2022-2023学年北京市中关村中学知春分校高一下学期阶段调研考试数学试题含解析

2022-2023学年北京市中关村中学知春分校高一下学期阶段调研考试数学试题

一、单选题

1．若，且，则是

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，

，，同时满足，则的终边在三象限．

2．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意得，再由，即可得到答案.

【详解】由于是边上的中点，则.

.

故选：B.

3．将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：根据图像平移即得解析式.

详解：由题意可知，故选．

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.

4．若向量，且，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．0或1

【答案】D

【解析】根据向量的坐标运算,结合垂直时向量的坐标关系,即可求得的值.

【详解】根据向量的坐标运算,可知

因为,由向量垂直的坐标关系可得

,即

解方程可得或

故选:D

【点睛】本题考查了向量的坐标运算,垂直时的坐标运算,属于基础题.

5．设，且，则（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】A

【解析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】因为，且，

则或.

故选：A

【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

6．向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，则 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解.

【详解】设小正方形的边长为，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，

，

因为，所以.

故选：D

7．设是向量，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.

【详解】当时，，推不出

当时，，则

即“”是“”的必要不充分条件

故选：B

【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.

8．若函数()的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设得到，由其图像关于原点对称则，结合已知即可求的最小值.

【详解】由解析式，图象向左平移个单位，则，

∴图象关于原点对称，即 ，得，，

∴当时，的最小值为.

故选：B.

9．在 中，，，． 是 边上的动点，则 的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】假设，根据向量的加法、减法运算，用表示分别出，结合数量积公式以及函数单调性，可得结果.

【详解】设，所以

又，可知

所以

化简可得

又，，

所以

则

即，

又在递增

所以

故

故选：A

10．关于函数有下述四个结论：其中所有正确结论的编号是（    ）

①是偶函数；② 在区间上单调递增；

③的最大值为1；④ 在区间上有3个零点.

A．①② B．②④ C．①④ D．①③

【答案】A

【分析】先化简函数解析式再结合三角函数性质进行求解．

【详解】由函数解析式易得的定义域，

且对任意，有，

为偶函数，故①正确；

当，易得，，

当时，，易知此时单调递增，故②正确；

由函数解析式易得函数在，上的最大值为2，故③错误；

当，函数，有无数解，故④错误．

故选：．

二、填空题

11．函数的最小正周期为_____________.

【答案】

【解析】由题意得，再代入复合三角函数的周期公式求解．

【详解】解：根据复合三角函数的周期公式得，

函数的最小正周期是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．

12．在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则__________．

【答案】

【分析】根据终边关于轴对称的两个角的正弦值互为相反数，得出结论．

【详解】角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，

若，则，

故答案为：．

13．已知，，．若，则实数的值为______．

【答案】

【分析】可求出，然后根据即可得出，然后解出的值即可．

【详解】解：，，且，

，解得．

故答案为：．

14．将函数（，，）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，所得函数的部分图象如图所示，则________．

【答案】

【解析】先写出平移之和的解析式，根据图象最值可得，求出函数周期可求出，再将点代入可求得，即得解析式.

【详解】设向左平移个单位长度得到，则，

则由图可知，且，，，

，

，

，即，

，，

.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：根据三角函数部分图象求解析式的方法：

（1）根据图象的最值可求出；

（2）求出函数的周期，利用求出；

（3）取点代入函数可求得.

15．已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则__________．

【答案】4

【分析】画出图形，利用三角形法则表示出向量，然后根据向量数量积计算即可.

【详解】如图所示：

由，

又在边长为2的正方形中，

所以，

所以，

故答案为：4.

16．已知函数，若不等式在区间上有解，则的最小值为______.

【答案】

【分析】由题意, 当时，≥1能成立，故有，由此求得m的范围.

【详解】∵函数，若不等式在区间上有解，

∴≥1在区间上有解，

即当时，≥1能成立

∵，∴，∴则m的最小值为.

故答案为: .

三、解答题

17．已知函数

(1)求的定义域；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)且.

(2)

【分析】（1）根据函数有意义，得到，进而求得函数的定义域；

（2）由，得到，求得，得出，结合诱导公式，即可求解.

【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得，

即函数的定义域为且.

（2）解：由，其中，

因为，可得，

又因为，可得，

所以，又由

18．已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．

(1)若，与平行且反向，求向量的坐标；

(2)若，且，求与的夹角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出，根据模长求出，求出的坐标；（2）根据向量数量积运算法则列出方程，将代入，求出，从而得到.

【详解】（1）设，由，

解得：，故

（2）由得：

，

因为，

所以，解得：，

因为，

所以

19．已知函数，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．

(1)求的解析式，并写出单调减区间；

(2)求函数在区间上的最值．

条件①：的最小正周期为；

条件②：为奇函数；

条件③：图像的一条对称轴为．

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)，单调增区间为，单调减区间为；

(2)

【分析】（1）若选①②，先由周期求得，再利用奇函数求出即可；若选①③，先由周期求得，再利用对称轴为求出即可；若选②③，举例说明解析式不唯一，不合题意；

（2）根据题意，得到函数的解析式，然后即可得到其值域.

【详解】（1）若选①②，则，解得，又，即，解得，

又，故，则，令，解得；

令，解得，

故单调增区间为，单调减区间为；

若选①③，则，解得，又一条对称轴为，可得，解得，

又，故，则，令，解得；

令，解得，

故单调增区间为，单调减区间为；

若选②③，和均是奇函数，且，可得均满足一条对称轴为，故解析式不唯一，不合题意；

（2）由（1）可知，则，

由，可得，

所以当时，，

当时，.

四、双空题

20．已知函数.

①若，则___________；

②若，使成立，则的最小值是___________.

【答案】         

【分析】①由已知可得，利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值，结合范围，即可得解的值；

②化简已知等式可得，由正弦函数的性质可得，，，结合范围，即可得解的最小值．

【详解】解：①由已知可得，可得，

或，，

，当时，．

②，使成立，

即，

，使，，，

解得，，，

又， 的最小值是．

故答案为：，．

21．在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为，点满足，则______；若点是其内部一点（包含边界），则的最大值是_______．

【答案】     /0.5     /1.5

【分析】由题可得，利用向量的数量积的运算法则即得，然后利用数量积的定义结合正六边形的性质即得.

【详解】由题可知，

∴，

∴，

设向量的夹角为，设在直线的射影为，要使的最大则，因为，如图可知当在处时，最大，

此时.

故答案为：；.

五、解答题

22．已知点，，满足．

(1)求m的值；

(2)设O为坐标原点，动点P满足，求当取最小值时点P的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出，的坐标，再根据数量积的运算律得到，再根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）首先表示出，再根据向量模的坐标计算及二次函数的性质求出的最小值，即可得解；

【详解】（1）解：因为，，，

所以，，

因为，所以，

即，即，

所以，解得；

（2）解：因为，，

所以，，

因为

所以

所以当时，此时，即；

23．建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.

(1)求的表达式；

(2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.

【答案】(1)

(2)8小时

【分析】（1）直接利用函数图像，求出，进而求出的表达式；

（2）利用条件和由（1）中所求结果建立不等式，再借助的图像与性质即可求出结果.

【详解】（1）如图，

因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，

所以，

所以，又，所以，

所以.

（2）根据题设，由（1）得，即，

由的图像得，

解得，

又因为，

当时，，当时，，

所以或,

所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时.

24．已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质．

(1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由；

①；②．

(2)若函数具有性质，求的最小值；

【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见详解；

(2)的最小值为

【分析】（1）①利用反证法结合给定的定义即可说明；②根据题意定义取进行验证即可；

（2）根据函数具有性质进一步推导，然后利用分类讨论的思想即可求出的最小值

【详解】（1）不具有性质，具有性质，理由如下：

①假设具有性质，即存在正数，使得

恒成立，

则对恒成立，

则此时无解，故假设不成立，

所以不具有性质.

②取，则，

即对恒成立，

所以具有性质；

（2）因为函数具有性质，

所以存在正数，使得都有：

恒成立，

令，则对恒成立，

若，取，则，矛盾，

若，取，则，

即，矛盾，

所以，

则当且仅当时，对恒成立，

因为，所以，

所以当时，函数具有性质，

所以的最小值为.