宁夏吴忠市吴忠中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份宁夏吴忠市吴忠中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共8页。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
一．单选题
1．已知，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知等比数列的首项，公比，则等于（ ）
A．93 B．－93 C．45 D．－45
3．在等差数列中，，则的值为（ ）
A．15B．20C．30D．40
4．若在处有极值，则=( )
A. 0 B.-2 C.1 D.-1
5．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲只能站在最左端，丙和丁相邻，则不同的排列方式有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
6．已知函数，则下列选项正确的是（ ）.
B．
C． D．
7．已知等比数列的前n项和，则数列的前5项和等于（ ）
A．10B．15C．20D．5
8．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．下列求导正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若y=ex+1,则y’＝ex+1
10．已知数列是单调递增的等比数列，且，，则（ ）
A．B．．
C．与的等比中项为4D．数列是公差为的等差数列
11．若函数在上单调递减，则实数值可能为（ ）
A．5B．-2 C．4 D．1
12.．已知数列的前项和为，且，下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列B．
C．数列是递减数列D．数列是递增数列
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知数列的前n项和为，若，则 a3= ．
14函数的最小值为 ．
15．学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为________
16.已知函数，若的图像与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是__________
四、解答题（本大题共6个题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)
17．已知函数．
(1)求曲线y =f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值；
18．已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
20．设数列满足，．
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明（数学归纳法和其他证明方法任选其一）
(2)求数列，求的前项和．
21．已知函数．
(1)当时，证明：．(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．
22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.
答案解析
选择题
二．填空题
13. 6 14.43 15.30 16.ln22≤a<1e
17．已知函数．
(1)求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)求函数f（x）的单调区间与极值；
（1）因为，所以，因此曲线y = f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1，切线方程为3x-3y-1=0
（2）令，解得：x = 0或2．
所以 f（x）在，内是减函数，在内是增函数．
因此函数f（x）在x = 0处取得极小值f（0），且f（0）= 0，函数f（x）在x = 2处取得极大值，且f（2）=；
综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.
18.（1）由于是等差数列，设公差为，
则，解得，
所以的通项公式，
即；
（2）由（1）知，，
所以，
所以.
19.（1）证明：取的中点，连接，所以，
因为，所以四边形是平行四边形．
因为，，所以四边形是正方形，
则，，所以，得到，所以．
因为平面，面，所以，
因为且都在面，所以平面；
（2）因为平面，，，则两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系．

则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，所以，即
令，则，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，所以，即，
令，则，，
所以平面的法向量为，
所以，
因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
20（1）由，得：；；；
由此可猜想，证明如下：
当时，，即成立；
假设当时，成立，
那么当时，，即成立；
综上所述：当时，.
（2）由（1）得：，
，，
两式作差得：，
.
21.（1）当时，，所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有最小值，即.
（2）因为在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
由（1）知时，，即，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则在上，当时，，所以，
综上可知，实数的取值范围是.
22.（1）解：由椭圆的离心率为，且过点F且与x轴垂直的直线截得的线段长为，
可得 ，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：设直线所在的直线方程为，
联立方程组，整理得，
所以，解得，
设，则，
所以，则，即，
所以的方程为，
联立，解得或，所以，
则，
又由
，
又因为的中点，
可得，
所以.

1.
2.
3
4.
5
6.
7
8
9
10
11
12
C
A
D
B
A
D
A
C
ABD
BCD
AC
BD