2024届辽宁省沈阳市第四十中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届辽宁省沈阳市第四十中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出集合后可求.
【详解】，
，
∴，∴，
故选：B.
2．下列命题中是假命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数，三角函数，对数函数的性质依次判断，即可得出答案.
【详解】当时，单调递增,
, 恒成立, 单调递减,
所以为真命题；
因为，
故“存在，使”为假命题.
,故C为真命题;
当时，，所以“存在，使”为真命题；
故选:B．
3．音乐是有不同频率的声音组成的，若音1（d）的频率为f，则简谱中七个音1（d）、2（er）、3（mi）、4（fa）、5（s）、6（la）、7（si）组成的音阶频率分别是f、、、、、、．其中相邻两个音的频率比是一个到另一个音的台阶，上述“七声音阶”只有两个不同的值，记为α、β（α＞β），α称为全阶，β称为半音，则下列关系式成立的是（ ）（参考数据：lg2≈0.3010、lg3≈0.4771）
A．α＝2βB．α＝β2
C．|lgα﹣lgβ|＜0.01D．|lgα﹣2lgβ|＜0.01
【答案】D
【分析】由题意先求出相邻两个音的频率比，然后利用对数的运算性质依次判断四个选即可．
【详解】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为：，，故选项A错误，选项B错误；
由0.0287＞0.01，故选项C错误；
|12lg3﹣19lg2|≈0.0062＜0.01，故选项D正确．
故选：D．
4．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由换底公式将对数进行处理，根据对数的性质，可得出；再由指数函数的性质，得到，进而可得出结果.
【详解】由已知得，，
由于，故，
而，故.
故选：B.
【点睛】本题主要考查比较指数与对数的大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于基础题型.
5．已知函数对任意实数都满足，当时，，若，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据可得，再利用函数在上单调递增，即可得出大小关系．
【详解】∵，∴，
∵，在上单调递增，
∴，则.
故选：B.
6．下列图像中，不可能是函数(，且)大致图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由，可得，得到，当，由时，，可判定图像大致为A，当，可判定图像大致为D，当，可判定图像大致为C，即可求解.
【详解】由题意，函数，由，可得，
当，可得，且，则，
可知当时，，函数图像单调递增，
当时，，函数图像单调递减，所以函数图像大致为A，
同理，当、可得，图像大致为D，
对于图像B，由于图像过原点，必有，，
而、，图像为A，、，图像为 D，
所以图像B不可能成为函数的图像，
对于图像 C，根据图像特征，，，
可选择、的，且满足单调性，
不唯一，例如，可得，图像大致为C.
故选：B.
7．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再向下平移1个单位，得到的图象，若，且，则，则，即，，得，当时，取最大值，故选A.
8．已知函数的图像经过，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质求得参数，结合题意构造新函数，利用导数研究其单调性，再根据函数变换规则，结合图象，可得答案.
【详解】由函数的图象经过，则，解得，
令，，
由函数与函数在上单调递增，则函数单调递增，
由，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，，
则函数的图象如下图：
根据函数图象的平移变换，则.
故选：D.
二、多选题
9．已知定义在上的函数满足，，且，当时，都有，则以下判断正确的是（ ）
A．是奇函数B．函数在单调递增
C．是函数的对称轴D．函数的最小正周期是6
【答案】ABC
【分析】由奇函数的定义可判断A选项；由可求出函数的周期；结合周期和奇偶性即可求出对称轴；由可判断出的单调性，结合函数的对称性和周期即可判断函数在的单调性.
【详解】由定义域为， ，即，则函数为奇函数，故A正确；
因为，而，所以，
所以函数的对称轴为，故C选项正确；
因为，所以，所以的最小正周期是12，故D选项不正确；
因为，当时，都有，
则，所以时，为减函数.
因为函数为奇函数，所以时，为减函数，
又因为函数关于对称，所以时，为增函数.
因为的最小正周期是12，所以的单调性与时的单调性相同.
故，时，单调递增，故B选项正确.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断抽象函数的性质，本题的一个难点是选项B，首先条件变形为，判断出的单调性，问题就会迎刃而解.
10．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】将两边同时平方后整理，利用基本不等式构造二次不等式，求出的范围即可．
【详解】解：由，两边同时平方得
，即，
因为平面向量、、为三个单位向量，且，
，
解得．
故选：ABC．
【点睛】关键点：将向量关系两边同时平方，即可用到向量的模和夹角进行计算．
11．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案.
【详解】，故，根据正弦定理：，即，
，故，，.
，化简得到，解得或，
若，故，故，不满足，故.
.
故选：.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域是（0，+）
B．x∈（0，1）时，图象位于x轴下方
C．存在单调递增区间
D．有且仅有两个极值点
【答案】BC
【解析】根据可得定义域，即可判断；通过当时，可判断；
【详解】由题意函数满足，解得且，
所以函数的定义域为，所以A不正确；
由，当时，，
∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；
∵，设，
所以，函数单调增，，，
所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；
则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；
故选：BC.
【点睛】本题主要考考查了求函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题.
三、填空题
13．已知函数和都是奇函数，定义域为，当时，，则 .
【答案】
【分析】函数和都是奇函数，则，
所以函数的周期为4，得.
【详解】由和都是奇函数可知：
，，
则，故是周期为的奇函数，
则，，
则.
故答案为：0.
【点睛】（1）一般地：
若已知函数图像有两个对称点，则的周期为此两对称点距离的两倍；
若已知函数图像有两条对称轴，则的周期为此两对称轴距离的两倍；
若已知函数图像有一个对称点和一条对称轴，则的周期为该点到该对称轴距离的4倍；以上结论可结合正弦函数性质记忆.
（2）在抽象条件下求函数值，通常会利用周期和对称转化到给定区间上，再代入解析式可求值.
14．如图所示，已知函数的图像与轴的交点中，离轴最近的是点，点为图像的一个最高点，若点均在函数的图像上，则 ．
【答案】/
【分析】根据点在轴且在上解出点坐标，根据点为最高点且在上解出点坐标，根据点的横坐标得出与的关系，根据周期关系即可求出.
【详解】令，得，，
轴最近的是点，
，
令，得，，
当时，易得（舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
15．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】由偶函数定义结合对数运算可得，进而整理可得，利用换元法令，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题.
【详解】∵函数是偶函数，则，
故，
∴，则，
可得：，
令，当且仅当，即时等号成立，则，
由题意可得：在上的最小值为，
∵的对称轴为，则有：
若，即时，在上单调递增，当时取到最小值，
则，解得：；
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，当时取到最小值，
则，解得：（舍去）；
综上所述：.
故答案为：.
16．已知中，，，的面积为，若线段的延长线上存在点，使，则 ．
【答案】
【详解】
的面积为，或，若，可得，与三角形内角和定理矛盾，，在中，由余弦定理可得：，，在中，由正弦定理可得：，故答案为.
【方法点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
四、解答题
17．已知，的内角的对边分别为，为锐角，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用诱导公式和倍角公式对函数解析式化简，将代入即可得到答案；
（2）利用余弦定理求得的值，代入三角形面积公式求得三角形的面积.
【详解】（1）函数
，
由得：，
为锐角，
，
；
（2）由余弦定理有，
，，，
，
，
.
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，要求学生对正弦定理和余弦定理公式及变形公式熟练应用，属于基础题.
18．已知的面积为，且满足，设和的夹角为.
（1）求的取值范围；
（2）求函数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由数量积和三角形的面积公式可得的范围，从而求出的取值范围；
（2）化简可得，由的范围和三角函数公式可得答案．
【详解】解：（1）设､､为角､､所对的边，，
由题意可得，
∵的面积为，∴，变形可得，
∴，由，可得，
解得，又∵，∴向量夹角的范围为；
（2）化简可得
，
∵由（1）知，∴，∴，
∴，∴的取值范围为.
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．
19．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．
（1）当p=，b=1时，求a，c的值；
（2）若角B为锐角，求p的取值范围．
【答案】（1）a=1，c=或a=，c=1 （2）＜p＜
【详解】（1）解：由题设并利用正弦定理得
故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，
进而求得a=1，c=或a=，c=1
（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accsB=（a+c）2﹣2ac﹣2accsB=p2b2﹣b2csB﹣，
即p2=+csB，
因为0＜csB＜1，
所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣
又由sinA+sinC=psinB知，p是正数
故＜p＜即为所求
20．已知函数，．
Ⅰ讨论函数的单调区间；
Ⅱ若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1) 当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)
【详解】分析：（1）求导，解不等式，得到增区间，解不等式，得到减区间；
（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值
详解：
（1）在区间上， ，
当时， 恒成立， 在区间上单调递减；
当时，令得，
在区间上，，函数单调递减，
在区间上，，函数单调递增.
综上所述：当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是
（2）因为函数在处取得极值，
所以，解得，经检验可知满足题意
由已知，即，
即对恒成立，
令，
则，
易得在上单调递减，在上单调递增，
所以，即.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为
21．已知函数(且).
（1）若在定义域上为增函数，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）先求导数，再根据单调性转化不等式恒成立，利用参变分离法得的最小值，最后根据函数最值得结果；
（2）根据与0，1，2大小分类讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性，根据单调性确定函数最值取法，即得结果.
【详解】（1）∵定义域为，且，若在定义域上是增函数，
则在上恒成立，即在上恒成立，∴，
由已知，∴实数的取值范围为；
（2）①若，由（1）知在区间上为增函数，
∴在区间上的最小值为，
②若，∵，
∴函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
若，即时，，
∴在区间上为增函数，在的最小值为，
若，即时，在区间为减函数，在上为增函数，
∴在区间上的最小值为，
若，即时，，
∴在区间上为减函数，在的最小值为，
综上所述，当且时，在的最小值为，
当时，在的最小值为，
当时，在的最小值为.
【点睛】本题型是区间动、极值点动的情况.处理技巧是分类为极值点在区间左边，右边，中间三类.也可以类似于二次函数区间定对称轴动的情况.
22．已知函数.
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）证明：且.
【答案】（1）见解析;（2）见解析.
【详解】试题分析：
（1）求导数后令可得，根据与的大小关系可得在区间上的符号，从而可确定函数的单调性．（2）分两部分证明．（ⅰ）时，则，可证得，两边同乘以后可得；（ⅱ）令 ，利用导数可得，从而，故结论得证．
试题解析：
（1）解：∵，
∴．
令，得，
①当，即时，
则，
在上单调递增；
②当，即时，
令，得；令，得.
在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明:
先证．
当时，，
由（1）可得当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
∴，
，
.
再证．
设 ，
则 ，当且仅当时取等号．
设 ，
则，
∴当时，，单调递增；
令，得时，，单调递减．
.
，
又此不等式中两个等号的成立条件不同，故，
从而得证.
综上可得且．
点睛：利用导数证明不等式的方法
（1）根据函数的单调性进行证明．
（2）通过构造函数、求函数的最值进行证明．
①证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)．
②证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＞0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＞0，即证明了f(x)＞g(x)．