2024届湖北省重点高中智学联盟高三上学期10月联考数学试题含解析

这是一份2024届湖北省重点高中智学联盟高三上学期10月联考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把集合和中的元素化为统一形式，再进行比较分析即可.
【详解】对于集合，
对于集合，
又因为是奇数，是整数，
所以，则有，
故选：
2．已知命题：，若为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用命题的关系、分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】若命题为真命题，即：，
设，则由二次函数图象与性质知，
当时，最小值为，所以.
因为命题为假命题，所以，
即的取值范围为.
故选：A.
3．已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题目条件得到，由和得到，由得到，从而得到答案.
【详解】因为，，所以，
由得到，则，解得，
由得，整理得，解得，
由得，
综上，.
故选：B
4．已知函数满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意在中分别令、即可得到关于的方程组，解方程组即可.
【详解】因为函数满足，
所以在中分别令、，
可得，
解不等式组得.
故选：A.
5．已知角终边上一点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由任意角三角函数的定义求出，再由诱导公式化简代入即可得出答案.
【详解】因为角终边上一点，所以
.
故选：B.
6．设函数，若关于的不等式有解，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将函数转化为及上两点间距离的平方，求出直线与函数相切的切点，从而求出切点到的距离，得到，结合题干中得到，并求出点坐标，求出实数的值.
【详解】设点，则，
令，，
可知的最小值即为上的点与上的点之间的距离平方的最小值，
若直线与函数的图象相切，设切点的横坐标为，
因为，可得，解得：，
则切点为，且切点在上，故，
点到直线的距离为，所以，
又因为有解，则，
此时点P在上，也在直线在点P处的垂线即直线上，
其中直线在点P处的垂线的斜率为，
所以直线在点P处的垂线方程为：
即点坐标满足，解得，即.
故选：C．
【点睛】方法点睛：由不等式求参数范围常用方法和思路：
1.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
3.数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
7．已知分别为三个内角的对边，且则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由正弦定理及三角恒等变换可得，又因为，所以，即可得，再根据正弦函数的性质求解即可.
【详解】因为，
所以，
即,
，
所以，
，
又因为，
所以，即，
，所以，
又因为，所以，
所以，解得.
故选：D.
8．已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且关于点中心对称.设，若，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性，可得函数的周期性，结合题意，求得函数的值，可得答案.
【详解】由题意可知，且，所以，
则，所以是以4为周期的周期函数.
由可知，，则，
所以，
由得，，
所以，则，所以，
，…，
，
所以.
故选：C.
二、多选题
9．定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（ ）
A．的值域为B．是偶函数
C．存在无理数，使D．对任意有理数，有
【答案】ABD
【分析】由分段函数的解析式求得函数的值域，可判定选项;由偶函数的定义，可判定选项;由函数的解析式可验证选项
【详解】由题意，函数，可得函数的值域为，故正确；
若为有理数,则为有理数，可得
；
若为无理数,则为无理数，可得
，
所以函数为定义域上的偶函数，故正确；
当为无理数，若为有理数，则为无理数，
若为无理数，则可能为有理数，也有可能是无理数，
不满足，所以错误；
对任意有理数，若为有理数，则为有理数，
若为无理数，则为无理数，所以，则正确.
故选：
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，的对称中心的坐标为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则
【答案】ACD
【分析】对于利用函数周期公式求解即可；对于，求出当时，函数的对称中心，即可判定；对于，，求出，利用函数的单调性即可比较大小；对于，求出函数的单调递增区间，结合题中条件列出不等式组，解出结果，再结合周期范围及，即可求出的范围.
【详解】对于当的最小正周期是，
即则，故正确；
对于,当时，，
所以令,解得
，所以函数的对称中心的坐标为，
故错误；
对于，当时，，
，
，
由于正切函数在单调递增，
故，故正确；
对于,令
解得：，
所以函数的单调递增区间为，
又因为在区间上单调递增，
所以解得:，
另一方面，
所以
又因为所以
故，故正确.
故选：
11．设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得(为常数)，则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据题中条件，依次分析选项中的函数是否满足条件，即可得到答案.
【详解】对于,函数的定义域为,值域为，
对任意的,方程，即必有解，
则在其定义域上的均值为2，符合题意；
对于,函数的值域为,对任意的,
方程，即必定有解，
则在其定义域上的均值为2，符合题意；
对于,函数的定义域为，值域为，
当时，，若，
可得，方程无解，不符合题意；
对于,函数的定义域为，值域为，
当时，，
方程化为，方程无解，不符合题意.
故选：
12．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的值可以为（ ）
A．B．4C．D．22
【答案】BC
【分析】根据题意，由导数的几何意义可得切线方程，然后得到，求出函数的值域，即可得到的范围.
【详解】因为，设切点为，
则切线方程为，
将，代入得，，
令，则，
或时，，当时，，
故函数的单增区间为和，的单减区间为，
的极大值为，极小值为，
由题意知，，又为整数，
，，，20，21
故选：BC
三、填空题
13．已知,则函数的最大值与最小值的和为 ．
【答案】16
【分析】根据对勾函数的性质求解即可.
【详解】解：由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，，
所以，
所以.
故答案为：
14．函数的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由正弦型函数的周期计算公式，即可得到结果.
【详解】函数的最小正周期为.
故答案为：
15．若函数且在是减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据复合函数同增异减的单调性性质，分，两种情况讨论，即可确定实数的取值范围.
【详解】因为，令，则，
①当时，单调递减，
因为当时，是减函数，则在上单调递增，
则对称轴且，解得，与矛盾，故此时无解；
②当时，单调递增，
因为当时，是减函数，则在上单调递减，
则对称轴且，解得，
综上，的取值范围为.
故答案为：.
16．有这样一个事实:函数与有三个交点，，在直线上.一般地，我们有结论:对于函数与的图象交点问题，当 时，有三个交点，当时有一个交点，借助导数可以推导:当时有两个交点，当时有一个交点，当时没有交点，先推导出的值，并且求：关于的方程在上只有一个零点，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】当（）时有一个交点时，由题意可知切点在直线上，设切点横坐标为，由导数几何意义可知又，即可求出与，则可转化为，令，结合已知信息求出的取值范围.
【详解】由与，所以与，
当时，先求？的值，有一个交点时，由题意可知切点在直线上，
设切点横坐标为，由导数几何意义可知又，
， ，则 ；
即当时与有一个交点，
由，则，可得，令，则（且），
由提供的信息可得，或，
解得或，
即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是求出当时与有一个交点，再将目标式子转化为.
四、解答题
17．设，，，．
(1)分别求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先化简集合，再利用集合间的基本运算求解即可.
（2）由，可得，然后根据不等式的范围即可得出结果.
【详解】（1），，
又由，得且，
，；
因，
.
（2），，
又，，
，解得，
所以实数的取值范围为.
18．已知函数为上的奇函数，
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)函数在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性求解即可；
（2）利用指数函数的单调性及函数单调性定义证明即可；
（3）利用函数单调性分别求出在区间上的值域，将问题转化为集合的包含关系，建立不等式组求解即可.
【详解】（1）函数是奇函数，
，
即，
整理可得，对于，
解得：.
（2）函数在上单调递增，证明如下：
，
设，且，
则
=，
因为函数在上单调递增，
所以当时，，又，
所以，故函数在上单调递增.
（3）设，
由题意可知，，
由（2）问可知，在时单调递增，
所以
即集合，
又，，
.
19．求值：
(1)
(2)+
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据题意，由辅助角公式化简，结合正弦的二倍角公式，即可得到结果；
（2）根据题意，利用降幂公式化简，结合余弦的和差角公式，即可得到结果.
【详解】（1） =
===
（2）+=
+
+ =
20．现有大小相同的7个红球和8个黑球，一次取出4个.
(1)求恰有一个黑球的概率；
(2)取出红球的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)取出4个球同色，求全为红球的概率.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）由古典概率的公式求解即可；
（2）求出X的可能取值，及其对应的概率，即可求出X的分布列，再由数学期望公式即可求出X的数学期望；
（3）由条件概率公式求解即可.
【详解】（1）记事件A="求恰有一个黑球"，则由古典概型公式可得
；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，
P，P，P，
P，P， X的分布列如下：
0 +1 +2+3+4= =
（3）记事件" 取出4个球同色，求全为红球"，则由条件概率公式有
.
21．在中，，点D在边上，且
(1)若的面积为，求边的长；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由三角形面积公式首先可以求得的长度，然后在中，运用余弦定理即可求解.
（2）设所求角，根据已知条件把图中所有角都用含有的式子表示出来，再设，在和分别运用正弦定理，对比即可得到关于的三角方程，从而即可得解.
【详解】（1）在中，由题意有,
且注意到，，
所以有，解得，
如图所示：
在中，由余弦定理有，
代入数据得，
所以.
（2）由题意，所以设，
则，
设，
在中，由正弦定理有，
代入数据得，
在中，由正弦定理有，
代入数据得，
又，
所以以上两式相比得，即，
所以有 ，
所以，
所以，或
又，且，
所以，
所以解得或.
22．已知：函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)证明：；(参考数据：，
(3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围.（三问直接写出答案，不需要详细解答，参考数据：）
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调区间，进而得到极值情况；
（2）解法1：转化为只需证，构造，，求导得到其单调性，求出，结合，，得到最小值大于0，证明出结论；
解法2：转化为只需证，构造，，求导后得到其单调性，得到，证明出结论；
（3）数形结合可得不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，，
令，可得，列表如下：
的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
（2）解法1：要证，只需证，
设，，
则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，所以，
即在上恒成立，
令，可得，列表如下：
所以，
由于，，
，
所以，从而不等式得证.
解法2：要证，只需证，
设，，
则，
又因为（1）中的的最小值即为极小值，
故，
令得，
从而列表如下：
由于，，
从而，从而不等式得证.
（3）设，开口向下，
由于定义域为，
单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，
其中，故为满足要求的一个整数解，
要想满足不等式的解集中恰有三个整数解，
由数形结合可得，
即，故，
由于，
所以，，
故，
解得.
【点睛】方法点睛：导函数证明不等式或求解参数取值范围等问题上，经常用到不等式放缩，以下是常用的一些不等式，，，，，等.
X
0
1
2
3
4
P
x
0
+
极小值
x
0
+
极小值
x
+
0
极大值