2023-2024学年上海市静安区市北中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市静安区市北中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
A. 相离B. 相切
C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心
2.已知函数f(x)=x⋅lnx，下列判断正确的是( )
A. 在定义域上为增函数B. 在定义域上为减函数
C. 在定义域上有最小值，没有最大值D. 在定义域上有最大值，没有最小值
3.对于双曲线C1：x216−y29=1和C2：y29−x216=1，给出下列四个结论：
(1)离心率相等；(2)渐近线相同；(3)没有公共点；(4)焦距相等，其中正确的结论是( )
A. (1)(2)(4)B. (1)(3)(4)C. (2)(3)(4)D. (2)(4)
4.若函数f(x)=−x3+3x2−1在区间(m,m+5)内存在最大值，则实数m的取值范围是( )
A. [−1,2)B. (−1,2)C. [−3,2)D. (−3,2)
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.点P(2,3)到直线l：y=−2x+3的距离是______．
6.若f′(x0)=−3，则limh→0f(x0+h)−f(x0)h= ______．
7.已知直线l1：x+y=0和l2：2x−ay+3=0(a∈R)，若l1⊥l2，则a= ______．
8.双曲线x29−y24=1的渐近线方程是______．
9.已知函数f(x)=x3，则曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为______．
10.已知椭圆以原点为中心，焦点在x轴上，长半轴的长为6，离心率为13；则椭圆的标准方程______．
11.已知直线l在y轴上的截距为1，且l的一个法向量是n=(2,1)，则直线l的方程是______．
12.已知函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数y=f(x)的“新驻点”.设f(x)=sinx，则y=f(x)在区间(0,π)上的“新驻点”为______．
13.已知直线l′经过点P(2,1)，与直线l：x+2y+1=0的夹角为arccs 55.则直线l′的方程______．
14.若函数y=f(x)满足f(x)=12f′(−1)x2−2x+3，则f′(−1)= ______．
15.函数f(x)=exx−2的单调递减区间是______．
16.设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，记a*b=x1x2−y1y2，若圆C：x2+y2−4x+8y=0上的任意三点A1，A2，A3，且A1A2⊥A2A3，则|OA1*OA2+OA2*OA3|的最大值是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度AB为20m，拱高OP为4m，在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．
(1)建立适当的坐标系，求圆弧APB所在圆的方程；
(2)求支柱A2B2的高度.(结果精确到0.01m)
18.(本小题16分)
某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)满足关系y=f(t)，其中f(t)=18sin(2π3t−π2)．
(1)求f(t)=18sin(2π3t−π2)的导数；
(2)计算f′(3)，并解释它的实际意义．
19.(本小题16分)
数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、垂心、重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x−y+2=0，
(1)求三角形ABC外心D的坐标；
(2)求顶点C的坐标．
20.(本小题16分)
已知点A为椭圆Γ：x26+y22=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．
(1)求椭圆Γ：x26+y22=1的离心率；
(2)若点A的横坐标为2，求|AF1|的长．
(3)设Γ的上、下顶点分别为M1，M2，点B为椭圆Γ：x26+y22=1上一点，记△BF1F2的面积为S1，△BM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OB|的取值范围．
21.(本小题16分)
已知曲线C由抛物线y=12x2及抛物线y=−12x2组成，若A(4,2)，B(4,−2)，D，E是曲线C上关于x轴对称的两点，A，B，D，E四点不共线，其中点D在第一象限．
(1)写出抛物线y=12x2的焦点坐标和准线方程；
(2)求四边形ABED周长的最小值；
(3)若点D横坐标小于4，求四边形ABED面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点(0,1)，且斜率存在
∵(0,1)在圆x2+y2=2内
∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心
故选：C．
对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点(0,1)，且斜率存在，(0,1)在圆x2+y2=2内，故可得结论．
本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点(0,1)，且斜率存在．
2.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=xlnx，x∈(0,+∞)，
∴f′(x)=lnx+1，令f′(x)=0，得x=1e，
∴当x∈(0,1e) 时，f′(x)<0，f(x)递减．
当x∈(1e,+∞) 时，f′(x)>0，f(x)递增，
f(x)min=−1e，f(x)无最大值．
故选：C．
求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值．
本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
3.【答案】C
【解析】利用方程，分别计算离心率、渐近线、焦距，即可得出结论．本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
解：由题意，双曲线C1：x216−y29=1，C2：y29−x216=1，
(1)离心率分别为54，53；(2)渐近线相同，为y=±34x；(3)没有公共点；(4)焦距相等，为10，
故选C．
4.【答案】A
【解析】解：由题意，f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)，
令f′(x)<0，解得x<0或x>2，令f′(x)>0，解得0故f(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上是减函数，，在(0,2)上是增函数，
作其图象如右图，
所以当x=2时，f(x)取得最大值为f(2)=3，
令−x3+3x2−1=3，解得x=−1，或x=3，
则结合图象可知，
−1≤m<2m+5>2，
解得，m∈[−1,2)．
故选：A．
由题意，求导f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数m的取值范围．
本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．
5.【答案】4 55
【解析】解：根据题意，可得直线l：y=−2x+3，即2x+y−3=0，
所以P(2,3)到直线l的距离d=|4+3−3| 22+12=4 55．
故答案为：4 55．
根据题意将直线l方程化为2x+y−3=0，然后利用点到直线的距离公式算出答案．
本题主要考查直线的方程、点到直线的距离公式及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】−3
【解析】解：根据导数的定义：f′(x0)=h→0limf(x0+h)−f(x0)h，
因为f′(x0)=−3，所以limh→0f(x0+h)−f(x0)h=−3．
故答案为：−3．
根据导函数的定义直接求解即可．
本题考查了极限极限及其运算，属于基础题．
7.【答案】2
【解析】解：根据题意，直线l1：x+y=0和l2：2x−ay+3=0(a∈R)，
若l1⊥l2，则有2−a=0，解可得a=2．
故答案为：2．
根据题意，由直线垂直的判断方法可得关于a的方程，解可得答案．
本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
8.【答案】y=±23x
【解析】解：∵双曲线方程为x29−y24=1的，则渐近线方程为线x29−y24=0，即y=±23x，
故答案为y=±23x．
把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．
本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程．
9.【答案】y=0
【解析】【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，则答案可求．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
【解答】
解：∵f(x)=x3，∴f′(x)=3x2，
∴f′(0)=0，
则曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=0．
故答案为：y=0．
10.【答案】x236+y232=1
【解析】解：因为椭圆长半轴的长为6，所以有a=6，又因为椭圆离心率为13，
即ca=c6=13，所以c=2；根据b2=a2−c2，有b2=36−4=32，
椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为：x236+y232=1．
故答案为：x236+y232=1．
先根据已知条件求出a，再根据离心率求出c，最后根据b2=a2−c2即可确定椭圆标准方程．
本题在考查椭圆的标准方程，属于基础题．
11.【答案】2x+y−1=0
【解析】解：设直线l的斜率为k，则它的一个方向向量为m=(1,k)，
根据直线l的一个法向量是n=(2,1)，可得m⋅n=1×2+k⋅1=0，解得k=−2，
结合直线l在y轴上的截距为1，可得直线的方程为y=−2x+1，即2x+y−1=0．
故答案为：2x+y−1=0．
根据直线l的一个法向量n=(2,1)，算出直线l的斜率为−2，从而利用直线的斜截式方程求出答案．
本题主要考查两个向量垂直的条件、直线的基本量与基本形式等知识，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】π4
【解析】解：f′(x)=csx，
∴解sinx=csx，x∈(0,π)，得x=π4，
∴y=f(x)在区间(0,π)上的“新驻点”为π4．
故答案为：π4．
可求出f′(x)=csx，根据新驻点的定义，解sinx=csx在x∈(0,π)上的解即为所求的驻点．
本题考查了新驻点的定义，三角函数的求导公式，是基础题．
13.【答案】x=2或3x−4y−2=0
【解析】解：根据题意，直线l：x+2y+1=0斜率k1=−12，
设直线l的倾斜角为α，根据直线l的斜率为负数，可知α∈(π2,π)，
由sinαcsα=tanα=−12cs2α+sin2α=1，解得sinα= 55csα=−2 55，或sinα=− 55csα=2 55(舍去)，
设两直线夹角为θ，则csθ= 55，且θ∈(0,π2],
可得sinθ= 1−cs2θ=2 55，tanθ=sinθcsθ=2．
①当l′的斜率不存在，则l′：x=2，此时θ=α−π2，可得csθ=cs(α−π2)=sinα= 55，符合题意；
②当l′的斜率存在，设l′的斜率为k，则tanθ=|k+121−12k|=2，解得k=34，
所以直线l′：y−1=34(x−2)，即3x−4y−2=0．
综上所述，直线l′的方程为x=2或3x−4y−2=0．
故答案为：x=2或3x−4y−2=0．
设直线l的倾斜角为α，两直线夹角为θ，利用反三角函数的性质算出tanθ=2，然后分类讨论l′的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式求出直线l′的方程．
本题主要考查直线的基本量与基本形式、两条直线的夹角公式、同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．
14.【答案】−1
【解析】解：因为f(x)=12f′(−1)x2−2x+3，可得f′(x)=f′(−1)x−2，
令x=−1，可得f′(−1)=−f′(−1)−2，解得f′(−1)=−1．
故答案为：−1．
求导可得f′(x)=f′(−1)x−2，令x=−1运算求解即可．
本题考查了幂函数的求导公式，是基础题．
15.【答案】(−∞,2)和(2,3)
【解析】【分析】
求出导函数f′(x)，令f′(x)<0即可求出函数f(x)的单调区间．
本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，是基础题．
【解答】
解：∵函数f(x)=exx−2，定义域为{x|x≠2}，
∴f′(x)=ex(x−2)−ex(x−2)2=ex(x−3)(x−2)2，
令f′(x)<0得：x−3<0，
∴x<3，又∵x≠2，
∴函数f(x)=exx−2的单调递减区间是：(−∞,2)和(2,3)，
故答案为：：(−∞,2)和(2,3)．
16.【答案】64
【解析】解：由圆的方程可得(x−2)2+(y+4)2=20，
则圆心C(2,−4)，半径r=2 5，
设A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，A3(x3,y3)，
由A1A2⊥A2A3得A1A3为圆的直径，
x1+x32=2，y1+y32=−4 即x1+x3=4，y1+y3=−8，
则|OA1*OA2+OA2*OA3|=|x2(x1+x3)−y2(y1+y3)|=|4x2+8y2|，
∵A2为圆上一点，
∴当直线4x+8y+b=0与圆(x−2)2+(y+4)2=20相切时有最大值，
∵圆心到直线距离d=|2×4−4×8+b| 42+82=2 5，∴b=64或b=−16，
∵|−16|≤64，
∴当b=64时，原式有最大值64．
故答案为64．
先设A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，A3(x3,y3)，再根据垂直得出A1A3为圆的直径，得x1+x3=4，y1+y3=−8，
求出|OA1*OA2+OA2*OA3|=|x2(x1+x3)−y2(y1+y3)|=|4x2+8y2|，转化为直线4x+8y+b=0与圆(x−2)2+(y+4)2=20相切时有最大值，求出最大值即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查平面向量和差数量积运算，考查转化思想，属于中档题
17.【答案】解：(1)以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意可知圆心在y轴上，即D=0，圆方程化为x2+y2+Ey+F=0，
该圆拱的跨度AB为20m，拱高OP为4m，则P(0,4)，B(10,0)，
所以42+4E+F=0102+F=0，解得E=21F=−100，所求圆的方程为x2+y2+21y−100=0；
(2)根据题意，可得点B2的横坐标为−2，将x=−2代入圆的方程，
可得y2+21y−96=0，解得y=−21+ 441+3842≈3.86(负值舍去)，可得支柱A2B2的高度约为3.86m．
【解析】(1)根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，算出P、B两点的坐标，结合圆心在y轴上，建立方程组解出所求圆的方程；
(2)将x=−2代入(1)中的圆的方程，求出纵坐标，即可得到支柱A2B2的高度．
本题主要考查圆的方程及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为f(t)=18sin(2π3t−π2)=−18cs(2π3t)，
令u=2π3t，则f(t)可以看作y=−18csu和u=2π3t的复合函数，
根据复合函数的求导法则，有f′(t)=(−18csu)′⋅(2π3t)′
=2π3×18sinu=12πsin(2π3t)；
(2)由(1)得f′(3)=12πsin(2π3×3)=0，
它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s．
【解析】(1)利用复合函数的求导法则即可得解；
(2)将t=3代入(1)中导数，再利用导数的意义解释即可．
本题考查了复合函数的求导公式，导数的物理意义，是基础题．
19.【答案】解：(1)根据题意，AB边的中点坐标为(1,2)，其斜率kAB=4−00−2=−2，
所以AB边的垂直平分线的方程为y−2=12(x−1)，即x−2y+3=0，
联立方程组x−2y+3=0x−y+2=0，解得x=−1y=1，可得△ABC的外心D的坐标为(−1,1)．
(2)设C(m,n)，则△ABC的重心为(2+m3,4+n3)，
代入欧拉线方程得2+m3−4+n3+2=0，整理得m−n+4=0，
由(1)的结论，可知△ABC的外心坐标为D(−1,1)，
所以|DC|=|DA|，即 (m+1)2+(n−1)2= (2+1)2+(0−1)2= 10，整理得m2+n2+2m−2n=8，
联立方程组m−n+4=0m2+n2+2m−2n=8，解得m=−4n=0或m=0n=4，
当m=0，n=4时，点B、C重合，不符合题意；故顶点C的坐标是(−4,0)．
【解析】(1)根据题意，AB边的垂直平分线的方程为x−2y+3=0，结合题意解方程组算出三角形ABC外心D的坐标；
(2)设C(m,n)，根据重心坐标公式可得m−n+4=0，结合外心的性质得到m2+n2+2m−2n=8，从而建立关于m、n的方程组，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程及其性质、两条直线垂直与方程的关系、两点间的距离公式、解三角形及其应用等知识，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为椭圆Γ：x26+y22=1，
所以a= 6,b= 2,c= a2−b2=2，
则椭圆Γ的离心率e=ca= 63；
(2)由(1)知F1(−2,0)，F2(2,0)，
若点A的横坐标为2，
不妨设A(2,y0)，
因为点A在椭圆上，
所以46+y022=1，
解得y02=23，
则|AF1|= (2+2)2+y02=5 63；
(3)由(1)可知|M1M2|=2b=2 2,|F1F2|=2c=4，
不妨设B( 6csθ, 2sinθ),sinθcsθ≠0，
此时S1=12| 2sinθ|×4=2 2|sinθ|,S2=12| 6csθ|×2 2=2 3|csθ|，
若S1≥S2，
即2 2|sinθ|≥2 3|csθ|，
整理得|tanθ|≥ 62，
对等式边同时平方得tan2θ≥32，
即1+tan2θ≥52，
则0<11+tan2θ≤25，
因为|OB|= 6cs2θ+2sin2θ= 6cs2θ+2sin2θcs2θ+sin2θ= 6+2tan2θ1+tan2θ= 41+tan2θ+2，
又0<11+tan2θ≤25，
所以|OB|= 41+tan2θ+2∈( 2,3 105],
故|OB|的取值范围为( 2,3 105]．

【解析】(1)由题意，根据椭圆方程求a，b，c，即可得离心率；
(2)设A(2,y0)，代入椭圆方程可得y02=23，利用两点间距离公式运算求解；
(3)设B( 6csθ, 2sinθ),sinθcsθ≠0，结合面积关系可得|tanθ|≥ 62，再利用两点间距离公式结合齐次式问题分析求解．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)易知抛物线y=12x2，
即x2=2y，
可得p=1，
此时p2=12且焦点在y轴正半轴上，
所以抛物线y=12x2的焦点坐标为F(0,12)，准线方程为y=−12；
(2)由(1)知抛物线y=12x2的焦点坐标为F(0,12)，
不妨设D(x0,y0)，x0>0，y0>0，
此时|DF|=y0+12，
易知四边形ABED为等腰梯形，
则四边形ABED周长L=|AB|+|DE|+2|AD|=4+2y0+2|AD|=3+2(|DF|+|AD|)≥3+2|AF|=3+ 73，
当且仅当A，D，F三点共线时，等号成立，
所以四边形ABED周长的最小值为3+ 73；
(3)易知y0=12x02，0此时|DE|=2y0=x02,|AB|=4，梯形ABED的高h=4−x0，
则四边形ABED的面积为SABED=12×(x02+4)(4−x0)，0不妨设f(x)=(x2+4)(4−x)=−x3+4x2−4x+16，函数定义域为(0,4)，
可得f′(x)=−3x2+8x−4，
当0当230，f(x)单调递增；
当2所以当x=23时，函数f(x)取得极小值，极小值f(23)=40027，
当x=2时，函数f(x)取得极大值，极大值f(2)=16，
又f(0)=16，
所以函数f(x)的最大值为16．
故四边形ABED的面积的最大值为8．
【解析】(1)根据抛物线方程可知p=1，进而可取焦点和准线；
(2)设D(x0,y0)，x0>0，y0>0，则|AF|=y0+12，且四边形ABED为等腰梯形，利用抛物线的定义结合图形的性质分析求解；
(3)由(2)可知：y0=12x02，且0本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．