2023-2024学年山东省济南市市中区八年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省济南市市中区八年级(上)期中数学试卷(解析版)，共20页。
1. 实数4的平方根是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】实数4的平方根由两个，即或，
故选：D．
2. 如图，在平面直角坐标系中，被一团㙠水覆盖住的点的坐标有可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A. 在第四象限，故A符合题意；
B. 在第二象限，故B不符合题意；
C. 在第三象限，故C不符合题意；
D. 在第一象限，故D不符合题意．
故选：A．
3. 在中a，b，c分别是的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，
∵，
∴，是直角三角形，故A不符合要求；
设，
∵，
∴，是直角三角形，故B不符合要求；
∵，
∴，不是直角三角形，故C符合要求；
∵，
∴，是直角三角形，故D不符合要求；
故选：C．
4. 下列数中-4，，3.1415，-3π，3.030030003…中，无理数的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】无理数有：-3π，3.030030003…共2个.
故选B.
5. 下列计算中，结果错误的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】A．与不能合并，所以A选项的计算错误；
B．，所以B选项的计算正确；
C．=，所以C选项的计算正确；
D．，所以D选项的计算正确；
故选∶A．
6. 已知点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】∵，，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选C．
7. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，故不合题意；
B、，，则经过一、三、四象限，经过一、三象限，故不合题意；
C、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，故符合题意；
D、若，，则经过二、三、四象限，经过一、三象限，故不合题意；
故选：C．
8. 如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程长为（ ）

A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】D
【解析】如图所示，

∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13．
故选：D．
9. 在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如下图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像判断以下结论正确的序号有（ ）
①物体的拉力随着重力的增加而增大；
②当物体的重力N时，拉力N；
③拉力F与重力G成正比例函数关系；
④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N．
A. ①②B. ②④C. ①④D. ③④
【答案】C
【解析】由图像可知，拉力F随着重力的增加而增大，
故①正确；
∵拉力F是重力G的一次函数，
∴设拉力F与重力G的函数解析式为F=kG+b（k≠0），
则 ，
解得： ，
∴拉力F与重力G的函数解析式为F=0.2G+0.5，
当G=7时，F=0.2×7+0.5=1.9，
故②错误；
由图像知，拉力F是重力G的一次函数，
故③错误；
∵G=0时，F=0.5，
故④正确．
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点B在点A上面）在y轴上移动，，，连接，，则的最小值为（ ）

A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】将向下平移到的位置，作点关于轴的对称点，连接，，，，则，如下图：

由平移的性质知：，，
∴四边形为平行四边形．
∴，
∵在轴上，
∴轴，
∵与关于轴对称，
∴，
∴，
在中，，
当、、三点共线时，，此时最小，即最小，最小值为
∵，，
∴，
∴在中，，
则的最小值为．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．）
11. 若表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为___________．
【答案】
【解析】∵表示教室里第1列第2排的位置，
∴教室里第4列第3排的位置可以表示为．
故答案为：．
12. 已知点在y轴上，则_____．
【答案】2
【解析】点在y轴上，
，
解得：，
故答案为：2．
13. 如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是______．
【答案】x＝-2
【解析】将变形为，
的解为一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标，
观察图象可知，的解为x＝-2，
即的解为x＝-2，
故答案为：x＝-2．
14. 小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图.当输入x的值是64时，输出的y值是______.
【答案】
【解析】当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．
故答案为．
15. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要__________小时．
【答案】
【解析】设乙离开A城的距离y与x的关系式为：，
把和代入解析式，得，
解得：，
所以乙离开A城的距离y与x的关系式为：；
当乙追上甲车时，，
解得：，
（小时），
答：乙出发后小时追上甲车．
故答案为：．
16. 如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（n为正整数），若M点的坐标是，的坐标是，则的坐标为_____．

【答案】
【解析】观察图象可知，点的位置是8个点一个循环，
与的位置都在第三象限，且在直线上，
第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为，…，第n个等腰直角三角形的边长为，
第2023个等腰直角三角形的边长为，可得，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
18. 解方程：
（1）；
（2）
解：（1），
，
，
或．
（2），
，
．
19. 学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．

解：设，根据题意得：
在中，，
即：，
解得：．
答：旗杆的高度为13米．
20. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点A的坐标是．

（1）点B的坐标为（______，_______），点C的坐标为（_______，_____）．
（2）的面积是______．
（3）作点C关于y轴的对称点，那么A、两点之间的距离是_______．
解：（1）点B的坐标为，点C的坐标为，
故答案为：3；0；；5；
（2）的面积是：，
故答案为：10；
（3）A、两点之间的距离是：，
故答案为：．

21. 如图，学校准备在阴影部分修建草坪，经施工人员测量，，米，米，米，米．
（1）判断的形状并证明．
（2）求草坪（阴影部分）的面积．
解：（1）为直角三角形．
理由如下：
∵，米，米，
∴（米），
在中，∵米，米，米，
∴，
∴为直角三角形，；
（2）草坪（阴影部分）的面积
（平方米）．
答：草坪（阴影部分）的面积为96平方米．
22. 一次函数的图象与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点．已知点在该图象上，连接．

（1）求函数的关系式；
（2）求的面积
（3）点 P 为 x 轴上一动点，若，求点 P的坐标．
解：（1）把、代入到中得：，
∴，
∴函数的解析式为；
（2）把代入，
∴，即，
∵，
∴．
（3）设点P的坐标为，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或．
23. 某校八年级开展了《为家人选择合适的手机套餐》项目学习．小露收集并整理奶奶近六个月的话费账单，根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机套餐．甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计；乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计．
（1）每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：， ______（填写最简结果）
（2）为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．
①写出图中A点表示的实际意义．
②如果从节省费用的角度考虑，应如何选择套餐？
解：（1）当时，，当时，；
；
；
故答案为：；
（2）①A点表示的实际意义是通话时间为190分钟时，甲，乙套餐的资费都是48元；
②由图形可知，当时，选甲套餐费用少，
当时，两种套餐费用相同；
当时，选乙套餐费用少．
24. 小明在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）____，_____．
（2）化简：．
（3）若，请按照小明的方法求出的值．
解：（1），
，
故答案为：，；
（2）
；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、（，）．

（1）求的值和点的坐标；
（2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标；
（3）将直线绕点旋转得到，求函数表达式．
解：（1）将点的坐标代入中得：，解得：，
则该函数的表达式为：，
令，则，
点，
即，点(，)；
（2）过点作轴交于点，
，，
由型全等模型可得，
，，则，
点的坐标为(，)；
（3）当直线绕点顺时针旋转得到时，过点作交直线于点，过点作轴交于点，
，，
，
由型全等模型可得，
与轴的交点(，)，(，)，
，，
(，)，
设直线的解析式为，
，
解得： ，
；
当直线绕点逆时针旋转得到时，
同理可得．
综上所述：直线的解析式为或．
26. 中，，，D为外一点．
（1）【探究发现】如图1，点D在边下方，．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段、、之间的数量关系．他们的思路是这样的，作，取，连接．易证．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出的证明过程．
（2）【迁移运用】如图2，点D在边上方，．猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【延伸拓展】如图3，在四边形中，，若，，请直接写出的值．
证明：（1）作，取，连接．
∵，
∴，
∵，，，
∴．
（2）解：，证明如下．
证明：在上截取，使，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点C作，使，连接，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴