2021-2022学年上海市同济大学第一附属中学高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年上海市同济大学第一附属中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．“，”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.

【详解】当，，则，

当时，，.

∴“，”是“”的充分不必要条件.

故选：A

2．若角是第四象限角，且，则角是第（       ）象限角.

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】B

【分析】首先根据所在象限，求得的取值范围，由此求得的取值范围，结合，求得所在象限.

【详解】由于是第四象限角，所以，所以，所以是第二或者第四象限角；

由于，所以是第二象限角.

故选：B

【点睛】本小题主要考查根据所在象限，判断所在象限，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.

3．设函数，，值域为，则以下结论错误的是（       ）

A．的最小值为 B．a不可能等于，

C．的最大值为 D．b不可能等于，

【答案】D

【分析】作出正弦函数y = sinx的图象，并加以观察并根据函数的单调性对A、B、 C、D各项的结论进行推理论证，结合取特殊的a、b值检验，可得选项.

【详解】解：作出正弦函数y = sinx的图象，加以观察得：

对于A，当时，函数在上单调递增，此时函数的最小值为，函数的最大值，

此时函数的值域为，达到最小值，故A正确；

对于B，如果，由于没有达到最小值-1，则才能出现函数的最小值-1.而此时函数的最大值为1，而不是，与题设矛盾，因此，故B正确；

对于C，当时，函数在上先单调递增，再单调递减，此时函数的最小值为，函数的最大值，

此时函数的值域为，达到最大值，故C正确；

对于D，当时，此时函数的值域为，所以b可能等于，，故D不正确；

故选：D.

【点睛】本题给出正弦函数的几个结论要求找出其中的假命题，考查了正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题.

4．设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题：

（1）若，则对任意实数x恒成立；

（2）若，则函数为奇函数；

（3）若，则函数为偶函数；

（4）当时，若，则，

其中错误的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系，再反代入原函数，从而可判断（1）（2）（3）的正确与否，利用反例可判断（4）的正误.

【详解】对于（1），即为，

即，

两边平方后可得，故或.

若，则，故，

此时，

若，则，故，

此时，

若或，则，故（1）成立.

对于（2），因为，则，

若均为零，

则,

其定义域为，且，故为奇函数；

若不全为零，不妨设，则，

故

，

此时函数的定义域为，而，故为奇函数；

故（2）正确.

对于（3），因为，则，

若均为零，

则，

此时函数的定义域为，而，故为偶函数；

若不全为零，不妨设，则，

故

，

此时函数的定义域为，而，故为偶函数；

故（3）正确.

对于（4），因为，

故，

整理得到：，

取，则，

即，故，

令，则，

而，故，故（4）错误，

故选：A.

【点睛】思路分析：对多变量的三角函数问题，需根据题设条件得到参数的关系，再根据关系式的形式合理消元反代，从而简化问题的讨论.

二、填空题

5．若扇形的面积是，圆心角为2弧度，则半径是___________.

【答案】

【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.

【详解】设圆心角为2弧度所对的弧的弧长为，半径为，

所以有，

故答案为：

6．已知角的终边经过点，则___________.

【答案】

【分析】由三角函数定义可得，利用诱导公式可求得结果.

【详解】角的终边经过点，，

.

故答案为：.

7．若，是第四象限角，则___________.

【答案】

【分析】利用二倍角的正弦公式求解.

【详解】解：因为，且是第四象限角，

所以，

所以，

故答案为：

8．函数y＝tan的单调增区间为________.

【答案】,k∈Z

【详解】,所以单调增区间为,k∈Z

9．若是以为周期的奇函数，且，则______.

【答案】

【分析】由奇函数的性质以及周期性求解即可.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用以及周期性的应用，属于基础题.

10．将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为___________.

【答案】

【分析】直接利用三角函数图象的变换知识求解.

【详解】解：将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为.

故答案为：

11．已知，，则___________.

【答案】

【分析】先通过角的范围求出，再利用展开计算即可.

【详解】因为，则，

，

故答案为：

12．函数的定义域为________.

【答案】

【解析】由表达式可得：，结合余弦函数图象可得结果.

【详解】解：由表达式可得：，即，

∴，

函数的定义域为，

故答案为：

【点睛】本题考查余弦型复合函数的定义域，考查三角不等式的解法，属于基础题.

13．关于x的方程在上的解集为___________.

【答案】

【分析】通过得到，再求出在范围上的解即可.

【详解】由得，

解得，

令，解得，

或，

或，

即解集为.

故答案为：.

14．如果直线是函数图像的一条对称轴，则的最小正值为___________.

【答案】

【分析】通过可得答案.

【详解】由已知，

解得

当，取最小正值，且为

故答案为： .

15．在中，若，，，则的面积为___________.

【答案】

【分析】利用公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式可求出结果.

【详解】因为，所以，，

所以，所以，所以，

所以，，

所以，

由正弦定理得，得，得，

所以的面积.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、三角形面积公式求解是解题关键.

16．设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若函数在区间上零点的个数是8个，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】分别作出与直线的图像，观察交点个数即可.

【详解】作出，的图像如下：

令，则，

则函数在区间上零点的个数，即为与直线的图像交点个数，

由图可知当是，图像有8个交点.

故答案为：.

三、解答题

17．已知：.求：

(1)的值；

(2)的值

【答案】(1)2

(2)1

【分析】（1）利用两角差的正切公式计算即可；

（2）将目标式变形，然后利用将目标式转化为用表示，再代入的值计算即可.

【详解】(1)由已知，

解得；

(2)，

带入得

18．已知：函数，

(1)若，求的值；

(2)设，求在区间上的最大值和最小值，并指出对应x的取值.

【答案】(1)

(2)最大值为，此时；最小值为，此时

【分析】（1）利用，再利用倍角公式变形计算即可；

（2）首先变形得，再利用余弦曲线的图像和性质求最值即可.

【详解】(1)由已知，

则；

(2)

，，

当，即时，在区间上取最大值，

当，即时，在区间上取最小值，

19．如图：我国近海某海域上有四个小岛，小岛B与小岛A，C相距都为5公里，与小岛D相距公里；已知∠BAD为钝角，且.

(1)求小岛A与小岛D之间的距离；

(2)求四个小岛所形成的四边形ABCD的面积.（提示）

【答案】(1)2

(2)18

【分析】（1）由∠BAD为钝角，且，得到,然后在中，

利用余弦定理求解；

（2）根据A、B、C、D四点共圆，得到∠BAD与∠BCD互补，进而得到，然后在中，利用余弦定理求得CD，由求解.

【详解】(1)解：因为∠BAD为钝角，且，

所以,

在中，

由余弦定理得，

所以，

解得或（舍去）；.

(2)因为A、B、C、D四点共圆，

所以∠BAD与∠BCD互补，

所以，

在中，

由余弦定理得，

所以，

解得或（舍去）；.

，

，

.

20．已知函数，.

(1)求函数的最小正周期和所有零点；

(2)若存在，使等式成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1) ，

(2)

【分析】（1）利用倍角公式结合辅助角公式进行化简即可；

（2）利用换元法设 ，结合一元二次函数的性质求出函数的值域即可

【详解】(1)

由 ，所以函数 的最小正周期为 ；

由 ，得

(2)当 时， ，

则 ，即 ；

令 ；

关于 的方程 在 上有解；

即 在上有解；

当 时， ，由，得 ；

即实数 的取值范围是

21．已知函数，，的部分图像如图所示，P，Q分别是该图像相邻的最高点和最低点，点P的坐标是，点R的坐标是，.

(1)求的最小正周期与的值；

(2)求A的值，并写出函数的单调递增区间；

(3)若函数，请研究函数的奇偶性､最小正周期､单调区间､最大最小值.

【答案】(1)最小正周期是，；

(2)，增区间是；

(3)答案见解析．

【分析】（1）由是最高点结合“五点法”可求得，由正弦函数周期可得的最小正周期；

（2）由，得，结合周期可求得，得函数解析式，变形为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数的单调性得结论；

（3）根据奇偶性定义判断奇偶性，由周期的定义判断并说明最小正周期是，求出函数在一个周期区间上单调区间，结合周期性写出单调区间，并求得最大值和最小值．

【详解】(1)由题意，又，所以，

，

(2)因为，所以，，

，，得，

所以增区间是；

(3)由题意

，

显然，函数为偶函数，

，

时，，

不存在，使得，所以函数最小正周期是，

时，，而，

因此时，递增，时，递减，

所以的增区间是，，减区间是，，

时，，而，，所以的值域是．最大值为，最小值为．