2024湖北省重点高中智学联盟高一上学期10月联考数学试题含解析

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湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高一年级10月联考数 学 试 题命题学校：鄂州高中    命题人：高一数学组    审题人：浠水一中一、单选题（本大题共8小题，共40分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知，且，则集合的个数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由条件分别列举出满足要求的集合，即可得到结果.【详解】由题意可得，集合可能为，共4个.故选：D2. 若命题p：，，则命题是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】，的否定是，.故选：A3. 下列四个结论，正确的是 ①②③④A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④【答案】C【解析】【详解】对于①，因为 ，所以 ，所以 ，故正确；对于 ②，当 ，则 故错误；对于③ ，因为 ,所以 ，故正确；对于④，因为 ，所以 ，所以 ，故错误，故选C.4. 已知，，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过不等式性质和举反例以及必要不充分条件的判定即可得到答案.详解】举例，，满足，但，则正向无法推出；若，且，所以，所以反向可以推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ）A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元一次不等式的解可得，即可根据分式不等式转化为整式不等式进行求解.【详解】由的不等式的解集为可得，故可变形为，不等式等价于，解得，故选：D6. 关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ）A. 或 B. 或C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式，，结合整数解的个数求得的取值范围.【详解】，，当时，不等式的解集为空集.当时，不等式的解集为，区间内有三个整数，所以，当时，不等式的解集为，区间内有三个整数，所以.综上所述，实数的取值范围是或，故选：C，7. 若，且，则的最小值为（    ）A. 3 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用乘“1”法即可求解.【详解】可变形为，所以，当且仅当即，时取等号，故选：C8. 已知方程在上有两个不同的解，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设，且进而得出，结合基本不等式即可求解.【详解】设方程在上的两个根为，且，则设，且，所以，上式等号不成立，所以，所以的取值范围为，故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分）9. 下列命题中，正确的有（    ）A. 若则B. 若则C. 若且则D. 若且则【答案】BC【解析】【分析】当时，可判定A不正确；根据不等式的性质，可判定B正确；根据作差法比较大小，可判定C正确；根据，结合，可判定D不正确.【详解】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，取由且，可得，所以，C正确；对于D中，由，可得，所以，又，所以，所以D不正确.故选：BC10. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ）A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充要条件是“”【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，由“类”的定义代入计算，即可判断ABC，分别验证选项D的充分性以及必要性即可判断D.【详解】由可得，，故A错误；由可得，，故B正确；所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好分成共4类，故，故C正确；若整数，属于同一“类”，则，，则，所以；反之，不妨设，，则，若，则，即，所以整数属于同一“类”；故整数属于同一“类”的充要条件是，即D正确；故选：BCD11. 已知关于的不等式的解集为，则（    ）A. 的解集为B. 的最小值为C. 不等式的解集为D. 的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，将不等式化简可得其解集为，代入计算即可判断ABC，由基本不等式即可判断D.【详解】因为，则，解集为，则，则可化为，解得，所以不等式解集为，故A正确；因为，且，所以当时，取得最小值为，故B正确；因为，则，则不等式的解集为，故C错误；因为，当且仅当时，即时取得等号，故D正确；故选：ABD12. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ）A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1C. 若，则 D. 若n=1，则【答案】BC【解析】【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： .对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；对于C: 若，有，解得：，故C正确；对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确.故选：BC【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.【答案】0或3【解析】【分析】由并集结果推出，则或，求解出m代入集合中验证是否满足条件即可.【详解】，，则或，若，A＝{1，3，}，B＝{1，3}，满足；若，解得或，时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，满足；时，A、B不满足集合中元素的互异性，舍去.综上所述，或3.故答案为：0或3【点睛】本题考查根据集合并集运算结果求参数、集合中元素的互异性，属于基础题.14. 若集合中仅含有一个元素，则实数a的值是________.【答案】0或【解析】【分析】分类讨论和两种情况，再根据集合中只含有一个元素进行求解a值.【详解】依题意得方程有一个解或有两个相等的解，当时，方程即为，有一个解，符合题意；当时，由时一元二次方程有两个相等的实数根，解得.综上所述，a的值是0或.故答案为：0或.【点睛】本题考查了分类讨论思想，由集合中元素的个数求解参数的问题，属于一般难度的题.15. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】根据基本不等式即可求解，进而根据绝对值的性质求解，即可根据最值求解.【详解】即恒成立，由于，所以，当且仅当时等号成立，而，当且仅当时等号成立，故当时，取最小值10，所以，故答案为：16. 已知关于的不等式其中的解集为，若满足其中为整数集，则使得集合中元素个数最少时的取值集合是_______．【答案】【解析】【分析】先对分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出解集确定出，再根据（其中为整数集），写出当集合中元素个数最少时的取值.【详解】分情况讨论：当时，，解得；当时，，，解得或；当时，，解得.因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；当时，，当且仅当时等号成立，所以要使集合中元素个数最少，需要，故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知集合, （1）当时，求， ；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）代入解出一元二次不等式，根据集合交并补即可得到答案；（2）转化为判别式小于0即可.【小问1详解】，当时，，则，或，则，【小问2详解】因为，则，解得.18. （1）已知,且求的最小值;（2）若对,都有成立，求实数取值范围.【答案】（1）18；（2）【解析】【分析】（1）利用乘“1”法即可；（2）分离参数，再利用基本不等式即可.【详解】（1）因为，所以，当且仅当，结合，即时等号成立.（2）因为对,都有成立，即，即对恒成立， 所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，则实数的取值范围.19. 已知集合，（1）若，求实数的取值范围;（2）若, 求实数的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由条件可得，即可求得的值，然后代入检验，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得，分集合为，单元素集合以及双元素集合讨论，即可得到结果.【小问1详解】因为，由可得，则，化简可得，解得或，当时，，则，此时，不满足题意；当时，，则，此时，满足题意；所以.【小问2详解】由可得，，当时，，化简可得，解得；当为单元素集合时，，解得或，当时，，解得，即，不满足；当时，，解得，即，满足；当为双元素集合时，则其两个元素分别是，解得，此时，即，满足；综上所述，.20. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由题意得，当时，，代入上式，得，可得表达式．（2）化简函数y，利用基本不等式求解最小值即可.【小问1详解】由题意得，当时，，代入上式，得所以【小问2详解】，当且仅当，即时取“=”．所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为21. 已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）    （2）或或.【解析】【分析】（1）分讨论求出命题为真命题参数的范围；（2）命题， 一真一假，再分真且假，和真且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案.【小问1详解】命题为真命题：对任意实数都有恒成立，当时，恒成立，当时，则，即，解得，综上的取值范围为.【小问2详解】若为真命题，则，解得或，若真假，则，则，若假真，则，则或，综上，或或.22. 已知函数，.（1）恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求不等式的解集；（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】【分析】（1）将，恒成立，转化为，恒成立求解.（2）由，分，， 讨论求解.（3）由时，得到，令，将问题转化为存在，有两个不等正根求解.【详解】（1）因为，恒成立，所以，恒成立；时，恒成立，满足题意；时，只需，，即；综上，实数的取值范围是；（2）即，当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；（3）时，令，则存在，有四个不等实根，即有四个不等实根，令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应；则存在，有两个不等正根，则，存在，，即存在，，即，且存在，，时，时最大值为，则，由可得，所以实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：含有参数不等式的解法：，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．