2024届上海市杨浦区同济大学第一附属中学高三上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市杨浦区同济大学第一附属中学高三上学期开学考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据集合并集运算，结合数轴即可得到结果.
【详解】由题意知，可得.
故答案为：
2．若幂函数在单调递减，则
【答案】
【解析】幂函数具有的形式
【详解】为幂函数
故，故或
或
在单调递减，故
故答案为：
3．若复数满足，则其实部 .
【答案】2
【分析】根据复数相等的知识求得，进而求得的实部.
【详解】设，
依题意，，
即，所以，解得，
所以的实部为.
故答案为：
4．若，则 .
【答案】/
【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
，而为锐角，所以.
故答案为：
5．函数的单调递减区间是 ．
【答案】
【分析】先求定义域，然后根据复合函数单调性可得.
【详解】由，即解得，
令，
由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又因为为增函数，
所以，由复合函数单调性可知，的单调递减区间是.
故答案为：
6．已知点是的中线上一点（不含端点），且，则满足的等式是 .
【答案】
【分析】把用向量表示出来，利用三点共线可求答案.
【详解】因为，所以，
又三点共线，所以.
故答案为：.
7．函数的部分图象如图，若，且，则 .
【答案】
【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】，，则，
又且，则，
，
，则，即，
又，所以.
故答案为：
8．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据两直线垂直可得，代入离心率计算公式可得.
【详解】易知直线的斜率为2，
双曲线的一条渐近线与直线垂直.
所以双曲线的渐近线方程为，即
得，
则离心率.
故答案为：
9．已知函数，若正实数满足，则的最小值为 .
【答案】16
【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由函数，
设，则的定义域为，
，
则，所以是奇函数，
则，
又因为正实数满足，
所以，
，
当且仅当时取到等号.
故答案为：16.
10．设表示事件发生的概率，若，则 .
【答案】
【分析】根据题意分别求出、进而利用即可求出结果.
【详解】因为，
，
则
故答案为：.
11．已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】根据平面向量的几何关系，可将向量坐标化，设，可得，，由的几何意义利用圆上点到直线距离最值问题即可求得结果.
【详解】设，则由得，可得，
由得，
因此，表示圆上的点到直线上的点的距离；
故其最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即.
故答案为：
12．艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和2，数列为牛顿数列.设，已知，，的前项和为，则 .
【答案】/
【分析】由函数有两个零点可得，，的关系，从而得，求导后代入，整理可得，再由得数列是等比数列，通过等比数列的求和公式得答案.
【详解】有两个零点1，2，
则，解之得，
则，则，
则，
则，
由，可得，
故，又，则数列是首项为1公比为2的等比数列，
则通项公式，前项和，则.
故答案为: .
二、单选题
13．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用对数函数的定义域与单调性即可求解.
【详解】当时，，没有意义，故；
在上单调递增，
时，必有；
所以，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
14．如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断.
【详解】由题意可得：，则，
故，
∵是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故.
故选：D.
15．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：，）
A．5B．10C．15D．20
【答案】B
【分析】根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解.
【详解】由题意知，，令，得，取以10为底的对数得，所以．
故选：B.
16．已知实数满足，记，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可得，然后结合点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系即可求出.
【详解】设，因为
因为在以原点为圆心，为半径的圆上，且.
设点到直线的距离之和为，则，转化为求的最大值.
设点为点与点的中点，设点到直线的距离为，则，
又.故点轨迹方程为圆.
圆上点到直线距离的最大值.
所以的最大值是.
故选：C.
【点睛】
三、解答题
17．如图所示，在四棱锥中，平面，平面，，，又，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，再利用即可求解；
（2）根据（1）的结论，求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解；
【详解】（1）过点作的垂线交于，以为原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.如图所示
因为，所以,又，
所以点到轴的距离为，到轴的距离为，则有
,
所以
设平面的法向量为，则
，即，令，则，
所以，
所以，即，
又平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面的法向量为，
所以
设平面的法向量为，则
，即，令，则，
所以，
设平面与平面所成的锐二面角为，则
.
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
18．△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
【答案】(1)；(2).
【详解】（Ⅰ）由已知，·
由余弦定理得，∴，
∵，∴．
（Ⅱ）∵，∴，.
．
∵，∴，
∴当，取最大值，解得．
19．已知数列满足是正整数
(1)求数列的通项公式；
(2)设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用的方法求得的递推关系式，得出等比数列，从而可得 通项公式；
（2）求出，利用作差法求得的最大值是，然后解不等式可得．
【详解】（1），
时，．
两式相减得，，
又，，从而，所以等比数列，公比为，
所以，；
（2）由（1）知，，，，，当时，，
，当时，，，即时，递减，
所以的最大值是，
对于任意正整数，都有，则，解得或，
所以的取值范围是．
20．已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)若点，点为椭圆上的任意一点，求的最大值与最小值．
(3)设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)最小值是，最大值是3
(3)证明见解析
【分析】（1）根据给定的条件，列出关于的方程，求出即可得到椭圆方程；
（2）设，由得：，再根据两点间的距离公式及点在椭圆上，转化为二次函数的最值问题求解即可；
（3）设直线的方程为，，求出M，N两点的横坐标，再联立与的方程，通过韦达定理运算求解，即可求出的值，从而可得直线的定点坐标．
【详解】（1）依题意，，故椭圆方程为：，
又椭圆过，于是有，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，由得：，
因为点在椭圆上，所以，
所以
因为，所以，当时，有最小值为，
当时，有最大值为3；
（3）由（1）知，依题意，设直线的方程为，
，直线的方程为，
令，得点的横坐标为，
同理得点的横坐标为，
由消去并整理得，，
，即，
，，
因此，
，
即，解得，
直线的方程为，过定点，所以直线过定点．
21．已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)已知对于恒成立，证明：当时，；
(3)当时，不等式，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）先求出的导数，将点横坐标代入导数求出切线的斜率，再写出切线的方程；
（2）可设函数，借助导数，将区间分为和分别研究函数的单调性，然后进行判断，通过放缩即可完成证明；
（3）构造函数，利用得到，从而求得参数的值，然后验证当时，为函数的极小值点即可.
【详解】（1）已知，则，
切线的斜率，
所以函数在点处的切线方程为.
（2）由已知，，，
令，所以，
①当时， ，所以，而，
则，所以，函数在上单调递减，故；
②当时，构造函数，，
所以在区间上单调递增，，即.
由（1），所以
当时，，当且仅当时等号成立，
综上所述，对任意时，.
（3）当时，不等式（），
不妨设，即，
因为且，所以当时，取得最小值.
由于函数为可导函数，，
则为函数的极小值点，故，解得，
下面证明当时，为函数的极小值点，
由（2）问可知，当时，，
令，所以，
故函数在上单调递增，因为，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极小值点，满足题意.
综上所述，.
【点睛】含有指数或对数函数的不等式恒成立问题方法点睛：在证明不等式恒成立的题目中，可借助“”或“”等切线放缩，帮助我们将复杂关系变得简单，从而能够完成整体的证明.