2024届四川省眉山第一中学高三上学期9月入学考试数学（理）试题含答案

这是一份2024届四川省眉山第一中学高三上学期9月入学考试数学（理）试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】直接利用命题的否定定义得到答案.
【详解】命题“，”的否定是：，
故选
【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.
2．设双曲线 (，)的虚半轴长为1，半焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出实半轴长，进而求出渐近线方程.
【详解】双曲线中，，由双曲线半焦距为，得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：D
3．函数的单调减区间为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.
【详解】，所以函数的单调减区间为，故本题选D.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由得，或，可知“”是“”充分不必要条件.
【详解】充分性：若，则；
必要性：若则，
则，得，或，故不满足必要性
综上“”是“”充分不必要条件，
故选：A
5．曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，先对函数求导，然后将代入导函数中可求出切线的斜率，再利用点斜式可求得切线方程.
【详解】由，得，
所以所求切线的斜率为，
所以所求切线方程为，即，
故选：B
6．已知点在抛物线C:()上,点M到抛物线C的焦点的距离是
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】将点的坐标代入抛物线方程，求出，即得焦点，利用抛物线的定义，即可求出．
【详解】由点在抛物线上，可得，解得，
即抛物线，焦点坐标，准线方程为．
所以，点到抛物线焦点的距离为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．
7．下列命题不正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若为假命题，则，至少有一个为假命题
C．命题“若则有且只有一个零点”的逆命题为真命题
D．命题“若，则”的否命题为“若，则”
【答案】C
【分析】A选项，解出不等式，根据条件间的逻辑关系即可判定；B选项，由“或且非”联结的命题的真假公式即可判定；C选项，由零点的定义求解，即可判定；D选项，由否命题的定义即可判定.
【详解】由可得，解得或，
则“”是“”的充分不必要条件，故选项A正确；
，中有一个假命题，则为假命题,
则若为假命题，则，至少有一个为假命题，故选项B正确；
原命题的逆命题为：若有且只有一个零点，则，
若有且只有一个零点，
当时，，，成立
当时，，解得
故或故选项C错误；
“若，则”的否命题为“若，则”，故选项D正确；
故选：C.
8．函数f(x)＝的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先由函数的定义域可排除A，再根据函数值在x>0，x<0上的正负以及单调性可确定选项.
【详解】函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}，可排除A；
当x>0时，函数f′(x)＝，可得函数的极值点为：x＝1，当x∈(0，1)时，函数是减函数，x>1时，函数是增函数，并且f(x)>0，选项B、D满足题意．
当x<0时，函数f(x)＝<0，选项D不正确，选项B正确．
故选：B
【点睛】本题考查由函数解析式确定函数的图像，定义域，值域，对称性，单调性是常用的判断方法，本题属于中档题.
9．函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：函数在区间内是增函数，所以在上恒成立，故在上恒成立，从而，故选A．
【解析】1、函数恒成立问题；2、导数性质的应用．
【思路点晴】本题主要考查的是函数中的恒成立问题，注意解题时优先选择分离参数的方法，属于难题．本题利用函数单调递增转化为在上恒成立，从而分离参数，转化为求函数的最小值，含参恒成立问题，只要参数容易分离，一般都要选用这种方法，转化为求函数的最值，这种方法要熟练掌握．
10．椭圆上的动点到定点距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】结合点到点的距离公式和椭圆标准方程，转化成关于的二次函数形式，进而求解
【详解】设椭圆上的点为，，则动点到定点距离，又，可得，代入前式可得，当时，取到最大值，
故选：C
【点睛】本题考查定点到椭圆上的点距离的最值为题，转化与化归思想，计算能力，属于中档题
11．设函数在上存在导数，对任意的有，且时，若，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：设,时，,,所以既是增函数又是奇函数，,由已知,得,故选B.
【解析】1.导数的性质；2.函数的奇偶性；3.复合函数的性质.
12．若函数恰有三个极值点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因为二次函数最多有一个极值点，故先分析的部分；时，令，利用参变分离将变形为，构造新函数，判断的单调性，得出结论：最多仅有两解，因此可确定：时有两个极值点，时有一个极值点. 时，利用与有两个交点时(数形结合)，对应求出的范围；时，利用二次函数的对称轴进行分析可求出的另一个范围，两者综合即可.
【详解】由题可知，当时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当，令，，解得，综上，.
【点睛】分析极值点个数的时候，可转化为导函数为零时方程解的个数问题，这里需要注意：并不是导数值为零就一定是极值点，还需要在该点左右两侧导数值符号相异.
二、填空题
13．抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】(1，0)
【分析】将抛物线化为标准方程，根据定义求得焦点坐标.
【详解】抛物线标准方程为：
焦点坐标为：
【点睛】本题考查根据抛物线方程求焦点的问题，关键是要将方程化为标准方程的形式，属于基础题.
14．复数，则= .
【答案】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可．
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
15．已知函数在处有极大值，则 .
【答案】
【分析】求出导函数，由求得值，然后对所得结果加以检验即可．
【详解】由已知，
可得，
令，解得或，
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
不是极大值点，舍去；
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以是函数的极大值点．
综上．
故答案为：．
16．已知椭圆和双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，从而可得，进而可得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调情况即可解得的取值范围．
【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，
由于是以为底边的等腰三角形，，则，，
令椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴为，
由椭圆的定义得，由双曲线定义得，
则，，相减得，即，得，
因此，，显然在上单调递增，
于是，所以的取值范围是．
故答案为：
三、解答题
17．若函数，为函数的极值点.
(1)求的值；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)的极小值为，的极大值为
【分析】（1）先求出导函数，再由题意得求得，再进行检验即可；
（2）根据（1）的结论即可得解.
【详解】（1）因为，所以.
因为是的一个极值点，所以，即，则，
当时，，
令，得或；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点，满足题意，故.
（2）由（1）知，且是的极小值点，是的极大值点，
所以的极小值为，的极大值为.
18．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.
（1）当时，若为真，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）将代入，由为真可判断真且真，分别求解出命题对应的实数的取值范围，再求交集即可；
（2）先将是的必要不充分条件转化为是的必要不充分条件，再结合端点值建立不等关系求解即可
【详解】（1）当时，真，则，解得；
真，则解得.
∵为真，则真且真，
故的取值范围为.
（2）是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，
∵真，有，
∴故.
【点睛】本题考查由命题的真假进一步确定取值范围问题，根据包含关系求解参数取值范围，属于基础题
19．已知函数在处的切线为.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）（2）减区间为增区间为
【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
【详解】（1）依题意可得：
又函数在处的切线为，
解得：
（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，
当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴的单调减区间为的单调增区间为.
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．
20．已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，弦的中点的横坐标为，.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线的倾斜角为锐角，求与直线平行且与抛物线相切的直线方程.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）由题得，再利用抛物线的定义求p的值，即得抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，.根据已知求出k=2, 设与直线平行的直线的方程为，根据直线和抛物线相切求出b的值得解.
【详解】（Ⅰ）设，，
因为的中点的横坐标为，所以.
根据抛物线定义知.
所以，解得，
所以抛物线的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，.
则由得.
所以，即，解得.
设与直线平行的直线的方程为，
由得.
依题知，解得.
故所求的切线方程为.
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．己知函数（是常数）.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当在处取得极值时，若函数与函数在上恰有两个不同交点，求实数的取值范围.
【答案】(1)当时，的单调递减区间为，无增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间是.
(2)
【分析】（1）先求导，再根据的符号分类讨论，结合导数与函数的单调性的关系即可得到.
（2）先根据极值点求得，把题目两个交点问题转化为关于的方程有两个不同的根，令（），利用导数研究单调性极值与最值，只需满足解得即可.
【详解】（1）由得，
当时，，所以的单调递减区间为，无增区间；
当时，，令，则，令，则，
所以的单调递减区间为，单调递增区间是.
综上，当时，的单调递减区间为，无增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间是.
（2）因为在处取得极值时，所以且，即，解得，
则，因为函数与函数在上恰有两个不同交点，
所以关于的方程即在上恰有两个不同的实数根，
令（），则，
令，解得或，令，解得，此时函数单调递增，
令，解得，此时函数单调递减，
因为在上恰有两个不同的实数根，
所以函数在上恰有两个不同的零点，
则，即，解得，
所以实数的取值范围为.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)根据题意列出方程组，求解，即可求得椭圆的标准方程；
(2) 当直线与中有一条直线斜率不存在时，有；当当直线斜率存在且，设方程为，设，，与椭圆方程联立求出，利用弦长公式求出，同理求出，从而表示出,根据题意求出k的取值范围从而求出的范围.
【详解】解：(1）由题意得，当点是椭圆的上、下顶点时，的面积取最大值
此时
所以
因为，所以，
所以椭圆方程为
（2）由（1）得椭圆方程为，则的坐标为
因为，所以
①当直线与中有一条直线斜率不存在时，易得
②当直线斜率存在且，则其方程为，设，
则点、的坐标是方程组的两组解
所以
所以
所以
此时直线的方程为
同理由可得
令，则，
因为，所以
所以
综上
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，韦达定理，弦长公式，属于较难题.