2023-2024学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．实数4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．D．±2
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（ ）
A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）
3．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13B．
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A+∠B＝∠C
4．下列数中﹣4，，3.1415，﹣3π，3.030030003…中，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．下列计算中，结果错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x+1上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定
7．一次函数y1＝ax+b与正比例函数y2＝﹣bx在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
9．在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（ ）
①物体的拉力随着重力的增加而增大；
②当物体的重力G＝7N时，拉力F＝2.2N；
③拉力F与重力G成正比例函数关系；
④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N．
A．①②B．②④C．①④D．③④
10．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C（1，0），D（4，0），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）
11．若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为 ．
12．已知点P（2﹣a，a﹣3）在y轴上，则a＝ ．
13．如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ．
14．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ．
15．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要 小时．
16．如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3⋯＝∠MAnAn+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A2023的坐标为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）（x﹣4）2﹣9＝0；
（2）（x+1）3＝﹣27．
19．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）．
（1）点B的坐标为（ ， ），点C的坐标为（ ， ）．
（2）△ABC的面积是 ．
（3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是 ．
21．如图，学校准备在阴影部分修建草坪，经施工人员测量，∠ADC＝90°，AD＝8米，CD＝6米，AB＝26米，BC＝24米．
（1）判断△ABC的形状并证明．
（2）求草坪（阴影部分）的面积．
22．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（﹣1，3）在该图象上，连接OC．
（1）求函数y＝kx+b的关系式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P为x轴上一动点，若S△ACP＝3S△AOB，求点P的坐标．
23．某校八年级开展了《为家人选择合适的手机套餐》项目学习．小露收集并整理奶奶近六个月的话费账单，根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机套餐．甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计；乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计．
（1）每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：y甲＝，y乙＝ （x≥0）．（填写最简结果）
（2）为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．
①写出图中A点表示的实际意义．
②如果从节省费用的角度考虑，应如何选择套餐？
24．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵
∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）＝ ，＝ ．
（2）化简：．
（3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值．
25．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥I交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝kx+2分别与y轴，x轴交于点A、B（﹣1，0）．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，求点E的坐标；
（3）将直线l1绕点A旋转45°得到l2，求l2的函数表达式．
26．△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点．
【探究发现】（1）如图1，点D在边AB下方，∠ADB＝90°．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段AD、BD、CD之间的数量关系．他们的思路是这样的，作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．易证△ADC≌△BEC．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出△ADC≌△BEC的证明过程．
【迁移运用】（2）如图2，点D在边AB上方，∠ADB＝90°．猜想线段AD、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论．
【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，若AD＝2，CD＝4，请直接写出BD的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
1．实数4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．D．±2
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
即±＝±2．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（ ）
A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）
【分析】根据各象限点的坐标规律进行判断即可．
解：第四象限点的坐标特征是：横坐标大于零，纵坐标小于零．
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标特征，若P（x，y）在第四象限，则x＞0，y＜0．
3．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13B．
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A+∠B＝∠C
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
解：A．设a＝5k，b＝12k，c＝13k，
∵（5k）2+（12k）2＝（13k）2，
∴a2+b2＝c2，
故△ABC是直角三角形；
B．设a＝k，b＝k，c＝k，
∵k2+（k）2＝（k）2，
∴a2+b2＝c2，
故△ABC是直角三角形；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
B．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．下列数中﹣4，，3.1415，﹣3π，3.030030003…中，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：﹣4，，3.1415是有理数，无理数有：﹣3π，3.030303……共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数．
5．下列计算中，结果错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法和乘方法则对各项进行运算即可．
解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、5﹣2＝3，故B不符合题意；
C、÷＝，故C不符合题意；
D、（﹣）2＝2，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x+1上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定
【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜3，即可得出y1＞y2．
解：∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x+1上，且﹣2＜3，
∴y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
7．一次函数y1＝ax+b与正比例函数y2＝﹣bx在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
解：A、若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，y＝﹣bx经过二、四象限，
B、a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，y＝﹣bx经过一、三象限，
C、若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，y＝﹣bx经过二、四象限，
D、若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，y＝﹣bx经过一、三象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
8．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为（3+1）×3＝12，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是13．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．
9．在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（ ）
①物体的拉力随着重力的增加而增大；
②当物体的重力G＝7N时，拉力F＝2.2N；
③拉力F与重力G成正比例函数关系；
④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N．
A．①②B．②④C．①④D．③④
【分析】由函数图象直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把G＝7代入函数解析式求值即可判断②．
解：由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，
故①正确；
∵拉力F是重力G的一次函数，
∴设拉力F与重力G的函数解析式为F＝kG+b（k≠0），
则，
解得：，
∴拉力F与重力G的函数解析式为F＝0.2G+0.5，
当G＝7时，F＝0.2×7+0.5＝1.9，
故②错误；
由图象知，拉力F是重力G的一次函数，
故③错误；
∵G＝0时，F＝0.5，
故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．
10．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C（1，0），D（4，0），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．
【分析】将线段BD向下平移到AE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点C关于y轴的对称点C'，则C'（﹣1，0），进而得出AC+BD的最小值为EC'，即可求解答案．
解：如图，将线段BD向下平移到AE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′，
则E（4，﹣2），C′（﹣1，0），AC+BD＝C′A+AE≥EC′，
EC′＝＝，
∴AC+BD的最小值为．
故选：D．
【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，坐标与图形性质，将AC+BD的最小值转化为EC'是解本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）
11．若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为 （4，3） ．
【分析】由（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，可得教室里第4列第3排的位置的表示方法，从而可得答案．
解：∵（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，
∴教室里第4列第3排的位置可以表示为（4，3）．
故答案为：（4，3）．
【点评】本题考查的是利用有序实数对表示位置，理解题意，理解有序实数对的含义是解本题的关键．
12．已知点P（2﹣a，a﹣3）在y轴上，则a＝ 2 ．
【分析】根据y轴上的点横坐标为0可得2﹣a＝0，然后进行计算即可解答．
解：∵点P（2﹣a，a﹣3）在y轴上，
∴2﹣a＝0，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
13．如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 x＝﹣2 ．
【分析】根据交点坐标直接写出方程的解即可．
解：函数y＝﹣2x与y＝kx+b的图象交于点A（﹣2，4），
∴关于x的方程kx+b+2x＝0的解为x＝﹣2．
故答案为x＝﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的方法确定方程的解．
14．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ．
【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．
解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解．
15．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要 1.5 小时．
【分析】利用待定系数法求出乙离开A城的距离y与x的关系式，再根据题意列出方程，解方程得到答案．
解：设乙离开A城的距离y与x的关系式为：y＝kx+b，
把（1，0）和（4，300）代入解析式，得，
解得：，
所以乙离开A城的距离y与x的关系式为：y＝100x﹣100；
当乙追上甲车时，60x＝100x﹣100，
解得：x＝2.5，2.5﹣1＝1.5（小时），
答：乙出发后1.5小时追上甲车．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查的是一次函数的应用，灵活运用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
16．如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3⋯＝∠MAnAn+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A2023的坐标为 （﹣1，2﹣21011） ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
解：观察图象可知，点的位置是8个点一个循环，
∴A2023与A7，A15的位置都在第三象限，且在直线x＝﹣1上，
∵第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为，…，第n个等腰直角三角形的边长为（）n﹣1，
∴第2023个等腰直角三角形的边长为（）2022，可得A2022M＝（）2022，
∴A2023（﹣1，2﹣21011），
故答案为：（﹣1，2﹣21011）．
【点评】本题考查勾股定理，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后进行二次根式的乘法运算，最后合并即可．
解：（1）原式＝2﹣+
＝；
（2）原式＝+﹣×
＝2+﹣
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
18．解方程：
（1）（x﹣4）2﹣9＝0；
（2）（x+1）3＝﹣27．
【分析】根据平方根与立方根的定义进行解题即可．
解：（1）（x﹣4）2﹣9＝0，
（x﹣4）2＝9，
x﹣4＝±3，
x＝7或1．
（2）（x+1）3＝﹣27，
x+1＝﹣3，
x＝﹣4．
【点评】本题考查立方根与平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
19．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
【分析】设AB＝x，在Rt△ACE中根据勾股定理列方程求解即可．
解：设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得：
在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC2＝AE2+CE2，
∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92，
∴x＝13．
答：旗杆AB的高度为13米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．
20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）．
（1）点B的坐标为（ 3 ， 0 ），点C的坐标为（ ﹣2 ， 5 ）．
（2）△ABC的面积是 10 ．
（3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是 2 ．
【分析】（1）根据坐标系写出答案即可；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积可得△ABC的面积；
（3）首先确定C'位置，然后再利用勾股定理计算即可．
解：（1）点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（﹣2，5），
故答案为：3；0；﹣2；5；
（2））△ABC的面积是：7×5﹣3×7﹣2×2﹣×5×5＝35﹣10.5﹣2﹣12.5＝10，
故答案为：10；
（3）A、C'两点之间的距离是：＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称、三角形面积，以及勾股定理的应用，关键是正确确定C′点位置．
21．如图，学校准备在阴影部分修建草坪，经施工人员测量，∠ADC＝90°，AD＝8米，CD＝6米，AB＝26米，BC＝24米．
（1）判断△ABC的形状并证明．
（2）求草坪（阴影部分）的面积．
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC＝10米，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形；
（2）根据直角三角形的面积公式，利用草坪（阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S△ACD进行计算．
解：（1）△ABC为直角三角形．
理由如下：
∵∠ADC＝90°，AD＝8米，CD＝6米，
∴AC＝＝10（米），
在△ABC中，∵AC＝10米，AB＝26米，BC＝24米，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）草坪（阴影部分）的面积
＝S△ABC﹣S△ACD
＝×10×24﹣×6×8
＝96（米2）．
答：草坪（阴影部分）的面积为96米2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用：会应用勾股定理进行几何计算，利用勾股定理的逆定理证明直角三角形．
22．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（﹣1，3）在该图象上，连接OC．
（1）求函数y＝kx+b的关系式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P为x轴上一动点，若S△ACP＝3S△AOB，求点P的坐标．
【分析】（1）把B（0，2）、C（﹣1，3）代入到y＝kx+b中进行求解即可；
（2）先求解A的坐标，再结合B的坐标，直接利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）设点P的坐标为（m，0），根据S△ACP＝6得到，由此求解即可．
解：（1）把B（0，2）、C（﹣1，3）代入到y＝kx+b中得：，
∴，
∴函数y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+2；
（2）把y＝0代入y＝﹣x+2，
∴x＝2，即A（2，0），
∵B（0，2），
∴．
（3）设点P的坐标为（m，0），A（2，0），C（﹣1，3），
∴AP＝|m﹣2|，
∵S△ACP＝3S△AOB＝6，
∴，
∴，
∴m＝6或m＝﹣2，
∴点P的坐标为（6，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形的面积，求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
23．某校八年级开展了《为家人选择合适的手机套餐》项目学习．小露收集并整理奶奶近六个月的话费账单，根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机套餐．甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计；乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计．
（1）每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：y甲＝，y乙＝ 0.1x+29 （x≥0）．（填写最简结果）
（2）为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．
①写出图中A点表示的实际意义．
②如果从节省费用的角度考虑，应如何选择套餐？
【分析】（1）根据两种套餐的收费标准，列出函数关系式即可；
（2）①由自变量，因变量的意义可得A的实际意义；
②观察图象可得答案．
解：（1）当0≤x≤30时，y甲＝8，当x＞30时，y甲＝8+0.25（x﹣30）＝0.25x+0.5；
∴y甲＝；
y乙＝0.1x+29；
故答案为：0.1x+29；
（2）①A点表示的实际意义是通话时间为190分钟时，甲，乙套餐的资费都是48元；
②由图形可知，当0≤x＜190时，选甲套餐费用少，
当x＝190时，两种套餐费用相同；
当x＞190时，选乙套餐费用少．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵
∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）＝ ，＝ （﹣） ．
（2）化简：．
（3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值．
【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）根据小明的分析过程，a﹣1＝得a2﹣2a＝1，可求出代数式的值．
解：（1）原式＝＝，原式＝＝（﹣），
故答案为：，（﹣），
（2）原式＝（﹣+﹣+...+﹣）
＝（﹣3+11）
＝4；
（2）a＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴原式＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键．
25．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥I交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝kx+2分别与y轴，x轴交于点A、B（﹣1，0）．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，求点E的坐标；
（3）将直线l1绕点A旋转45°得到l2，求l2的函数表达式．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）过点C作EF⊥y轴交于点F，证明△EAF≌△ABO，据此即可求解；
（3）当直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2时，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，证明△BCD≌△ABO，求得C（﹣3，1），利用待定系数法即可求解；当直线l1绕点A逆时针旋转45°得到l2时，同理可求．
解：（1）将点B的坐标代入y＝kx+2得：0＝﹣k+2，解得：k＝2，则该函数的表达式为：y＝2x+2，
令x＝0，则y＝2；
∴A（0，2），
即k＝2，点A（0，2）；
（2）过点E作EF⊥y轴交于点F，
∵∠BAE＝90°，AE＝AB，
∴由K型全等模型可得△EAF≌△ABO，
∴EF＝OA＝2，AF＝OB＝1，则OF＝2+1＝3，
∴点E的坐标为（﹣2，3）；
（3）当直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2时，
过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，
∵∠CAB＝45°，BC⊥AB，
∴BC＝AB，
∴由K型全等模型可得△BCD≌△ABO，
∵y＝2x+2与x轴的交点B（﹣1，0），A（0，2），
∴CD＝1，BD＝2，
∴C（﹣3，1），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y＝x+2；
当直线l1绕点A逆时针旋转45°得到l2时，
同理可得y＝﹣3x+2；
综上所述：直线l2的解析式为y＝x+2或y＝﹣3x+2．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，正确利用模型是解题的关键．
26．△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点．
【探究发现】（1）如图1，点D在边AB下方，∠ADB＝90°．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段AD、BD、CD之间的数量关系．他们的思路是这样的，作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．易证△ADC≌△BEC．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出△ADC≌△BEC的证明过程．
【迁移运用】（2）如图2，点D在边AB上方，∠ADB＝90°．猜想线段AD、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论．
【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，若AD＝2，CD＝4，请直接写出BD的值．
【分析】（1）作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE，因为∠ACD＝∠ECB，又AC＝BC，即可证明∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）由（1）知∴△ADC≌△BEC，则BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，勾股定理可得CE2+CD2＝DE2，又DE2＝2AD2，CE＝BD，即可得出结论；
（3）如图，过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接DE，AE，证明△BAD≌△CAE（SAS），可得AE＝BD，然后在Rt△ADE中根据勾股定理，即可求解．
【解答】（1）证明：作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．
∵∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠ECB，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△BEC（SAS）．
（2）BD2+CD2＝2AD2．
证明：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴CE2+CD2＝DE2，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴DE2＝2AD2，
∴CE2+CD2＝2AD2．
∵CE＝BD，
∴BD2+CD2＝2AD2．
（3）解：如图，过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接DE，AE
∴DE＝
∵∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
在△BCD和△CAE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD．
∵∠ADC＝45°，∠EDC＝45°，
∴∠EDA＝90°．
∴AE2＝AD2+DE2＝＝36，
∴AE＝6
∴BD＝6．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．