专题08 规律探究二（培优）-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

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一、数字类规律
1．由算式142857×1=142857,142857×2=285714,142857×3=428571，可以得出142857×6=（ ）
A．571428B．714285C．857142D．999999
2．观察下列等式：70=1,71=7，72=49,73=343,74=2401,75=16807,⋯，根据其中的规律可得70+71+72+⋯+72022的结果的个位数字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
3．有一列数a1，a2，a3，⋯，an从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2022为（ ）
A．2011B．2C．−1D．12
4．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂成256个，则这个过程要经过（ ）
A．3小时B．3.5小时C．4小时D．4.5小时
5．有理数a≠1，我们把11−a称为a的差倒数．如：3的差倒数是11−3＝−12的差倒数是，−1的差倒数11−（−1）=12．已知a1=2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒，…，依此类推，a2021的值是 ．
6．已知整数a1,a2,a3,a4,⋅⋅⋅，满足下列条件：a1=0，a2=−a1+2，a3=−a2+4，…，an+1=−an+2n（n为正整数），依此类推，a2022的值为（ ）
A．−2019B．−2020C．−2021D．−2022
7．观察下面一列数：−1，2，−3，4，−5，6，−7，…将这列数排成下列形式：

按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 ；数−201是第 行从左边数第 个数．
8．如下表，从左边第1个格子开始依次在每个格子中填入一个正整数，第1个格子填入a1，第2个格子填入a2，第3个格子填入a3，…，第n个格子填入an，以此类推，表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，其中a1=2，a2=4．
(1)若a3=6，则a5=______；a2023=______；
(2)将表中前2024个数的和记为S，若2−a7−a8=8，求S的值．
二、图形类规律
9．如图所示的一组图形中，按照此规律，第30个图形有 个正方形．

10．如图是用棋子摆成的“上”字，第一个“上”字是由6枚棋子摆成，第二个“上”字是由10枚棋子摆成，第三个“上”字是由14枚棋子摆成，…，如果按照这样的规律继续摆下去，第n个“上”字需用 枚棋子．（用含n的式子表示）

11．如图①，是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②；再分别连接图中小三角形三边的中点，得到图③．
（1）图②中有 个三角形；
（2）按上面的方法继续下，第n个图形中有 个三角形．
12．用棋子摆出下列一组三角形，三角形每边有n枚棋子，每个三角形的棋子总数为s，如图按此规律推断，当三角形的边上有2021枚棋子时，该三角形棋子总数s= ．

13．如图，将一串有理数按一定规律排列，探索下列问题：

(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？
(3)第2021个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？
14．下面各图均由边长相同的正方形按一定规律拼接而成，请你观察、分析并解决下列问题：

(1)第5个图中的正方形的个数是______；
(2)求第n个图中正方形的个数．
15．如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图．探究其中的规律．

(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有_____个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有_____个；第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；
(2)第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．（用含n的式子表示）
三、图形与数字类的融合
16．如图，平面内有公共端点的六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字“2012”在（ ）

A．射线OA上B．射线OB上C．射线OD上D．射线OF上
17．如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定；每向左运动3秒就向右运动2秒．则动点运动到第2023秒时所对应的数是（ ）
A．−406B．−407C．−2022D．−2023
18．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为12的长方形，再把其中一个面积为12的长方形分成两个面积为14的正方形，再把其中一个面积为14的正方形分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：

(1)计算；12+14+18+116+132；
(2)计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯+12n．
19．综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15．
(1)独立思考：解答王老师提出的问题：第5个式子为 ，第n个式子为 ．
(2)实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022．
(3)问题拓展，求11×3+13×5+15×7+⋯+12021×2023
(4)问题解决：求
11+2+11+2+3+11+2+3+4+11+2+3+4+5+⋯+11+2+3+4+⋯+2021+2022的值
20．背景阅读：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．
实践操作：


(1)写出斐波那契数列的前 10 个数；
(2)斐波那契数列的前2018个数中，有 个奇数？
(3)现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图 1 的正方形系列：
再分别依次从左到右取 2 个、 3 个、 4 个、 5 个，⋯ 正方形拼成如图 2 长方形并记为①，②，③，④，⑤ ⋯．
（ⅰ）通过计算相应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）；
（ⅱ）若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形的长与宽．
21．如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长方形的面积占大正方形面积的12，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大正方形面积的122，以此类推…

(1)第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的______，12+122+123+124的值为______．
(2)请你利用（1）中的结论，求下列各式的值：
①12+122+123+⋅⋅⋅+122022=______．
②计算：56+1112+2324+4748+9596+191192．
a1
a2
a3
a4
…
an
…
序号
①
②
③
④
⑤
……
周长
6
10



……