2023届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期期中数学试题含解析

2023届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次不等式的求解以及对数函数的定义域结合集合的运算求解即可.

【详解】依题意,,所以,所以.

故选：D

【点睛】本小题考查解一元二次不等式、函数的定义域,集合的交集、补集运算等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算核心素养,体现基础性.属于基础题.

2．若复数，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据虚数的性质以及复数的乘除法运算法则化简复数，根据共轭复数的概念可得其共轭复数，再根据复数的概念可得结果.

【详解】因为，

所以，

所以复数的虚部为.

故选：C.

【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题.

3．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．

【解析】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．

4．已知点是直线与轴的交点,将直线绕点按逆时针方向旋转,得到的直线方程是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】分析：，设直线的倾斜角为，由直线得，利用两角和的正切公式可得，可得直线的斜率，再利用点斜式可得结果.

详解：直线与轴的交点为，

设直线的倾斜角为，则，

，

把直线绕点按逆时针方向旋转，

得到直线的方程是，

化为，故选D.

点睛：本题主要考查直线点斜式方程，斜率计算公式，两角和的正切公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力.  

5．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯()在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（    ）(当较小时，)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】若“天津四”的亮度是，则“心宿二”的亮度是，结合已知公式得，进而求其近似值即可.

【详解】若“天津四”的亮度是，则“心宿二”的亮度是，

∴，即，

∴.

故选：C.

6．已知在处取得极值，则的最小值为（    ）

A． B．3+2 C．3 D．9

【答案】C

【解析】对求导，由在处取得极值，可得，再利用基本不等式可得的最小值.

【详解】解：，

，

因为在处取得极值，

所以即，

则，

当且仅当时取等号，此时取得最小值3.

故选: C.

【知识点】本题主要考查利用导数研究函数的极值、基本不等式的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力及数学计算能力，属于中档题.

7．已知球是三棱锥的外接球，，，点是的中点，且，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先证明平面，求出三角形外接圆的半径，进而求出球的半径，再求出球的表面积．

【详解】解：由，，得．

由点是的中点及，

求得，又，

，所以，

又且，平面，

平面．

球心到底面的距离，

由正弦定理得的外接圆半径，

球的半径为，

球的表面积为．

故选：．

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

8．若，函数（）的值域为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利辅助角公式可得（其中），再利用换元法令，从而得到的取值范围.

【详解】因为（其中）．

令，因为，所以．

因为，且，所以，

故，即．

当时，单调递减，

因为，

所以．

故选D．

【点睛】本题考查辅助角公式、换元法求函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

二、多选题

9．若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】运用不等式的性质，对四个选项逐一分析

【详解】对于A，，，，则，故A错误；

对于B，若，则，即，这与矛盾，故B错误；

对于C，，，，则，故C错误；

对于D，，，故D正确.

故选：AD.

【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式的性质即可，属于基础题．

10．已知函数，关于的性质，以下四个结论中正确的是（    ）

A．是奇函数 B．函数在区间上是增函数

C．有两个零点 D．函数在处取得最小值

【答案】CD

【分析】检验与的关系判断选项A，在对函数求导判断原函数的单调性，判断选项BCD

【详解】

是非奇非偶函数，选项A错误；

当时，，即函数在上单调递减

当或时，，即函数在，上单调递增，故选项B错误；

，，

，而当时，

故有两个零点，故选项C正确，选项D正确

故选：CD.

11．如图，正方体的棱长为1，，，分别为线段，，上的动点（不含端点），则（    ）

A．异面直线与成角可以为

B．当为中点时，存在点，使直线与平面平行

C．当，为中点时，平面截正方体所得的截面面积为

D．存在点，使点与点到平面的距离相等

【答案】BCD

【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：因为//，故与的夹角即为与的夹角，

又当与重合时，取得最大值，为；

当与点重合时，取得最小值，设其为，则，故；

又点不能与重合，故，故A错误；

对B：当为中点时，存在分别为的中点，满足//面，证明如下：

取的中点为，连接，如下所示：

显然//，又面面，故//面；

又易得//，面面，故//面；

又面，故面//面，

又面，故//面，故B正确；

对C：连接，如下所示：

因为////，故面即为平面截正方体所得截面；

又，故该截面为等腰梯形，又，，

故截面面积，故C正确；

对D：连接，取其中点为，如下所示：

要使得点到平面的距离等于点到平面的距离，只需经过的中点，

显然存在这样的点满足要求，故D正确.

故选：BCD.

12．如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（　　）

A． B．数列是等比数列

C． D．

【答案】AB

【分析】由平面向量线性运算和向量共线可得到，由此可确定递推关系式，得到，由此确定B正确；利用等比数列通项公式求得，进而得到，可确定AC正误；利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得，知D错误.

【详解】为中点，，即，

三点共线，，

又，，

化简得：，，

是以为首项，为公比的等比数列，B正确；

，，C错误；

则，A正确；

，D错误.

故选：AB.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列与向量的综合应用问题，解题关键是能够根据平面向量的线性运算和向量共线的性质推导得到数列的递推关系式，由此构造出所需的等比数列进行求解.

三、填空题

13．设等比数列的前项和为，若，则______.

【答案】

【解析】由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可.

【详解】，否则.

∴，

∴.

∴.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式，考查了计算能力，属于中档题.

14．在中，为的中点，若，，，则______．

【答案】

【分析】由的值求出，再利用求出的值，在中利用正弦定理求出与，在中利用余弦定理即可求出答案.

【详解】由得

在中，利用正弦定理得,

在中利用余弦定理得

故答案为：.

15．函数上的点到直线的最短距离是________．

【答案】

【分析】由题意知：平行于且与相切的直线上的切点，即为要找的点，进而应用点线距离公式求最短距离即可.

【详解】要使上的点到直线的最短，则该点切线平行于，

由且，令，

∴，解得（舍）或，

∴切点为，故最短距离为.

故答案为：

四、双空题

16．足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有______.个正六边形的面，若正六边形的边长为，则足球的直径为______.cm(结果保留整数)(参考数据

【答案】     20     22

【分析】首先根据足球表面的规律，设正五边形为块，正六边形为块，列出方程组，解方程组即可.分别计算正六边形和正五边形的面积，从而得到足球的表面积，再利用球体表面积公式即可得到足球的直径.

【详解】因为足球是由正五边形与正六边形构成，

所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，

每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，

而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论.

设正五边形为块，正六边形为块，有题知：

，解得.

所以足球有个正六边形的面.

每个正六边形的面积为.

每个正五边形的面积为.

球的表面积

.

所以，.

所以足球的直径为.

故答案为：，.

【点睛】本题主要通过传统文化背景，考查球体的直径和表面积公式，同时考查了学生理解问题的能力，属于中档题.

五、解答题

17．如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点

(1)证明：平面．

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即证明；

（2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接，．

因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点，

又因为为的中点，所以．

又平面，平面．

所以平面 ．

（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．

所以，，，

设平面的法向量为，

则

令，得

记与平面所成角为，

则．

18．．

已知函数的最小正周期为，且当时，函数的最小值为0．

（I）求函数的表达式；

（II）在△ABC，若，求的值．

【答案】（I）；（II）.

【分析】（1）先根据二倍角和辅助角公式将原式化简，在根据周期计算公式可得的值，然后再根据最小值为0可得m，从而得到函数表达式；

（2）先写出的表达式，求出C，再化简，进而可得sinA的值.

【详解】（I）由题可知，

又函数最小正周期为，即，

所以，

当时，，

所以函数的最小值为m，故m=0，

∴；

（II）∵，

又，

所以，即，

在中，，，

∴，，

∴，又，

∴.

19．已知数列的前项和为，且（，2，3……），数列中，，点在直线上．

(1)求数列，的通项和；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由与的关系推导数列是等比数列，进而求得．由点在直线上推导数列是等差数列，进而求得；

（2）由（1）得，推出，再利用错位相减求得答案．

【详解】（1）∵，

∴当时，，整理得，

∵，∴，

∴数列是等比数列，∴．

∵点在直线上，

∴，即数列是等差数列，又，

∴．

（2）∵，

∴，

，两式相减得：

，

∴．

20．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段 BC与劣弧所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为 S2， 设∠BOC＝2．

（1）当时，求S2﹣S1的值；

（2）经研究发现当S2﹣S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos的值．（求导参考公式：(sin2x)'＝2cos2x，( cos2x)'＝﹣2sin2x）

【答案】（1） ()；（2）

【分析】依题意可得，故，，

，

（1）当时，代入计算可得；

（2）由，

令，，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值；

【详解】解：过点作于点，则为的中点，又为等腰三角形，所以、、三点共线，

，故

（1）时，，，故，

答：当时，求的值为 ()；

（2），

令，

令，得或（舍去）

记，

故，即时，最大，即的值最大，

答：纪念章最美观时，cos的值为．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，三角形面积公式的应用，属于中档题.

21．如图，在多面体中，平面平面，，，，，．

(1)求平面与平面所成二面角的正弦值；

(2)若是棱的中点，对于棱上是否存在一点，使得．若存在，请指出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)不存在，证明见解析.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，先求出平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值，进而求出正弦值；

（2）假设在棱上存在点，使得

则四点共线，记该平面为，在证明面，从而证明出面，即五个点都在平面内，这与为四棱锥矛盾

从而得到对于棱上任意一点，与都不平行.

【详解】（1）在平面上过点作, 为上的点，由于平面平面，，故以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，

，，．

设面的法向量为

则，令，则

设面的一个法向量为

设平面与平面所成二面角为

则

则

故平面与平面所成二面角的正弦值为

（2）不存在

假设在棱上存在点，使得

四点共线，记该平面为

面,面

面

四点都在平面内

共面，且平面即平面

面

五个点都在平面内，这与为四棱锥矛盾

对于棱上任意一点，与都不平行.

22．已知函数．

（1）判断函数在区间上零点的个数，并说明理由．

（2）当时，

①比较与的大小关系，并说明理由；

②证明：．

【答案】（1）有唯一一个零点，理由详见解析；（2）①，证明详见解析；②证明见解析．

【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可判断函数的单调性，结合函数的性质可求函数的零点个数；

（2）①令，然后对其求导，结合导数可研究函数的单调性，进而由函数的取值范围可比较大小；

②结合①的结论，利用分析法分析结论成立的条件，然后利用导数可求．

【详解】（1）因为，所以．

当时，，函数在上单调递增，

所以，且，故在上无零点；

当时，，函数在上单调递减，

又由，

故在区间上有唯一零点；

综上，函数在区间上有唯一一个零点．

（2）①，证明过程如下：

设函数，则，

令，即，解得；

令，即，解得，

所以函数在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，π）上单调递增．

则函数在处取得极小值，亦即最小值，

即，

综上可得，成立；

②要证：ln[f（x）]+1ecosxf（x）﹣cosx成立，

即证明ln（sinx﹣xcosx）（sinx﹣xcosx）ecosx﹣cosx﹣1成立，

因为f（x）在（0，π）上单调递增，，

即sinx﹣xcosx＞0，所以（sinx﹣xcosx）ecosx＞0，

由①知，即有，

有（sinx﹣xcosx）ecosx≥1+ln[（sinx﹣xcosx）ecosx]成立，

当时，成立，

由成立，

此时能取等号，即有成立，

即成立.

【点睛】本题主要运用导数研究考查了函数的零点个数，比较函数式的大小及证明不等式，其中解答中合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于难题．