区间存在，
满足
方程在区间有两个不相等的解
令，
则，解得：
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的运算问题，关键是能够通过定义将问题转化为方程在区间内根的个数问题，从而可以根据二次函数的图像与性质，构造出不等关系，从而可求得结果．
二、单选题
13．“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，
但“”不能推出“”，
故“”是“”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，意在考查对基本概念的掌握情况，属于简单题.
14．设，是正实数，以下不等式①；②；③；④恒成立的序号为（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②④
【答案】C
【分析】对于①③：利用基本不等式进行判断，注意等号成立的条件；对于②：根据绝对值不等式，进行处理判断；对于④：利用作差法进行整理判断，注意等号成立的条件．
【详解】对①，，即即当且仅当时等号成立，①不正确；
对②，因为是正实数，则，∴，②正确；
对③，，即，当且仅当时等号成立，③正确；
对④，，当且仅当时等号成立，④不正确；
故选：C.
15．设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得．
【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；
②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；
③函数为偶函数，，令，，
则，存在．
故选：．
【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题．
16．已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】分别从，，三方面分类讨论求解；
【详解】根据题意，，若对任意实数均有，
当时，，
又因为，所以时符合题意；
对任意实数均有，即，
因为，，
当且仅当时，满足题意，
所以
当时，，
因为，所以，符合题意；
当时，，
所以，解得：，
因为，所以，符合题意；
综上所述，满足条件的有序实数对为，，，
共有3个，
故选：C.
三、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）在（1）的基础上的得到方程，求出k的值.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，，
得，
解得，，
所以．
（2）因为，
所以，
因为，所以，
即，又，所以．
18．在正三棱柱中，，，求：
异面直线与所成角的大小；
四棱锥的体积．
【答案】（1）（2）
【分析】由，知是异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角大小．
四棱锥的体积，由此能求出结果．
【详解】解：正三棱柱，，
是异面直线与所成角，
在中，，，，
，
，
异面直线与所成角大小为
正三棱柱中，，，
，
，
四棱锥的体积
【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19．已知函数.
(1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
(2)在中，角，，对应的边分别为，，，若将的图象向左平移个单位得到函数的图象，且，，，求的值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）首先化简函数，再将不等式转化为且对任意恒成立，转化为三角函数求最值问题；
（2）首先利用平移规律求函数的解析式，再根据余弦定理和面积公式，即可求解.
【详解】（1）
，
若不等式，对任意恒成立，
则，即对任意恒成立，
那么且对任意恒成立，
则且，
，，
，，所以的值域为，
所以且，
所以实数的取值范围是；
（2）若将的图象向左平移个单位得到函数的图象，
则，
，，,
则，得，由，且，即，
由余弦定理可知，
即，，
得
20．某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在线段或曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
(2)求面积关于的函数解析式；
(3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.（结果精确到0.1米）
【答案】(1)
(2)
(3)当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大
【分析】（1）先以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；
（2）分别求出在不同线段的解析式，然后计算面积；
（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定的位置.
【详解】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，，
设曲线段所在抛物线的方程为，
由题意可知，点和在此抛物线上，
代入可得：，.
所以曲线段BC的方程为：.
（2）由题意，线段的方程为，
当点在曲线段上时，，
当点在线段上时，，
所以.
（3）当时，，令，得，（舍去）.
当时，；当时，.
因此当时，是极大值，也是最大值.
当时，，
当时，是最大值.
因为，
所以当时，取得最大值，此时，
所以当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大.
21．已知函数.
(1)求函数在处切线方程；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围；
(3)当时，设函数，对于任意的，试确定函数的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)1个，理由见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求得函数在时的切线方程；
（2）对任意的，恒成立，即对任意的恒成立，构造函数，将函数不等式恒成立问题转化为利用导数求新函数的最值问题;
（3）分和进行讨论，利用导数判断函数的单调性结合零点存在定理即可得出结论.
【详解】（1）由于函数，故，
故，且，
所以函数在处切线方程为 ，即；
（2）对任意的，恒成立，即，
即对任意的恒成立，
令，则，
令，得 ，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故时，函数取得极大值也即最大值，则，
所以，则的取值范围为，即；
（3）由可得，对于任意的，由 ，
当时，，单调递增，，
故在上有唯一实根；
当时，令，则，
而，当时，，递减，
当时，，递增，故，
所以，故在上没有实根；
综合上述，对于任意的，函数有且只有一个零点.
【点睛】本题考查了利用导数求函数在某点处的切线方程以及用导数解决函数不等式恒成立问题和判断函数的零点个数问题，综合性较强，解答时要能综合应用导数以及函数的相关知识解题，解答的关键是根据题意构造适当的函数，利用其导数解决恒成立以及零点问题.