2024届陕西省咸阳市咸阳中学高三上学期第四次阶段测试数学（理）试题含答案

这是一份2024届陕西省咸阳市咸阳中学高三上学期第四次阶段测试数学（理）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则
A．[-1，1]B．[-3，1]C．D．[-1,1）
【答案】D
【分析】先利用被开方数为非负数求得集合N的范围，再求两个集合的交集.
【详解】根据偶次方根被开方数为非负数得，解得.故，所以选D.
【点睛】本小题主要考查偶次方根的被开方数要为非负数，考查两个集合的交集.属于基础题.
2．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用向量的数量积的坐标表示及充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】因为， ，
所以由，解得，
所以，所以“”是“”的必要不充分条件，
即“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则.②若，，则.
③若，，则.④若，，则.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【分析】利用线面平行、线面垂直的性质可判断①；根据已知条件判断线面位置关系，可判断②；利用线面垂直和面面平行的性质可判断③④.
【详解】对于①，若，过作平面，使得，
因为，，，则，因为，，则，故，①对；
对于②，若，，则或或、相交（不一定垂直），②错；
对于③，若，，则，③对；
对于④，若，，则，④对.
故选：A.
4．已知（），若，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造新的函数为奇函数，再根据函数奇偶性的性质得到答案.
【详解】，
为奇函数，则，，
，，
.
故选：D.
5．若的展开式中含有常数项（非零），则正整数的可能值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据二项展开式的通项公式建立方程，求解即可.
【详解】由二项式定理知，
，
因为其含有常数项，即存在，使得
此时，所以时，，
故选：C.
6．已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出正四面体的外接球半径，将正四面体放入正方体中，求出正方体的棱长，即可求得该正四面体的棱长.
【详解】设正四面体的外接球半径为，则， 解得，
将正四面体放入正方体中，设正方体的棱长为，如下图所示：
则，所以，，故该正四面体的棱长为.
故选：C.
7．已知，且，则（ ）
A．有最小值8B．有最小值
C．有最大值8D．有最大值
【答案】A
【分析】根据基本不等式可得，即可由不等式的性质求解.
【详解】由可得，所以，
由于，且，则，故，当且仅当时取等号，
故，因此有最小值8，
故选：A
8．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（ ）
A．，0B．4，C．16，0D．4，0
【答案】D
【分析】利用向量的坐标运算得到|2用θ的三角函数表示化简求最值．
【详解】解：向量，向量，则2（2csθ，2sinθ+1），
所以|22＝（2csθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4csθ+4sinθ＝8﹣8sin（），
所以|22的最大值，最小值分别是：16，0；
所以|2的最大值，最小值分别是4，0；
故选：D．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．
9．等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，可得出的通项公式，再利用裂项相消法可求得.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以，，所以，，
因为，可得，所以，，
所以，，
所以，，即数列为等差数列，
所以，，
所以，，
因此，.
故选：B.
10．已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，由，利用点差法求解.
【详解】解：设，
则，两式相减得，
即，化简得，
又，解得，
所以双曲线的方程为： .
故选：D.
11．若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用导数,判断出函数在时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函数的单调性的性质和存在负的零点,这样可以选出正确答案.
【详解】当时, ,所以函数在时单调递增,由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因此有：,又因为存在负的零点,因此有,综上所述：的取值范围是.
故选C
【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性和零点求参数问题,考查了数学运算能力.
12．已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为，则的最大值为（ ）
A．7B．12C．14D．11
【答案】D
【分析】由，得到AC为圆的直径，设，得到求解.
【详解】解：如图所示：
因为，所以AC为圆的直径，
又，则，
设，则，
所以，
所以，
当时，等号成立，
故选：D
二、填空题
13．若，则 .
【答案】
【分析】利用复数的四则运算法则、共轭复数的定义以及复数的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，
因此，.
故答案为：.
14．设锐角△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求C,然后结合锐角三角形可求B的范围,再结合正弦函数的性质可求.
【详解】∵(acsB+bcsA)=2csinC,
由正弦定理可得,(sinAcsB+sinBcsA)=2sinCsinC,
即sin(A+B)=2sinCsinCsinC,
所以sinC,
∵C为锐角,则C,
由题意可得,,
故,
由正弦定理可得,,
所以c.
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理及和差角公式的运用,考查运算能力,属于中档题.
15．已知数列的前项和为，若，点在直线上.则数列的通项公式是 .
【答案】/
【分析】由已知条件可得出，变形可得，可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，再利用与的关系可求得数列的通项公式.
【详解】由已知可得，
等式两边同时除以可得，即，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，
则，可得，
当时，，
也满足，
故对任意的，.
故答案为：.
16．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .
【答案】/
【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，再次利用导数的几何意义求得的切点，从而得解.
【详解】因为的导数为，则，
所以曲线在处的切线方程为，即，
又切线与曲线相切，设切点为，
因为，所以切线斜率为，解得，
所以，则，解得.
故答案为；.
三、解答题
17．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；
（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.
【详解】（1）因为，
令，解得，
则的单调递增区间是；
（2）因为，
将的图象向右平移个单位长度，
可得．
因为，所以，
所以，则，
即在区间内的值域为．
18．某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮投中的概率均为．
(1)求该同学进行三次投篮恰好有两次投中的概率；
(2)若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X为三次总得分，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算即可；
（2）应用独立事件概率乘积公式结合对立事件的概率公式计算概率，写出分布列计算数学期望即得；
【详解】（1）记该同学进行三次投篮恰好有两次投中为事件“”，
则.
（2）设事件分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，
根据题意可知.
故.
，
，
.
所以于的分布列为：
的数学期望.
19．如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面．

(1)证明：平面
(2)若，在棱上，且，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点A作，证明平面，继而证明，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）过点A作，垂足为H，
∵平面平面，平面平面，
平面，，
∴平面，又∵平面，
∴，∵，∴，
∵，平面，
∴平面.
（2）由（1）知平面，平面，∴,
∴在中，，，，故，
在中，，，，
∴，∴，又∵，，
∴以点A为坐标原点，分别以方向为x轴y轴z轴,建立坐标系如图所示,

则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设与平面所成的角为，,
则，
所以与平面所成的角的正弦值为．
20．已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）直线恒过定点
【分析】（1）设，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；
（2）由题可得，直线的斜率不为，设直线：，，，联立直线与曲线方程，由，则，即可得到，的关系式，再求出直线过定点；
【详解】解：（1）设，代入得：，即
由得：，解得：或（舍去）
故抛物线C的方程为：.
（2）由题可得，直线的斜率不为
设直线：，，
联立，得：，
，，
由，则，即.
于是
，所以
或
当时，
直线：，恒过定点，不合题意，舍去.
当，，直线：，恒过定点
综上可知，直线恒过定点
【点睛】本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义，对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决，以及直线过定点问题，属于中档题．
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)4.
【分析】（1）求导函数，分析导函数的符号，可得出原函数的单调性；
（2）由已知，将不等式分离参数得恒成立，令，求导函数，由（1）得在上单调递增，且，，根据零点存在定理有，使，即有 ，分析导函数的符号得出函数的单调性和最值，从而求得整数的最大值．
【详解】（1）解：由题意知，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：∵，∴，
∴恒成立，令，则；
由（1）知，在上单调递增，且，，
∴，使，即，∴，
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
∴，
∴，∵，且，∴．
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
【答案】（1）：，：；（2），此时.
【详解】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
【解析】坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
23．已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）当时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析： （1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
【解析】不等式选讲.