辽宁省沈阳市新民市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市新民市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考 数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二数学
考试范围：选择性必修一：考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若向量，，不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．已知空间向量，，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．在正方体中，是棱上一点，是棱上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．若两直线与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．3C．D．
5．一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
6．设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（ ）．
A．B．C．D．
7．两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ）
A．B．C．D．
8．两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．设是空间的一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则；
B．则，，两两共面，但，，不可能共面；
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使；
D．则，，一定能构成空间的一个基底
10．已知直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的倾斜角为135°
B．若直线的在两坐标轴的截距相等，则
C．直线与直线垂直，则
D．，原点到直线的距离为5
11．已知圆C的方程为，直线的方程为，下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆相交
C．直线被圆所截最短弦长为
D．存在一个实数，使直线经过圆心
12．在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（ ）
A．直线平面
B．直线平面
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．在四面体中，是棱的中点，且，则的值为 .
14．（忽视切线斜率不存在）过点的圆的切线方程是 .
15．过点作一直线，使它与两已知直线和分别交于两点，若线段被点平分，则直线的方程是 .
16．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程.
18．已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，
(1)若方程C表示圆，求实数m的范围；
(2)在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.

(1)求证：平面PCD；
(2)求平面BPD与平面夹角的余弦值.
20．如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，．
(1)求直线与直线所成角的余弦值；
(2)求点到直线的距离．
21．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，且为棱上一点，与平面所成角的大小为，求的值.
1．C
【分析】根据空间向量的共面定理，列出方程组，结合方程组的解，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，设，可得，解得，
所以向量共面，不符合题意；
对于B中，设，可得，解得
所以向量共面，不符合题意；
对于C中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量不共面，符合题意；
对于D中，设，可得，解得
所以向量共面，不符合题意；
故选：C.
2．C
【分析】先根据数量积的坐标运算解得，进而结合模长公式以及向量夹角公式运算求解.
【详解】由题意可得：，解得，即，
可得，则，
且，可得，
所以与的夹角为.
故选：C.
3．A
【分析】
根据题意，建立空间直角坐标系，写出坐标，根据夹角的向量公式，可得答案.
【详解】由题意，如下图所示建立空间直角坐标系：
设正方体的棱长为，
则，，，，，，
设，，
由，则，由，，
则，解得，所以，
由，则，由，，
则，解得，所以，
由，，
则，，
，设异面直线与的夹角为，
则.
故选：A.
4．A
【分析】根据一般式直线方程垂直的公式，即可求解.
【详解】由题意可知，两直线垂直，则，得.
故选：A
5．C
【分析】求出点关于轴对称点坐标，直线即为反射光线所在直线，由直线方程中令得纵截距．
【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线为.
因为，所以反射光线所在直线的方程为.
令，得反射光线所在直线在轴上的截距为.
故选：C．
6．D
【分析】
先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】联立两直线方程，即，
由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为.
故选：D
7．B
【分析】由两直线平行可推出，再根据平行线间距离公式可计算.
【详解】由题意可得，
再由平行线的距离公式得.
故选：B
8．A
【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．
【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，

则，设点，
由，得，化简并整理得：，
于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，
所以M点的轨迹长为.
故选：A.
9．BCD
【分析】利用空间向量基底的定义可判断AB，，根据空间向量基本定理可判断CD.
【详解】由空间向量基底的定义可知，当，时，所成角不一定为，故A错误；
显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故B正确；
根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确；
在D中，假设向量共面，则，，
化简得，
因为不共面，所以，无解，
所以不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：BCD.
10．AC
【分析】根据直线的斜率与倾斜角、两直线垂直的充要条件以及点到直线的距离公式逐一进行检验即可.
【详解】对于选项A，当时，直线可化为，因为直线的斜率为，所以倾斜角为，故选项A正确；
对于选项B，分别令得到，若截距相等，则有，解得：或，故选项B错误；
对于选项C，由直线垂直的充要条件得：，解得：，故选项C正确；
对于选项D，由点到直线的距离公式可得：原点到直线的距离，令，无解，所以不存在这样的，使得原点到直线的距离为5，故选项D错误，
故选：AC.
11．ABC
【分析】化简直线的方程为，结合方程组的解，可判定A正确；求得圆心到定点的距离，得到点在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B正确；根据圆的性质，得到当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C正确；将圆心坐标代入直线的方程，可判定D不正确.
【详解】对于A项：由直线的方程，可化为，
联立方程组，解得，即直线恒经过定点，所以A正确；
对于B项：由圆的方程，可得圆心，半径，
又由，可得在圆内，所以直线与圆相交，所以B正确；
对于C项：由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，所以C正确；
对于D项：将圆心代入直线的方程，可得，所以不存在一个实数，使得直线过圆心，所以D不正确.
故选：ABC.
12．BCD
【分析】建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，求出相应三棱锥的体积和外接球的表面积，即可得出结论.
【详解】由题意，
在正方体中，棱长为2，P，E，F分别为棱，，BC的中点，为侧面的中心，
建立空间直角坐标系如下图所示，

则,
,
A项，

，
设面的法向量为，
则，即解得：，
当时，，
∵，
∴直线与面不平行，A错误；
B项，

设面的法向量为，
则，即解得：，
当时，，
∵，
∴直线与平面平行，B正确；
C项，

，C正确；
D项，

如图，三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线，

∴为三棱锥外接球的直径，
由几何知识得，
∴三棱锥的外接球表面积为，D正确；
故选：BCD.
13．0
【分析】利用空间向量加减法法则，把用表示出来，即可求出结果.
【详解】
如图所示，因为是棱的中点，
所以，
则，
所以，
故答案为：0.
14．或
【分析】根据给定的圆方程，求出圆心和半径，再利用圆的切线性质求出切线方程作答.
【详解】依题意，圆的圆心，半径，
显然点到直线的距离为1，到直线的距离也为1，
所以过点的圆的切线方程是或.
故答案为：或
15．
【分析】首先设，，根据题意得到，解方程得到，再利用斜截式即可得到答案.
【详解】设，，
因为线段被点平分，所以，
所以，，.
故答案为：
16．
【分析】
由直线与圆的位置关系数形结合计算即可.
【详解】，即过定点，
，即曲线为原点为圆心，2为半径的半圆，
如图所示，设与曲线切于点C，曲线与横轴负半轴交于点B，

则，，故.
故答案为：.
17．或
【分析】设出圆心坐标，代入点，求出圆心，得到标准方程.
【详解】因为圆心在直线上，，
所以设圆心为.
所以圆C的标准方程为.
因为圆C过点，
所以.
解得或-1.
所以圆心C的坐标是或.
所以所求圆C的标准方程是或.
18．(1)(﹣∞，5)
(2)m=4
【分析】(1)将圆的一般方程转化为标准方程，可知半径大于0，即可求出实数m的取值范围；
(2)求出圆心到直线x+2y﹣4=0的距离，结合垂径定理构建勾股定理可求出m的值．
【详解】（1）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，
∴(x﹣1)2+(y﹣2)2=5﹣m，
即5﹣m＞0解得m＜5，
∴实数m的取值范围是(﹣∞，5)．
（2）由第一问可知圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=5﹣m，
圆心(1，2)到直线x+2y﹣4=0的距离，
∵圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，
∴，
解得m=4．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据面面垂直证线面垂直，得平面，再得线线垂直，再根据正三角形三线合一证，最后由线面垂直的判定，证得平面PCD；
（2）建系，用空间向量坐标计算面面夹角的余弦值即可.
【详解】（1）证明：在正方形中，，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为是正三角形，是的中点，所以，
又，，平面，所以平面.
（2）取中点为中点为，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
则，，，，，
所以，.
设平面的法向量为，则
由得
取，则，
由（1）知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.

20．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可；
（2）利用向量法求点到直线的距离即可.
【详解】（1）以A为原点，AB、AD、AE分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，则，，
，
∴直线与直线所成角的余弦值为.
（2）根据（1）可知：，，，
∴，
∴点到直线的距离为：．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：取的中点为，连接、，
因为、分别是、的中点，所以且，
又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，
以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
则，
设平面的一个法向量为，所以，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证；
（2）依题意可得，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得到方程，解得，即可得解；
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接，
因为是的中点，是的中点，所以
又平面，平面，
所以平面
（2）解：因为，所以，所以，故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，即，
故取，设，则
因为直线与平面所成角的大小为，
所以，即
解得，故此时.