2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题

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第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的准线方程为 ( )
A. B. C. D.
3. 复数的虚部为（ ）
A. B. 2C. D. 1
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 4C. D. 6
5. 已知角终边在第三象限，且，则（ ）
A. B. 1C. D.
6. 已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
9. 如图，，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是（ ）
A B. C. D.
10. 已知函数，.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数（ ）
A. B. C. 2D. 4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的渐近线方程为_________．
12. 已知甲盒中有个白球，个黑球；乙盒中有个白球，个黑球.现从这个球中随机选取一球，该球是白球的概率是__________，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是______________.
13. 已知函数的值域为，的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与的图象重合，写出符合上述条件的一个函数的解析式：______________.
14. 若，且，则______________，的最大值为______________.
15. 如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得；
②面积越来越小；
③四面体的体积不变.
所有正确的结论的序号是_____________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 在中，.
（1）求的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选报两个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
17. 如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点F.
（1）求证：；
（2）求二面角余弦值，并求点A到平面的距离.
18. 某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答.假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成.
（1）求甲至少正确完成其中2道题的概率；
（2）设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；
（3）现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛可能性较大，并说明理由.
19. 已知点在椭圆：上.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设直线：（其中）与椭圆交于不同两点E，F，直线AE，AF分别交直线于点M，N.当的面积为时，求的值.
20. 函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）直接写出的一个值，使恒成立，并证明.
21. 已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.
（1）若数表，，请直接写出B，C是否是典型表；
（2）当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；
（3）求的最小值.
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