2024届宁夏石嘴山市平罗中学高三上学期期中考试数学（文）试题含答案

这是一份2024届宁夏石嘴山市平罗中学高三上学期期中考试数学（文）试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用交集定义，并根据集合即可求出结果.
【详解】根据题意由，可知，
.
故选：C
2．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】计算出，利用复数模长公式求出答案.
【详解】，故.
故选：C
3．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理可求得的值.
【详解】由正弦定理得：.
故选：D.
4．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由幂函数与对数函数的性质判断，
【详解】由幂函数的性质得，由对数函数性质得，
即，
故选：D
5．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简已知条件，通过平方的方法求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
两边平方得.
故选：C
6．在中，角的对边分别为，若，则一定是( )
A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据正弦定理化边为角，结合边的关系进行判断.
【详解】因为，所以由正弦定理可得，
因为，所以，
即，所以.
故选：D.
7．已知，，且，则在方向上的投影为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过数量积计算出夹角，然后可得到投影.
【详解】，，
即，，
在方向上的投影为，
故选C.
【点睛】本题主要考查向量的几何背景，建立数量积方程是解题的关键，难度不大.
8．已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ）

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】首先根据已知条件求出与以及的值，进而确定的解析式， 再结合三角函数的平移规律进行解答即可.
【详解】由图像知，，，，即，
由图可知，，
，
，又，
，
，
向右平移可得函数.
故选：D.
9．将函数图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则下列关于函数的说法中错误的是（ ）
A．最小正周期为B．对称中心为
C．一条对称轴为D．在上单调递增
【答案】D
【分析】根据三角函数的图象变换求得函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】将函数图象上每个点横坐标缩短为原来的倍，得到，
再将的图象向左平移个单位长度后得到，
对于A中，函数的最小正周期为，所以A正确；
对于B中，令，解得，
所以函数的对称中心为，所以B正确；
对于C中，令，解得，
当时，可得，所以是函数的一条对称轴，所以C正确；
对于D中，由，可得，
当时，即时，函数单调递增；
当时，即时，函数单调递减，所以D错误.
故选：D.
10．已知函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可以是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用排除法，根据函数的奇偶性和符号分析判断.
【详解】因为，所以为奇函数，
对于选项A：因为为奇函数，则为偶函数，不合题意，故A错误；
对于选项B：因为为奇函数，则为偶函数，不合题意，故B错误；
对于选项D：当时，，可得，
则，
所以当时，恒成立，不合题意，故D错误；
故选：C.
11．在中，，点P在CD上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将代入，利用共线定理推论可得.
【详解】因为，所以，
所以，
又P，C，D三点共线，所以，得.
故选：D.

12．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求.
【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则两个切点都在直线上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为,
由导数的几何意义可知,则
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以，
所以.
故选：D.
二、填空题
13．已知，若，则
【答案】/
【分析】根据条件，利用向量共线的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为，又，
所以，得到，故，所以，
故答案为：.
14．已知函数则 ．
【答案】
【分析】根据分段函数解析式，代入可求答案.
【详解】因为所以，
，所以.
故答案为：
15．向量的夹角为，且，则等于 ．
【答案】
【分析】由向量的数量积的定义可得，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求值．
【详解】向量，的夹角是，，，
则，
则
，
即有．
故答案为：．
16．在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为
【答案】
【分析】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可.
【详解】由余弦定理，，
∵，∴.
由余弦定理及基本不等式，，
∴，当且仅当时取等号，
∴当且仅当时，的面积的最大值为.
故答案为：.
三、解答题
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cs A＝acs C．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）根据已知，利用正弦定理，求出，求出角A的大小；（2）由余弦定理的推论，求出边长c，由b=2c 求出边长b，由三角形面积公式求出面积．
试题解析： (1)根据正弦定理，由(2b－c)cs A＝acs C，
得2sin Bcs A＝sin Acs C＋sin Ccs A，
即2sin Bcs A＝sin(A＋C)，
所以2sin Bcs A＝sin B，
因为0所以cs A＝，因为0(2)因为a＝3，b＝2c，由(1)得A＝，
所以cs A＝＝＝，
解得c＝，所以b＝2.
所以S△ABC＝bcsin A＝×2××＝.
18．已知函数.
(1)求函数在区间上的值域；
(2)求函数的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将函数利用二倍角公式和辅助角公式整理化简可得，再由三角函数图象性质即可得函数在区间上的值域为；
（2）根据函数的解析式利用整体代换法即可求得函数的单调递增区间为.
【详解】（1）由可知，
，
当时，可知，根据三角函数图象可知，
所以，
因此函数在区间上的值域为.
（2）由题意可得令，
解得，
即函数在区间上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
19．已知是等差数列且为数列的前项和，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）由裂项求和即可求解.
【详解】（1）设公差为，则，
所以，
（2），
所以
20．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)最大值为1，最小值为
【分析】（1）根据题意，求导得到即可得到其单调区间；
（2）根据题意，由（1）中的单调区间即可得到其最值.
【详解】（1），
时，，的单调增区间为，
时，，的单调减区间为，
所以函数单调增区间为，单调减区间为.
（2）由（1）知在上递减，在上递增，
当时，有极小值即最小值为．
，，.
所以最大值为，最小值为
21．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若时函数有最大值，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性；
（2）由（1）知函数的单调性，进而得到函数最大值，从而得到不等式，构造，求导，得到单调性结合求出实数的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，
由可得，
当时，，
所以在上单调递增，
当时，令，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，在上单调递增，在上是单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，
即，
因此有，得，
设，
则，
所以在上单调递增，
又，所以，得，
故实数的取值范围是.
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点，直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）根据直角坐标与极坐标和参数方程的互换公式求解即可；
（2）根据直线参数方程的几何意义求解即可.
【详解】（1）直线l的参数方程为，两式相加可得，即直线l的普通方程为；
曲线C的极坐标方程为，则，即，故曲线C的直角坐标方程为；
（2）设两点对应的参数分别为，
将l的参数方程代入得：，
.