2023-2024学年北京市海淀区北京师范大学第三附属中学高二下学期期中练习数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区北京师范大学第三附属中学高二下学期期中练习数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数f(x)=ln2+csx的导数为( )
A. 12−sinxB. −sinxC. sinxD. 12+sinx
2.已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若q=2，S2=6，则S3=( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
3.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.在等差数列an中，a2+a12=32，则a6+a7+a8的值是( )
A. 24B. 32C. 48D. 96
5.已知数列an的通项公式为an=−2n2+9nn∈N∗.若数列an的前n项和为Sn，则Sn取得最大值时n的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.已知函数fx=ax−2lnx在区间1,+∞上单调递增，则a的取值范围是( )
A. −∞,12B. 12,+∞C. −∞,2D. 2,+∞
7.设an是公差不为0的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.函数fx=x2−2xex的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9.一个球从100m高的地方自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第6次着地时，经过的路程是( )
A. 100+2001−2−5mB. 100+1001−2−5m
C. 2001−2−5mD. 1001−2−5m
10.已知函数fx=xlnx+x2，且x0是函数fx的极值点．给出以下几个问题：
①x0>1e；②00
其中正确的命题是( )
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数f(x)=x−csx，则f′π4= ．
12.已知等比数列an的前三项依次为a−2，a+2，a+8，则an= ．
13.已知函数fx的导函数为f′x，且满足关系式fx=x2+3xf′2+lnx，则f′2= ．
14.函数fx=2x3−6x+m有三个零点，则实数m的取值范围是 ．
15.已知函数f(x)=1x+1，数列an是正项等比数列，且a10=1，则fa1+fa2+fa3+⋅⋅⋅+fa18+fa19= ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知a为实数，f(x)=(x2−4)(x−a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(−1)=0，求f(x)在−2,2上的最大值和最小值．
17.(本小题12分)
已知函数fx=x2−lnx．
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)求函数fx的单调增区间．
18.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an−3n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=lg3an，数列bn的前n项和为Tn，求证1T1+1T2+⋯+1Tn<2．
19.(本小题12分)
已知等差数列an的前n项和为Snn=1,2,⋅⋅⋅，且a2=3，S5=25．
(1)求an的通项公式；
(2)等比数列bn的首项为1，公比为q，在下列三个条件中选择一个，使得bn的每一项都是an中的项．若bk=amk,m∈N∗，求m.(用含k的式子表示)
条件①：q=−1；条件②：q=2；条件③：q=3．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=(m−x)ex,m∈R，.
(1)若m=2，求f(x)在区间[−1,2]上的最大值和最小值；
(2)设g(x)=xf(x)，求证：gx恰有2个极值点；
(3)若∀x∈[−2,1]，不等式kex≥x+2恒成立，求k的最小值．
21.(本小题12分)
已知有穷数列A:a1,a2,⋯,an(n≥3)中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足1≤m≤n的整数m，令集合Am=kak=m,k=1,2,⋯,n.记集合A(m)中元素的个数为s(m)(约定空集的元素个数为0)．
(1)若A:6 , 3 , 2 , 5 , 3 , 7 , 5 , 5，求A(5)及s(5)；
(2)若1s(a1)+1s(a2)+⋯+1s(an)=n，求证：a1 ,a2 ,⋯ ,an互不相同；
(3)已知a1=a , a2=b，若对任意的正整数i,j(i≠j,i+j≤n)都有i+j∈A(ai)或i+j∈A(aj)，求a1+a2+⋯+an的值．
答案
1.B
2.D
3.A
4.C
5.C
6.D
7.C
8.C
9.A
10.C
11.2+ 22
12.8×(32)n−1
13.−94
14.−415.192/9.5
16.(1)解：f′(x)=2x(x−a)+(x2−4)=3x2−2ax−4．
(2)解：由f′(−1)=0得a=12，
故f(x)=(x2−4)(x−12)=x3−12x2−4x+2，则f′(x)=3x2−x−4，
令f′(x)=0，解得x=−1或x=43，
当x∈−2,−1,43,2时，f′(x)>0，函数f(x)在区间−2,−1上单调递增；
当x∈−1,43时，f′(x)<0，函数f(x)在区间−1,43上单调递减；
当x∈43,2时，f′(x)>0，函数f(x)在区间43,2上单调递增；
又f(−2)=f(2)=0，f(−1)=92，f(43)=(169−4)×(43−12)=−209×56=−5027.
故f(x)max=92，f(x)min=−5027．
17.(1)因为fx=x2−lnx
所以f′x=2x−1x.
所以f′1=1，
又因为f1=1,
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−1=x−1，
即x−y=0．
(2)因为函数fx=x2−lnx的定义域为0,+∞,
由f′x=2x−1x>0，解得x> 22
所以函数fx=x2−lnx单调递增区间为 22,+∞．
18.(1)由已知2Sn=3an−32Sn−1=3an−1−3n≥2⇒2an=3an−3an−1⇒an=3an−1,
又2S1=3a1−3=2a1⇒a1=3，即an是以3为首项和公比的等比数列，
即an=a1×3n−1=3nn∈N∗；
(2)由(1)可知bn=lg3an=n，所以Tn=nn+12⇒1Tn=2nn+1=21n−1n+1，
则1T1+1T2+⋯+1Tn=211−12+12−13+⋯+1n−1n+1=2−2n+1，
因为n∈N∗，显然2n+1>0，则2−2n+1<2，证毕．
19.(1)设等差数列an的公差为d，
∵S5=5a1+a52=5a3=25，解得：a3=5，∴d=a3−a2=2，
∴an=a2+n−2d=3+2n−2=2n−1．
(2)若选条件①，bn=−1n−1，∴bk=−1k−1，又am=2m−1，
由bk=am得：2m−1=−1k−1，∴m=−1k−1+12；
当k为偶数时，m=−1+12=0，不符合m∈N∗，则不能选择条件①；
若选条件②，bn=2n−1，∴bk=2k−1，又am=2m−1，
由bk=am得：2m−1=2k−1，∴m=2k−1+12；
当k>1且k∈N∗时，2k−1+1为奇数，则m∉N∗，不合题意，则不能选择条件②；
若选条件③，bn=3n−1，∴bk=3k−1，又am=2m−1，
由bk=am得：2m−1=3k−1，∴m=3k−1+12；
当k∈N∗时，3k−1+1为偶数，∴m∈N∗，满足题意；
综上所述：m=3k−1+12．
20.解：(1)由函数 f(x)=(2−x)ex ，可得 f′(x)=(1−x)ex ，
令 f′(x)=0 ，可得 x=1 ，
则 x,f′(x),f(x) 的关系，如图下表：
综上可得，函数 f(x)max=f(1)=e,f(x)min=f(2)=0 ．
(2)由函数 g(x)=xf(x)=(mx−x2)ex ，
可得 g′(x)=(mx−x2+m−2x)ex=−[x2−(m−2)x−m]ex ，
因为 (m−2)2+4m=m2+4 >0 ，
所以方程 x2−(m−2)x−m=0 有两个不同的根，设为 x1,x2 且 x1综上可得，函数 g(x) 恰有2个极值点．
(3)因为 ex>0 ，所以 ∀x∈[−2,1] ，不等式 k≥x+2ex 恒成立，
设 ℎ(x)=x+2ex ，可得 ℎ′x=−x−1ex ，
所以 x,ℎ′(x),ℎ(x) 的关系，如图下表：
所以 k≥ℎ(x)max=ℎ(−1)=e ，所以实数 k 的最小值为 e ．

21.解：(Ⅰ)由题设知，
A(5)=4,7,8，s(5)=3；
(Ⅱ)证明：依题意s(ai)≥1(i=1,2,⋯,n)，
则有1s(ai)≤1，
因此1s(a1)+1s(a2)+⋯+1s(an)≤n，
又因为1s(a1)+1s(a2)+⋯+1s(an)=n，
所以s(ai)=1，
所以a1，a2，⋯，an互不相同；
(Ⅲ)根据题意可知a1=a，a2=b，
由i+j∈A(ai)或i+j∈A(aj)，
知ai+j=ai或ai+j=aj，
令j=1，可得ai+1=ai或ai+1=a1，
对于i=2，3，…，n−1成立，
所以a3=a2或a3=a1，
①当a≠b时，a3=a或a3=b．
当a3=a时，
由a4=a3或a4=a1，有a4=a，
同理a5=a6=⋯=an=a，
所以a1+a2+⋯+an=(n−1)a+b．
当a3=b时，此时有a2=a3=b，
令i=1，j=3，
可得4∈A(a)或4∈A(b)，
即a4=a或a4=b，
令i=1，j=4，
可得5∈A(a)或5∈A(b)．
令i=2，j=3，
可得5∈A(b)，所以a5=b．
若a4=a，则令i=1，j=4，
可得a5=a与a5=b矛盾，
所以有a4=b，
不妨设a2=a3=⋯=ak=b(k≥5)，
令i=t，j=k+1−t(t=2,3,⋯,k−1)，
可得k+1∈A(b)，因此ak+1=b，
令i=1，j=k，则ak+1=a或ak+1=b，
故ak+1=b，
所以a1+a2+⋯+an=(n−1)b+a；
②当a=b时，a3=a4=⋯=an=a，
所以a1+a2+⋯+an=na，
综上，a=b时，a1+a2+⋯+an=na，
a3=a≠b时，a1+a2+⋯+an=(n−1)a+b，
a3=b≠a时，a1+a2+⋯+an=(n−1)b+a．
x
−1
(−1,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
+
0
−
f(x)
f(−1)=3e
↗
极大值 f(1)=e
↘
f(2)=0
x
(−∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
g′(x)
−
0
+
0
−
g(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
x
−2
(−2,−1)
−1
(−1,1)
1
ℎ′(x)
+
0
−
ℎ(x)
ℎ(−2)=0
↗
极大值 ℎ(−1)=e
↘
ℎ(1)=3e