高一上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

这是一份高一上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含高一上学期第一次月考解答题压轴题50题专练原卷版docx、高一上学期第一次月考解答题压轴题50题专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。

1．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合A=x|x=3n+1，n∈Z，B=x|x=3n+2，n∈Z，M=x|x=6n+3，n∈Z．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a+b=m，证明你的结论．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}.
（1）若A⊆B，求a的值；
（2）若B⊆A，求a的值.
3．（2023秋·江西新余·高一校考开学考试）设全集U=R，集合A=x|1≤x≤5，集合B={x|−1−2a≤x≤a−2}．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，求实数a的取值范围．
4．（2023秋·江苏南通·高一校考开学考试）已知集合A=x∣x2−3x+2=0，B=x∣x2−ax+a−1=0，C=x∣x2−bx+2=0，问是否存在实数a，b同时满足B是A的真子集，A∩C=C？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由.
5．（2023·全国·高三专题练习）设正实数a、b、c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有aka+b+bkb+c+ckc+a≥32．
6．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=x−3≤x≤10 ，B=x2m+1≤x≤3m−2，且B≠∅．
(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
7．（2022秋·新疆和田·高一期中）（1）已知A=a2−2b+π2，B=b2−2c+π2，C=c2−2a+π2，其中a、b、c为实数，求证：A、B、C中至少有一个为正数；
（2）设集合P=(x,y)|x2+y2≤4,x,y∈R，Q={(x,y)‖x|≤2,|y|≤2,x,y∈R}，求证:P⊆Q.
8．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p：“实数a满足xm≤x≤m+1⊂x1≤x≤a”，命题q：“∀x∈R，ax2+ax+3都有意义”．
(1)已知m=1，p为假命题，q为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是¬q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
9．（2023·全国·高一专题练习）已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的x∈x0≤x≤1，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.
10．（2022秋·上海青浦·高一校考阶段练习）设A=a1,a2,a3,⋯,an⊆M(n∈N,n≥2)，若a1+a2+⋯+an=a1a2⋯an，则称A为集合M的n元“好集”．
(1)写出实数集R的一个二元“好集”；
(2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由；
(3)求出正整数集上的所有三元“好集”．
11．（2023·全国·高一专题练习）已知命题q:“∃x满足−2(1)命题p:“∃x∈R,x2+a−1x+4<0”，若命题p,q中至少一个为真，求实数a的范围.
(2)命题p:2a12．（2023春·黑龙江鹤岗·高二校考阶段练习）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合A=x|−2≤x≤6，B=x|1−m≤x≤1+m,m>0，若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？
13．（2023秋·全国·高一专题练习）已知全集U=R，集合A=x1(1)若m=−1，求A∩B；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
14．（2023·全国·高一专题练习）设集合M=tt=m2−n2，m，n∈Z.
（1）证明：属于M的两个整数，其积也属于M；
（2）判断32、33、34是否属于M，并说明理由；
（3）写出“偶数2kk∈Z属于M”的一个充要条件并证明.
15．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=−3,2,3,6,B=x−2≤x≤5,C=xm+1≤x≤2m−1．
(1)当m=4时，求A∩B和B∪C；
(2)请在①B∩C=C，②B∩C=∅这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并解答.若__________，求实数m的取值范围．
注：若选择两个条件分别解答，则只按第一个解答计分．
16．（2023·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小(a≠b).
（1）a+b2与21a+1b，(a>0,b>0)；
（2）a4−b4与4a3(a−b).
17．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p:∀x∈R,x2−2mx−3m>0成立；命题q:∃x∈R,x2+4mx+1<0成立．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p真q假，求实数m的取值范围．
18．（2023秋·全国·高一随堂练习）设A是实数集的非空子集，称集合B=uv|u,v∈A且u≠v为集合A的生成集．
(1)当A=2,3,5时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B=2,3,5,6,10,16，并说明理由．
19．（2022·高一课时练习）设a，b，c∈R+，试证:对任意实数x、y、z有x2+y2+z2≥2abca+bb+cc+aa+bcxy+b+cayz+c+abzx
20．（2023春·北京·高二校考期中）若集合A={a1,a2,⋯,an}（0≤a1(1)判断集合M={0,3,6,9}，N={1,4,6,8}是否具有性质P；（只需写出结论）
(2)已知集合A={a1,a2,⋯,an}（0≤a1（i）求a1；
（ii）证明：n2an=a1+a2+⋯+an．
21．（2023·全国·高一专题练习）已知a>0，b>0，且a+b=2．
(1)求a2+b2的最小值；
(2)证明：a+1+b+1≤22．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知a,b,c为正数，且满足a+b+c=1. 证明：
（1）1a+1b+1c≥9；
（2）ac+bc+ab−abc≤827.
23．（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x2+ax+3．
（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a∈4,6时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
24．（2022·全国·高三专题练习）如果实系数a1、b1、c1和a2、b2、c2都是非零常数．
（1）设不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别是A、B，试问a1a2=b1b2=c1c2是A=B的什么条件？并说明理由．
（2）在实数集中，方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B，试问a1a2=b1b2=c1c2是A=B的什么条件？并说明理由．
（3）在复数集中，方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B，证明：a1a2=b1b2=c1c2是A=B的充要条件．
25．（2022·上海·高一专题练习）设A是集合P={1，2，3…n}的一个k元子集（即由k个元素组成的集合），且A的任何两个子集的元素之和不相等；而集合P的包含集合A的任意k+1元子集B，则存在B的两个子集，使这两个子集的元素之和相等．
（1）当n=6时，试写出一个三元子集A．
（2）当n=16时，求证：k≤5；
（3）在（2）的前提下，求集合A的元素之和S的最大值．
26．（2023·北京·高三专题练习）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①D⊆{(a,b)∣a∈A,b∈A}；②∀a∈A，(a,a)∈D；③∀a,b∈A，若(a,b)∈D且(b,a)∈D，则a=b；④∀a,b,c∈A，若(a,b)∈D且(b,c)∈D，则(a,c)∈D，则称集合D为A的一个偏序关系.
（1）设A={1,2,3}，判断集合D={(1,1),(1,2)，(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（2）证明：R≤={(a,b)∣a∈R,b∈R,a≤b}是实数集R的一个偏序关系：
（3）设E为集合A的一个偏序关系，a,b∈A.若存在c∈A，使得(c,a)∈E，(c,b)∈E，且∀d∈A，若(d,a)∈E，(d,b)∈E，一定有(d,c)∈E，则称c是a和b的交，记为c=a∧b.证明：对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一.
27．（2023·全国·高一专题练习）已知有限集合A={a1,a2,⋅⋅⋅,an} (n≥2,n∈N)，若集合A中任意元素ai都满足−1（1）设A={−12,0,17}，请写出A1的所有可能的结果；
（2）设A={a1,a2,⋅⋅⋅,a10}是收敛集合，试判断集合A最多可进行几次Γ变换，最少可进行几次Γ变换，并说明理由；
（3）设A={−19,−311,−16,−12,16,17,19,513}，对于集合A反复Γ变换，当最终所得集合Ak只有一个元素时，求所有的满足条件的集合Ak.
28．（2023·北京·101中学校考模拟预测）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意x∈A，都有x−1∈A或x+1∈A，则称A为自邻集.记集合An={1,2⋯, n}(n>2,n∈N)的所有子集中的自邻集的个数为an.
(1)直接写出A4的所有自邻集；
(2)若n为偶数且n>6，求证：An的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若n≥4，求证：an≤2an−1.
29．（2023春·北京东城·高一校考阶段练习）设有限集合E=1,2,3,⋯,N，对于集合A⊆E，A=x1,x2,x3,⋯,xm，给出两个性质：
①对于集合A中任意一个元素xk，当xk≠1时，在集合A中存在元素xi，xji≤j，使得xk=xi+xj，则称A为E的封闭子集；
②对于集合A中任意两个元素xi，xji≠j，都有xi+xj∉A，则称A为E的开放子集.
(1)若N=20，集合A=1,2,4,6,8,10，B=x∣x=3k+1,k≤6,k∈N*，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）
(2)若N=100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；
(3)若N∈N*，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值.
30．（2023春·北京密云·高一统考期末）已知集合S=1,2,⋯,n（n≥3且n∈N*），A=a1,a2,⋯,am，且A⊆S．若对任意ai∈A,aj∈A1≤i≤j≤m，当ai+aj≤n时，存在ak∈A1≤k≤m，使得ai+aj=ak，则称A是S的m元完美子集．
(1)判断下列集合是否是S=1,2,3,4,5的3元完美子集，并说明理由；
①A1=1,2,3；
②A2=2,4,5．
(2)若A=a1,a2,a3是S=1,2,⋯,7的3元完美子集，求a1+a2+a3的最小值．
31．（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2−3x+2>0的解集为xx<1或x>b(b>1).
(1)求a,b的值；
(2)当x>0,y>0，且满足ax+by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围.
32．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为TA=M−m，若集合A中只有一个元素，则TA=0.
(1)若A={2,3,4,5}，求TA；
(2)若A={1,2,3,⋯,9},Ai=ai,bi,ci⊆A,Ai∩Aj=∅(i,j=1,2,3,i≠j)，A1∪A2∪A3=A，求TA1+TA2+TA3的最大值，并写出取最大值时的一组A1,A2,A3；
(3)若集合N∗的非空真子集A1,A2,A3,⋯,An两两元素个数均不相同，且TA1+TA2+TA3+⋯+TAn=55，求n的最大值.
33．（2023春·上海浦东新·高三校考阶段练习）设集合S,T,S⊆N∗,T⊆N∗,S,T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x,y∈S，若x≠y，都有xy∈T；
②对于任意x,y∈T，若x(1)分别对S={1,2,4}和S={2,4,8}，求出对应的S∪T；
(2)如果当S中恰有三个元素时，S∪T中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；
(3)如果S恰有4个元素，求S∪T的元素个数．
34．（2023·北京东城·统考模拟预测）对非空数集A，B，定义A−B=x−yx∈A,y∈B，记有限集T的元素个数为T.
（1）若A=1,3,5，B=1,2,4，求A−A，B−B，A−B；
（2）若A=4，A⊆N∗，B=1,2,3,4，当A−B最大时，求A中最大元素的最小值；
（3）若A=B=5，A−A=B−B=21，求A−B的最小值.
35．（2023·北京·高三专题练习）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意x∈A，都有x−1∈A或x+1∈A，则称A为自邻集.记集合An= 1, 2, ⋯ , n ( n≥2, n∈N )的所有子集中的自邻集的个数为 an.
（1）直接写出A4的所有自邻集；
（2）若n为偶数且n≥6，求证：An的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
（3）若n≥4，求证：an≤2an−1.
36．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ab>cd，那么称点a,b是点c,d的“上位点”．同时点c,d是点a,b的“下位点”；
(1)试写出点3,5的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点a,b是点c,d的“上位点”，判断点Pa+c2,b+d2是否是点a,b的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数n满足以下条件：对集合t037．（2023·上海·高三专题练习）若实数x、y、m满足|x−m|>|y−m|，则称x比y远离m．
（1）若x比y远离1且x+y=1，求实数x的取值范围；
（2）设y=x+2x+1，其中x∈(0,2)∪(2,+∞)，求证：x比y更远离2；
（3）若x+y=2，试问：y与x2+y2哪一个更远离12，并说明理由．
38．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=(m+1)x2−(m−1)x+m−1．
(1)若不等式fx<1的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式fx≥(m+1)x；
(3)若不等式fx≥0对一切x∈−12,12恒成立，求m的取值范围．
39．（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+2（a,b为实数）
(1)若x=1时，y=1且对∀x∈(2,5)，y>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若x=1时，y=1且对∀a∈−2,−1，y>0恒成立，求实数x的取值范围；
(3)对∀x∈R，b>0时，y≥0恒成立，求a+2b的最小值．
40．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数x，y，满足x+2y−xy=0．
(1)求xy的最小值；
(2)若关于x的方程x(y+1)−42=m2−m有解，求实数m的取值范围．
41．（2023秋·湖北孝感·高一校考阶段练习）（1）已知x>−1,求函数y=x+2x+3x+1最小值，并求出最小值时x的值；
（2）问题：正数a,b满足a+b=1，求1a+2b的最小值.其中一种解法是：1a+2b=(1a+2b)(a+b)=1+ba+2ab+2≥3+22，当且仅当ba=2ab且a+b=1时，即a=2−1且b=2−2时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数a,b,x,y满足x2a2−y2b2=1，试比较a2−b2和(x−y)2的大小，并指明等号成立的条件；
（3）利用（2）的结论，求M=4m−3−m−1的最小值，并求出使得M最小的m的值.
42．（2023春·北京·高一校考期中）设全集U={1,2,⋯,n}n∈N∗，集合A是U的真子集．设正整数t≤n，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的R(t)子集：
①t∈A；
②∀a∈A,∀b∈∁UA，若ab∈U，则ab∈A；
③∀a∈A,∀b∈∁UA，若a+b∈U，则a+b∉A．
(1)当n=6时，判断A={1,3,6}是否为U的R(3)子集，说明理由；
(2)当n≥7时，若A为U的R(7)子集，求证：2∉A；
(3)当n=23时，若A为U的R(7)子集，求集合A．
43．（2023秋·全国·高一专题练习）已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为x∣2≤x≤3
(1)若a>0，且不等式ax2+b−3x−c≤0有且仅有10个整数解，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式：ax2+b−1x+5<0.
44．（2023秋·全国·高一专题练习）设函数f(x)=ax2+(1−a)x+a−2.
（1）若关于x的不等式fx≥−2有实数解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式fx≥−2对于实数a∈−1,1时恒成立，求实数x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f(x)45．（2023·全国·高一专题练习）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为240m2，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为12000+500a+1152x+a元(a>0)，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
46．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=x−2，g(x)=x2−2mx+4(m∈R)．
(1)若对任意x∈R，不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范围；
(2)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得gx1=fx2，求m的取值范围；
(3)若m=−1，对任意n∈R，总存在x0∈[−2,2]，使得不等式gx0−x02+n≥k成立，求实数k的取值范围．
47．（2023秋·高一课时练习）设函数y=ax2+x−ba∈R,b∈R.
(1)若b=1，且集合x|y=0中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；
(2)解关于x的不等式y(3)当a>0,b>1时，记不等式y>0的解集为P，集合Q={x|−2−t48．（2023春·北京·高二校考期中）已知集合A={1,2,⋅⋅⋅,n}(n≥3)，A表示集合A中的元素个数，当集合A的子集Ai满足Ai=2时，称Ai为集合A的二元子集. 若对集合A的任意m个不同的二元子集A1,A2,⋅⋅⋅Am，均存在对应的集合B满足：①B⊆A；②B=m；③B∩Ai≤1(1≤i≤m)，则称集合A具有性质J.
(1)当n=3时，若集合A具有性质J，请直接写出集合A的所有二元子集以及m的一个取值；
(2)当n=6,m=4时，判断集合A是否具有性质J？并说明理由；
(3)当m=2023时，若集合A具有性质J，求n的最小值.
49．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f(x)=x2−2ax(a>0)
（1）当a=2时，解关于x的不等式−3（2）对于给定的正数a,有一个最大的正数M(a),使得在整个区间[0,M(a)]上，不等式f(x)≤5恒成立，求出的M(a)解析式．
（3）函数y=f(x)在[t,t+2]的最大值为0，最小值是-4，求实数a和t的值．
50．（2022春·北京·高三校考开学考试）设n为正整数，集合A={α|α=(t1,t2,⋯,tn)， tk∈{0,1}，k=1，2，⋯，n}．对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,⋯,xn)和β=(y1,y2,⋯,yn)，记M(α,β)=12[(x1+y1+|x1−y1|)+(x2+y2+|x2−y2|)+⋯+(xn+yn+|xn−yn|)]．
（Ⅰ）当n=3时，若α=(0,1,1)，β=(0,0,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；
（Ⅱ）当n=4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β，证明：M(α,β)≤M(α,α)+M(β,β)．
（Ⅲ）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素α，β，M(α,β)=M(α,α)+M(β,β)．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由．