湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题学校：鄂南高级中学 命题人：范裕龙 张文瑜 审题人：昜红艳 张俊勇
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的展开式中的系数为（ ）
A．50B．100C．D．
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若函数在上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的数共有（ ）个
A．48B．36C．32D．24
5．已知数列的前项和为，且满足，，则数列的最大项为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线是曲线与的公切线，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．高二年级举行“诵读中国”经典诵读大赛，高二（1）班至高二（4）班每班有1名男生和1名女生参选，现从这8名同学中随机选出2名，下列结果错误的是（ ）
A．“选出的同学都是男生”的选法有6种
B．“选出的同学不是同班同学”的选法有24种
C．“正好选出了一个男生和一个女生”的选法有16种
D．“选出了一个男生和一个女生，且两人不是同班同学”的选法有10种
8．已知函数满足，且为偶函数，当时，，若关于的不等式在上有且只有26个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．高二年级早读时间是7时10分，甲同学每天早上上学有三种方式：步行，骑自行车或乘出租车，概率分别为0.2，0.5，0.3；并且知道他步行，骑自行车或乘出租车时，迟到的概率分别为，，，那么以下正确的是（）
A．甲同学今天早上步行上学与骑自行车上学是互斥事件
B．甲同学今天早上步行上学与骑自行车上学相互独立
C．甲同学迟到的概率是
D．若已经知道他今早迟到了，则他今早是步行上学的概率为
10．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为，数列的前项为，则（ ）
A．B．满足的的最小值为11
C．D．
11．定义在上的函数，其中，记为的从小到大的第个极值点，则以下正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．
C．在区间存在唯一极大值点
D．为等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．等比数列的前项和为，且数列的公比为32，则______．
13．设随机变量，若，则______．
14．如图所示：在一个无限延展的平面上，铺满了边长为1的正方形网格．已知某质点从出发，只能沿着网格线走，每次走一格，且每次向右走的概率为，向上走的概率为，向左走的概率为，向下走的概率为，且每一步之间相互独立．设按最短路径从到达的概率记为，则当取得最大值的时候的取值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知数列的前项和为，其中为正整数．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．（15分）
一个盒子里有大小相同的5个小球，其中2个白球和3个红球．
（1）一次性从盒子中抽3个小球，抽出来的是1个白球和2个红球的概率；
（2）有放回地抽3次小球，每次抽1个，求抽出白球次数的分布列和均值．
17．（15分）
已知二项式，且其二项式系数之和为64．
（1）求和；
（2）求；
（3）求．
18．（17分）
已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
19．（17分）
已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式．
（3）在（2）的条件下，证明：
湖北省重点高中智学联盟2024年春季高二年级5月联考
数学参考答案
一、选择题：
1．【详解】，故选：C．
2．【详解】由，则，解得，所以，由，解得，所以，所以．故选：A．
3．【详解】在上的平均变化率为，令；则；故选：A．
4．【详解】分成两类：①个位是0，有；②个位是5，先填百位再填个位，有种，故一共有36种；故选：B．
5．【详解】因为，所以是以1为公差的等差数列，
又，所以，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以当时，，当时，，
故数列的最大项为．
6．【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，
由于，，
所以，，，，
所以由点在切线上，得切线方程为，
由点在切线上，得切线方程为，
故解得，．
．故选：B．
7．【详解】“选出了一个男生和一个女生，且两人不是同班同学”的选法有种，故选：D．
8．【详解】函数是以4为周期的周期函数，当时，，所以，
当时，，函数递增；当时，，函数递减；
当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，因为，，所以，
因为不等式在上有且只有26个整数解，
所以不等式在上有且只有1个整数解，
当时，不符合题意，故不等式在上有且只有1个整数解为3，
又因为共有25个周期，整数解个数为个，则；故选：B．
二、选择题：
9．【详解】由互斥的定义知，A项正确，
由事件相互独立的定义知，B项错误；
设“甲同学迟到”；“步行”；“骑自行车”；“乘出租车”，
则，，，，，
由全概率公式得：
．C项错误；
由题意可知所求概率为，
由贝叶斯公式得：；D项正确．
10．【详解】数列1，3第次拓展后的项数为，则，，
根据拓展规则可知，，即，
数列是等比数列，首项为2，公比为2，
，即；故A项错误；
由，即，解得，故B项正确；
根据拓展规则可知，，
，又，数列是等比数列，
首项为6，公比为3，，所以；故C项错误；
，故D项正确．
11．【详解】，
其中，，；
当时，在处的切线斜率为，故A项错误；
令，由得，
当，，；
当，，；
因此，当，时，取得极值，所以，
，，故B项正确；
当，，则在单调递减，
唯一，使；，；，；
故在区间存在唯一极大值点；故C项正确；
；
是常数；故D项正确．
三、填空题：
12．【详解】设的公比为，则的公比为，则的公比为2，则．
13．【详解】．
14．【详解】设，
则
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
故当时，取得最大值．
四、解答题：
15．解：（1）当时，，
而当时，满足．
故，．
（2）．
故．
16．解：（1）设抽出来的是1个白球和2个红球的事件为，
则总体事件数为：，
满足条件的为：，
．
（2）每一次抽出白球的概率为．
的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
的分布列为：
故．
17．解：（1）二项式系数之和，则，
展开式的通项，
其中为前面的系数，令，则．
（2），则．
（3）对二项式两边求导，．
令，则，
故．
18．解：（1）设双曲线的焦距为，且，
因为到直线的距离为，故，
则．故双曲线的方程为：．
（2）（ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程，则
因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，
故的取值范围为．
（3）（ⅱ）由（ⅰ）知，
原点到直线的距离
设，，联立，则，
，，，
则，
而，
令，则，
当即时取到等号．
综上所述，的最大值为．
19．解：（1）
①若，当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
②若，则，则在上单调递增
③若，当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
综上所述：
①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，则在上单调递增；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，，，切点
切线斜率：，故切线方程为：
联立得：
化简得：
因式分解得：．
故
上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故
，则是以为首项，以为公比的等比数列
故，故
（3）构造，
，故在上单调递减，故
故当时，
故
则，，……，
将上式累加，得
故
故题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
B
C
B
D
B
题号
9
10
11
答案
AD
BD
BCD
0
1
2
3